数字信号处理北京化工大学第5章ppt课件

1、第五章. 5-1 数字滤波器构造的表示方法数字滤波器构造的表示方法一一.数字滤波器的概念数字滤波器的概念滤波器：指将输入信号变换为需求方式滤滤波器：指将输入信号变换为需求方式滤波的安装。波的安装。数字滤波器：输入输出信号都为数字信号的数字滤波器：输入输出信号都为数字信号的滤波器。滤波器。 当滤波器为当滤波器为LSI系统时：系统时： 对其进展傅氏变换得对其进展傅氏变换得: )()()(nhnxny)()()(eHeXeYjjj)(ny)(nh)(nx. 为矩形窗为矩形窗)(jeHcc)(jeX00)(jeHcc0)(jeYcc例：输入信号经低通滤波器滤波例：输入信号经低通滤波器滤波.二. 数字滤

2、波器的系统函数与差分方程NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(H(z)X(z)Y(z)1. 系统函数：MkkNkkzbzXzazYkk01)(1)(变换方式：变换方式：. 2. 差分方程：对上式进展z反变换即得。 NkMkkkknxbknyany10)()()( 3. 滤波器的功能： 滤波就是对输入序列 进展一定的运算操作，从而得到输出序列 。 实现滤波需求三种运算：加法、单位延迟、乘常数。 )(nx)(ny.三三. 滤波器的实现滤波器的实现 两种方法：两种方法： 1利用通用计算机编程，即软件实现利用通用计算机编程，即软件实现; 2数字信号处置器数字信号处置器DSP即公用硬件实

3、现。即公用硬件实现。.四四. 数字滤波器构造的表示法数字滤波器构造的表示法1、方框图法、方框图法 三种根本运算如以下图所示：三种根本运算如以下图所示： 单位延时单位延时: 乘常数: (n)x z -1) 1( nx a)(ny)(nya)() 1(nxny) 1( ny)(nx相加:. x(n)b0b0 x(n) y(n)1z1z1a) 1(1nya2a)2(2nya) 1( ny)2( ny)()2() 1()(021nxbnyanyany例：例：.2、信号流图法单位延时：乘常数：相加： 优点：更加简一方便。1za.例：)(nx)2()1(21nyanya0b)(ny1z1z)1( ny)2

4、( ny1a2a)2(2nya)()2() 1()(021nxbnyanyany) 1(1nya. 几个概念：几个概念： a输入节点或源节点：输入节点或源节点： 所处的节点。所处的节点。 b输出节点或阱节点：输出节点或阱节点： 所处的节点。所处的节点。 c分支节点：有一个输入，一个或多个输出分支节点：有一个输入，一个或多个输出的的 节点。将值分配到每一支路。节点。将值分配到每一支路。 d相加器节点相加器节点)或和节点：有两个或两个以或和节点：有两个或两个以 上输入的节点。上输入的节点。 注：支路不标传输系数时，就以为其传输系数注：支路不标传输系数时，就以为其传输系数为为1； 任何一节点值等于一

5、切输入支路的信号之任何一节点值等于一切输入支路的信号之和。和。 )(nx)(ny.1例如，以下图中的7个节点 和节点：1，5； 分支节点：2，3，4； 源节点：6； 阱节点：7)(nx0b2)(ny3541z1z1a2a67. 5-2 无限长单位冲激响IIR滤波器 的根本构造一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激呼应h(n)是无限长的。 2、系统函数H(z)在有限z平面 上有极点存在。 3、构造上是递归型的，即存在着输出到输入的反响。 z0.二、根本构造二、根本构造 1、直接、直接I型型 IIR滤波器的系统函数为滤波器的系统函数为NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()( 相应的差分

6、方程为N阶 NkMkkkknxbknyany10)()()(. 构造流图：按差分方程可以直接画出。) 1( nx)(nxz1z1z1)2( nx) 1( Mnx)(Mnxb0b1b2bM 1bMa1a2aN 1aN)(ny) 1( ny) 1( Nny)(Nny)2( nyz1z1z1NkMkkkknxbknyany10)()()(NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(.特点: 第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:)(0knxbNkk第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:Nkkknya1)(1) 图中包含了输出到输入的反响。图中包含了输出到输入的反响。(2) (2

7、) 共需共需M+N个存储延时单元。个存储延时单元。. 2、直接、直接II型典范型型典范型 )()()()()()()()()(122121nhnhnxnhnhnxnhnhnxh1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)第一章学过：(P25)=含义：两个级联的子系统交换顺序，系统函数不变。.Nkknxknxanx1)()( )( Mkkknxbny0)( )(z1z1b0b1b2bM 1bM)(ny)(nxaN 1aNz11a2az1对直接I型交换两子系统的先后顺序得到：)(nxz1a1a2aN 1z1aNz1z1z1b0b1b2bM 1bM)(ny)( nxz1)(

8、 nx) 1( nx)(nxz1z1z1)2( nx) 1( Mnx)(Mnxb0b1b2bM 1bMa1a2aN 1aN)(ny) 1( ny) 1( Nny)(Nny)2( nyz1z1z1NkkkMkkkzazbzH101)(.MkkkNkkkzbzXzYzXzazXzX01)( )()()( )( 证明系统函数没有变化：Nkknxknxanx1)()( )( Mkkknxbny0)( )(NkkkMkkkNkkkzazbzXzXzXzYzXzYzHzazXzX1011)()()()()()()(1)()( 因此，.t练习题：t画出下面系统函数的直接型构造图。32242.83( )(1.

9、41)(0.7)zzzH zzzz.321217 . 098. 11 . 2125. 07075. 0141)z(zzzzzH32242.83( )(1.41)(0.7)zzzH zzzz.直接型构造的优点： 只需N个延时单元普通满足 ，因此比直接型延时单元少， 所以它可以节省存储单元软件实现， 或节省存放器硬件实现。直接型的缺陷：1系数 、 对滤波器的的性能控制造用不明显。这是由于它们与系统函数的零、极点关系不明显。2极点对系数的变化过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。MN kakb.3、级联型、级联型将系统函数按零、极点进展因式分解：将系统函数按零、极点进展因式分解：122111111

10、1111110)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 (1)(NkNkMkMkNkkkMkkzdzdzczqzqzpAzazbzHkkkkkkk其中一阶因式表示实根， 为实零点， 为实极点；二阶因式表示复共轭根， 表示复共轭零点， 表示复共轭极点。 M=M1+2M2，N=N1+2N2 。 kpkc*,kkqq*,kkdd.将共轭因子展开，构成实系数二阶因子，那么得122122111121112111)1 ()1 ()1 ()1 ()(NkNkMkMkzzzczzzpAzHkkkkkk分子取正号分母取负号，是为了流图上的系数均为正。kkkkkkkzHAzzzzAzH)(11)(22112211

11、 将两个一阶因子也组合成二阶因子，那么 就可以完全分解成实系数的二阶因子方式)(zH. 表示为假设干个 的乘积，即使说 的运算构造可以用各 的级联实现。级联的节数：当M=N时，节数为 。 假设有奇数个实零点，那么有一个 等于零； 假设有奇数个极点，那么有一个 等于零。21Nk2k2)(zHk)(zHk12121z1z1z二阶根本节一阶根本节)(zH)(zH.整个滤波器那么是 的级联22111122111111)(zzzzAzH)(zHk例：例：M=N=2)(ny)(1zH)(2zH)(21zHN)(nx112111211z1z)(nx)(nyA.当M=N=4时22211222211222111

12、12211111111)(zzzzzzzzAzH当M=N=6时223113223113222112222112221111221111111111)(zzzzzzzzzzzzAzH.优点：kk21,仅影响第k对零点，同样 仅kk2,1影响第k对极点，便于调理滤波器的频率特性。所用的存储器的个数最少。A11211z1z1z1z111222122213231323 nx)(ny21z-11z.留意：1分解方案多。 当M=N时，分子、分母中二阶 因子配合成根本二阶节方案有 ！种，而各 二阶根本节的陈列次序，也可以有 ！种。 不同方案的系数灵敏度不同，因此对于配合与 陈列次序存在着优化问题。2留意各级

13、输出的幅度大小。 变量值不能太大或太小：太大会产生溢出，太 小那么会降低信噪比。 所以， 级联各节之间，要有电平的放大与减少。21N21N.t练习题：t画出下面系统函数的级联型构造图。32242.83( )(1.41)(0.7)zzzH zzzz.121214(1 0.70750.25)(z)(1 1.4)(1 0.7)zzHzzz32242.83( )(1.41)(0.7)zzzH zzzz.121101*11100)1)(1 ()1 (11)(NkNkNMkkkkkkkkkNkkkMkkkzGzdzdzgBzcAzazbzH4. 并联型并联型 将H(z)展成部分分式方式：其中，kkkkkG

14、cgBA,均为实数，*kd与kd是一对共轭极点；当MN时，不包含NMkkkzG0项；M=N时，该项为G0 。. 普通IIR滤波器皆满足 的条件，上式表示系统是由 个一阶系统、 个二阶系统以及延时加权单元并联组合而成的。NM 1N2N)(ny)(1zH)(2zH)(zHm)(nx.212111022111100)(1)(NNkkkkkkkzHGzzzGzHu 为了构造上的一致性，普通将一阶实极点也组合成实系数u 二阶多项式，并将共轭极点对也化成实系数二阶多项式，u 当MN时，有式中表示取的整数部分。当N为奇数时，包含一个一阶节，此节点有:012kk21N21N.例：M=N=3，为奇数，故0112

15、1)()()(11)(32122211211202111010zHzHzHzzzzGzH其构造图如下：0G01111z12221z12)(nx)(ny021z.特点： 1不易调整零点：并联型可以用调整的方法来单独调整一对极点的位置，但是不能像级联型那样单独调整零点的位置。 2没有误差传送：各并联根本节的误差相互没有影响，所以比级联型的误差普通来说要稍小一些。 因此在要求准确的传输零点的场所下，宜采用级联构造；而在要求误差较小时，宜采用并联构造。kkaa21,.三、转置定理三、转置定理 假设将原网络中一切支路方向加以倒转，且将输入 和输出交换，那么其系统函数不改动。原网络原网络0b1a2a1Na

16、Na1z1b2b1MbMb)(nx)(ny1z1z1z例：.转置后的网络：1a2a1b2b1NaNa1Mb1z1z)(ny)(nx0bMb1z1z.输入在左、输出在右的习惯方式：1a2a1b2b1NaNa1Mb1z1z)(ny)(nx0bMb1z1z.练习不用交： P220: 1, 2, 3. 5-3 有限长单位冲激呼应有限长单位冲激呼应FIR滤波器的滤波器的 根本构造根本构造一、一、FIR滤波器的特点：滤波器的特点：1. 有限长：有限长：h(n)在有限个在有限个n值处不为零。值处不为零。极点全在原点：极点全在原点：H(z)在在 处收敛，在处收敛，在 处有限处有限z平面只需零点，而全部极点平面

17、只需零点，而全部极点都在都在z处。处。3. 非递归构造：可以没有输出到输入的反响，但有些4. 构造中例如频率抽样构造也包含有反响的递归部分。0|z0|z.设FIR滤波器的单位冲激呼应 为一个N点序列，对于因果系统，可设其非零范围为 那么系统函数为 可看出，它有N-1阶极点在z=0处，有N-1个零点位于有限z平面上。110110)()()(NNnnNNnnzznhznhzH)(nh10Nn. 系统的差分方程为二、根本构造二、根本构造1、横截型也称为卷积型、直接型、横截型也称为卷积型、直接型) 1() 1() 1() 1 ()()0()()()(10NnxNhnxhnxhmnxmhnyNm1z1z

18、1zh(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)(nx)(ny.用转置定理可得另一种方式：1z1z1z1zh(N-1)h(N-2)h(N-3)h(2)h(1)h(0)(nx)(ny.2、级联型、级联型 将将H(z)分解为实系数二阶因子的乘积方式分解为实系数二阶因子的乘积方式102122110)()()(NnNkkkknzzznhzH 2N其中 表示取N/2的整数部分。N为偶数时，N-1为奇数，这时由于有奇数个零点，所以中有一个为零。k2.特点：特点： 1每一节可控制一对零点，因此在需求控每一节可控制一对零点，因此在需求控制传输制传输 零点时，可采用它。零点时，可采用它。 2 所需的系数所需

19、的系数 比卷积型的系数比卷积型的系数h(n)要要多，乘法多，乘法 次数也要多。次数也要多。0111211z1z1z1z1z1z021222 20N 21N 22N)(nx)(ny将每一个二阶因子用横截型构造实现：jk.3、频率抽样型、频率抽样型 在第三章中讨论过用在第三章中讨论过用 表示表示 的内插公式的内插公式为为 其中的 为滤波器频率特性的抽样，对此式的实现称为频率抽样型构造。这种构造由两部分级联组成。)(kH)(zH1011)(1)1 ()(NkkNNzWkHNzzHP112 式3-90)(kH.Nz1第一部分：)(zHc记为NczzH1)(即这是一个FIR子系统的，由N节延时单元构成：

20、)(nx)(nyNz.分析其特性：令 那么有即 在单位圆上有N个等间隔角度的零点，它的频率呼应为01)(NczzH1, 1 , 0,122NiezeziNjiijNi)(zHc)2sin(21)(2NjeeeHNjNjjc.幅度呼应为相角为)2sin(2)(NeHjcNmNmmmNNmNmmNeHjc2) 1(2,42, 120, 0,22arg到到到.其幅度相应：| )(|jceH0N2N4由于具有梳状特性，所以称其为梳状滤波器。.第二部分：它由N个一阶网络并联而成。其中每一个一阶网络令 分母为零，即可求得极点为因此， 是谐振频率为 的谐振器。11)()(zWkHzHkNk101101)()

21、(NkkNNkkzWkHzH)(zHk011zWkNkNjkNkeWz2kN2.阐明： 一个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点相抵消，从而使这个频率 上的频率呼应等于 。 这样，N个谐振器的N个极点就和梳状滤波器的N个零点相互抵消，从而在N个频率抽样点 的频率呼应就分别等于N个 值。kN2)(kH1, 1 , 0,2NkkN)(kH. N个并联谐振器与梳状滤波器级联，并思索到系数 就得到如下频率抽样构造： )0(H)(nxNz)(nyN11z1z1z) 1 (H) 1(NH10NWNjNeW21) 1(2)1(NeWNjNNN1.频率抽样构造的优点：频率抽样构造的优点： 1、特性控制方便。

22、系数、特性控制方便。系数 就是滤波器在就是滤波器在 处的呼应，因此控制滤波器的频率呼应很处的呼应，因此控制滤波器的频率呼应很方便。方便。 2、通用性强。零、极点数目只取决于单位抽、通用性强。零、极点数目只取决于单位抽样呼应样呼应 的点数，因此，只需单位冲激呼应点数一的点数，因此，只需单位冲激呼应点数一样，利样，利 用同一梳状滤波器、同一构造而只需加权用同一梳状滤波器、同一构造而只需加权系数不系数不 同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器。同的谐振器，就能得到各种不同的滤波器。 )(kHkN2. 缺陷：缺陷： 1运算量大、存储量大。构造中所乘的系数运算量大、存储量大。构造中所乘的系数 及及 都是复

23、数，添加了乘法次数和存储量。都是复数，添加了乘法次数和存储量。 2能够不稳定。一切极点都在单位圆上，由能够不稳定。一切极点都在单位圆上，由系数系数 决议，这样，当系数量化时，这决议，这样，当系数量化时，这些极点会挪动，有些极点就不能被梳状滤些极点会挪动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消。假设极点移到了波器的零点所抵消。假设极点移到了z平面平面单位圆外，系统就不稳定了。单位圆外，系统就不稳定了。 零点由零点由 确定，不受字长效应确定，不受字长效应影响影响)(kHkNWkNWNz1.u 修正的频率抽样型构造： 将一切零、极点都移到单位圆内某一接近单位圆、半径为rr小于或近似于1的圆上。 修正

24、后的系统函数为1011)(1)1 ()(NkkNrNNzrWkHNzrzH这样，即使零极点不能抵消，也不会不稳定。)()(1)(kHkHrkHrr ，由于值，为单位圆内抽样点上的.)(nxN1)(nyNNzr)(0zH)(1zH)(zHk)(2zHNu 合并简化构造：u 利用 、 的共轭对称性，可以将共轭极点的两个谐振器合并为实系数二阶子系统。N为偶数的合并后频率抽样构造如下所示。)(kHkNW.4、快速卷积构造、快速卷积构造 就是经过就是经过FFT实现滤波。实现滤波。 利用圆周卷积定理、线性卷积与圆周卷积利用圆周卷积定理、线性卷积与圆周卷积的相等条件等。的相等条件等。 滤波器的输出为滤波器的

25、输出为 计算构造如以下图：计算构造如以下图：)()()(nhnxny.当 足够长时，用这种构造计算线性卷积要快的多。这里的DFT和IDFT均可以利用FFT算法。h(n)L点点DFTL点点DFTX(k)H(k)Y(k)L点点IDFT)(nx)()()(nhnxny21,NN121NNL留意：x(n)、h(n)的长度分别为 ，这里的L应满足21,NN.5、线性相位、线性相位FIR滤波器的构造滤波器的构造线性相位：系统的相位呼应随频率变化的特性为一条直线。 意义：假设系统是线性相位，那么各频率分量在经过系统时的延时相等。通带内频率分量组成的信号与输入时一样。运用举例：图象处置FIR滤波器：可实现严厉的线性相位。 IIR实现不了严厉的线性相位.线性相位条件：对于单位抽样呼应 ， 假设满足 偶对称 或 奇对称 那么该系统为线性相位系统。)1()(nNhnh)1()