不定积分公式大全

1、Ch4、不定积分8、不定积分的概念与性质1、原函数与不定积分定义1:若F(X)IU),则称F(x)为f(x)的原函数。连续函数一定有原函数； 函数；事实上，Nx)个常数。事实上，由Fl(x) F2(x) C 故 F若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)C也为f(x)的原C'F(x)f(x)的任意两个原函数仅相差一n(x)fi(x)'rr(x)i?(x)f(x)心)o,得C表示了f(x)的所有原函数，其中F(x)为f(x)的一个原函数。定义2:f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记为Wx,积分号，Rx)被积函数，X积分变量。显然心)dx1；(工)Clx C 例1、求下列

2、函数的不定积分k(jxkxCxdx1luxC112、基本积分表(共24个基本积分公式)3、不定积分的性质心)醇)dxLdVxJdx心)dxg(x)tk(k0)km)也例2、求下列不定积分最x2x2dx1(2)1x(2)1C1dxxx12dx1(2)1x(12)1C2xC53221xx1xexdx2xdx5Msinx3arctanxCexdx12dxxIne12luxCCScxcscxcotxdxcsc2xdxcscxcotxdxcotxcscxC6dxsin2xcos2xsin2XCOS22xsin2xcos2xdxcscxdx2sec2xdxcotxtanxCcot2xdxx4CSC4xId

3、xcotxxC1 x11X2dx12x121x13dxxxarctanxCJ1、 f ax§2、不定积分的换元法一、第一类换元法(凑微分法)bdx1afaxbdaxbJPdx1adaxb例i、求不定积分sin5械715sin5xd5x5xu1215sinudu1115cos(5x)C116Idxdxax2271 2xd(l2x)27112x71C12x8al1xaiXarctanCaa(20)dxax221dxaxa2xarcsinCa(23)2、 fXXnIl1dxdxnfxnn，即xIl1dxdxn例2、求不定积分xxdx211 x22Idlx21211211X2112C131X

4、232C233leX3C11dxd2xxcos1xdxcos1111dsinCxxxcosxx2cosxdx2sinxC1dx2dxx3、1xdxdliix,edxde,sinxdxdcosxxosxdxdsinx,secxx2xdxdtanx.secxttinxdxdsecx.11X22dxdaivtiuix,1X2dxdiiivsinx,2xax2dx也x,2例3、求不定积分tanxdxcotxdxsecxdxcscxdx1xlnxcosxsincosxxsinxdxdxdcosxcosxsinxIncosxCInsecxC(16)(17)dsinxInsinxCIncosxCdxdxse

5、cxsecxtanxsecxtanxcscxcscxcotxcscxcotxdlnxlnxdsecxtanxsecxtanxdcscxcotxcscxcotxInsecxtanxCIncscxcotxC(18)(19)dxInluxCIntanx1Cdxcos2x1tanXdlelexxdtanx1tanx1xexx1edxledx1ee1exxMlexCex2x1txdxdele2xx2arctaneCxe21 XXdxe2 x3 dX22 C3例4、求不定积分dxxa22a x ax a 2a x al 2a21 1d(xa)1dxInxaxa2 id(xa)xa(21)(22)cxx21

6、x221 X2dxx31dx1x2122dxlx122J1X1 dx2X12Inix2jarctandx2XCx4x2x52dx12x2x262x52dx2x5x2x5x12C24sin2xdx21cos2x2121Inx2x52 llldxx2223 arctan1214x14sin2xCcos2xd2x116cos8xsin5xcos3x(ixcotxlnsinxdxdxsin8xsin2xdxcos2xCinsinxlsinx21 sinxcosxsincosxdxsin2sec,InsinxInlnsinxCxlnsinxdcosx1xdxtanxC2cosxcosxdsinxdlns

7、inxdxcosxsinx1dx2sinx41cscx42dxIncscxcotxC442二、第二类换元法1、三角代换例1、a2x2dx解：令工asini（或acost）,则ax22ticostjxacostdt2原式二kos【aoostdta1 cos2t2a1dtdt3 22cos2td2t4132a24sin2tCxa12a222arcsin2xaa242xaaxa22Caarcsin例2、dxax22xaxCdxa2arcsinxac解：令x原式二dxax22xaasint例3、acostdtacostdttCarcsinxac解：令xatam（或acott）,则心x2asectdxa

8、sec2tdt原式二asectdtasect2sectdtInsecttantCIn2xaa22xCa（24）Inx例4、dxxx422C原式.例5、解：令x瓶向（或acott）,则x242及cldx2sec2tdtasectdtasect2sectdtInsecttantCInxaa22xCadxxa22解：令xascct（或acsct）,贝tjVA23atant,dxasecttantdtXsectdtInsecttantCInaxaa22原式二asecttantdtatant(25)Inxx2a2C5例6、x9x2dx解：令Xasect,则x293tam也jsectfcmtdt原式二3u

9、nt3sect23secttantdt3tan2tdt3sectI3tanttC23x933arccosCxx93arccos23xCa2x2xasint小结：f(x)中含有x2可考虑用代换xatantx抬ed22xa2、无理代换例7、dx1 JX1解：令x1L则xt31也3t2dt原式二3tdtlt323t111t2t21Cdt3t1dt3tInitIt232 x123x131nlx1C例8、dxxl3x解：令X则Xt6,dx6t5dt原式二6ld【tlt35266t221tldt61dt6tarctant021t66xarctanxC例9、解：令1x1xxdxIxxtax1t12,dx62

10、tdtt212原式二2tdttIt2Jt1222 tl It1 t 112dt21dt2tInC2t2I2tJXXInXxx例10、dxex2tdtt I2解：令原式则xInt21、dxxx12tt12dt2dtt12212IntIt111c4、倒代换例11、dxxx41t61t76解：令X3则XX1661 4t小dtt2124x66原式14tdtl4t61246d4t14tI66124ln4t1C6InInx124ln4C§3、分部积分法分部积分公式：UVI；VUV11VuvI：VUVdx例i、xcosxdxUVdxUVdx,故UdVUVVdlJ（前后相乘）（前后交换）xdsmxx

11、sinxsinxdxxsinxcosxC例2、xexdxxdexxexxdxxexeCx7例3、luxdxxlnxxdlnxxlnxx或解：令Inxt,xet1xdxxlnxxC原式tdettetetdttetetCxlnxxC例4、arcsinxdxxarcsinx1xdarcsinxxarcsinxdlxx22dxxarcsinx工22xaivsin或解：令arcsinxLxsint原式，tdsinttsintsintdttsintcostCxarcsinxx2C例5、exsinxdxsinxdexxesinxxxecosxdxesinxxxxcosxdeexxesinxecosxedco

12、sxexsinXCOSXsinxdx故exsinxdx例6、xcos212exsinxcosxCxdxxdtanxxtaiixtanxdxxtanxlnsecxC例7、Inxx2dxxliixxlnx2X1XX2XX22dxxlnx2dx2XC§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数RW）式，然后积分8P(x)Q(x)anxanIxbmxmnillm1alxaOblxbObmlx可用待定系数法化为部分分例1、将解：x3x5x62化为部分分式，并计算x3Ax2Bx3,x3x5x62dxx3x5x62x2x3B6dx5ABx3A2Bx2x3AB13A2B3故.x3x5x62依26dx

13、x351r(x2)61n(x3)C或解：I12x12122x51125x62dxi2dx5x6x5x622112Xdx25x6例2、Inx5x6111 1dx2x3x2Inx3x2CInx5x62112dXdxxfx1)211 dx 2 x(x l)(x 1)2X(X 1) X 1 XxldxInCxlx1X1x2X2111xlx(x1)21dxX21x2例3、Xlx1421x2dx12XarctanlxC2例4、dxx141211222x1xllxdxdx412x12x2xdxI2v111dx1x221x2Xi11xx1 11xxaivtanIn21222221xx2xxC2xC222xllx1arctanIn22222xx1二、三角函数有理式的积分9对三角函数有理式积分1Rsinxxosxdx,令u忸几则x2arctaun,222u1U故IRsinxAxdu,2221u2,ln21 ululux2u1u22三角函Iu2du，数有理式积分即变成了有理函数积分。例5、dx35cosxx2，cosx1 ulu22解：令iilan，则xlarcumu.dx21U2 du原式例6、3 511ulu2221u2du4udu2122In2u2uC142tanln2tanx2Cx2dx2sinx