第二章 第1节 导数的概念

1、2导数概念的产生导数概念的产生 导数思想最早由法国数学家Fermat在研究极值问题中提出微分学的创始人英国数学家 Newton （1642 1727） 德国数学家 Leibniz （1646 1716） (16011665)3一、引例一、引例1. 1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tSS 221tgs so的平均速度：的平均速度：到到则从则从ttt00时刻的瞬时速度：时刻的瞬时速度：在在0t)(0tS)(0ttsttSttSv)()(00ttSttSvt)()(lim00042.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放5 T0

2、xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT6.)()(limtan000 xxxfxfkxx xxx0记记xxfxxfx)()(lim000两个问题的共性两个问题的共性瞬时速度ttSttSvt)()(lim000切线斜率xxfxxfkx)()(lim000

3、所求量为函数增量函数增量与自变量增量自变量增量之比的极限 .类似问题类似问题加速度电流强度线密度等7二、导数的定义0000( ),()();yf xxxxxyyf xxf x 设在点 的某个邻域内有定义 当自变量在 处取得增量时 相应地函数 取得增量如果0( )f xx存在，则称在 可导，0( )yf xx此极限称为在 点的导数；0000()()limlimxxyf xxf xxx 8.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 2、导数的其它形式、导数的其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx,0 xxdxdy记作：记作：,0 xxy,)(0 xxxdxfd; )(0 x

4、f xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000即即说明：说明：点不可导；点不可导；在在不存在，则称不存在，则称、若、若00)(lim1xxfxyx)(0 xxx无穷。无穷。，不可导，也称导数为，不可导，也称导数为若若xyx0lim9.)(,.)()()(lim)(,dxxdfdxdyyxfxxfxxfxfbaxx或或也可记作也可记作的导函数的导函数称为称为）（对于任一对于任一0 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或.),()(,),()(内可导内可导在在就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在在、如果函数、如果函数bax

5、fbaxfy 3.)()(004xxxfxf、10ttSttSvt)()(lim000 xxfxxfkx)()(lim000)(tSS ，、导数为函数的变化率、导数为函数的变化率51如引例如引例)(0tS2引例引例)(xfy )(0 xf 11三、由定义求导数三、由定义求导数例例1 1点的导数及导函数。点的导数及导函数。在在求求1532xxy解解xfxffx) 1 ()1 (lim) 1 (0 xxx535)1 (3lim20 xxxx20)(36lim6xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxxxx535)(3lim20 x6也有也有66)() 1 (11xxxxff12求导的一般步骤：

6、求导的一般步骤：);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例2 2.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即)(xfy 13例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x 44cos)(sin xxxx.22 类似可得：类似可得：xxsin)(cos即即xxcos)(s

7、in14例例4 4.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121x.21x )(1 x11)1( x.12x )1(xx)(43x4743xxx21)(21)1(xx15例例5 5.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 16例例6 6.)1, 0(log的的导导数数求求

8、函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln)(logaxxa1即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 exalog1.lnax117.2)()(lim)(0000hhxfhxfxfh存存在在，求求极极限限设设7例例解解: 原式)()()()(limhxfhxfhxfhxfh0000021)()()()(limhxfhxfhxfhxfh0000021)()(2100 xfxf)(0 xf 18四、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000

9、为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy )().()(010000 xfxxxfyy19例例8 8.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即.

10、 01582 yx即即20例例9. 9. 问曲线3xy 哪一点有垂直切线? 在哪一点处的切线与直线131xy平行? 并写出切线方程 .解解: :)(3xy3231x32131x,0 xy故在原点( 0 , 0 )有垂直切线0 x令,3113132x得,1x对应,1y所以在点(1,1) , (1,1)的切线与直线131xy平行,切线方程分别为) 1(131xy即023 yx1111) 1(311xy212.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt

11、 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.22xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000导数定义的其它形式导数定义的其它形式.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx导数的定义：导数的定义：232.2.右导数右导数: :五、左右导数五、左右导数1.1.左导数左导数: :00000 xxxfxfxfxx)()(lim)(00000

12、xxxfxfxfxx)()(lim)()(0 xf存存在在 )(0 xf =)(0 xf xyxyxyxxx00000limlimlim存在存在结结论论：如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.;)()(limxxfxxfx0000;)()(limxxfxxfx000024例例1010.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh000000lim)()(lim, 1 hhhfhfhh000000lim)()(

13、lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy)0(f)0(f25六、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 26注意注意: :、连续不一定可导。、连续不一定可导。1xxf)(如如xy xyo点连续，点连续，在在0)(xxf1)0(f但但1)0(f.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy导。导。点不连续，则一定不可

14、点不连续，则一定不可在在、如果、如果0)(2xxxf可用左、右导。可用左、右导。点的导数问题点的导数问题、讨论分段函数在分段、讨论分段函数在分段327例例1111.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx2812例例,0,0,11)(xbxa

15、xxxxf已知已知点可导？点可导？在在为何值时为何值时问问0)(,xxfba解：解：可导一定连续，可导一定连续，),0()00()00(fff由由,11lim)(lim0000axxbxaxxxxax11lim00)11 (lim00 xxxx21),0()0(0)(ffxxf点可导点可导在在29xfxffx)0()(lim)0(00而而xbxx2121lim00, bxfxffx)0()(lim)0(00 xxxx2111lim00200121limxxxx)121 (4lim2200 xxxxx81),0()0(ff由由,81b点可导。点可导。在在时，时，即当即当0)(8121xxfba3

16、0六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.318512P习题.18,17,15),2(14,13,11, 8),7 , 6 , 4 , 2(7 , 6 , 432思考题思考题

17、函函数数)(xf在在某某点点0 x处处的的导导数数)(0 xf 与与导导函函数数)(xf 有有什什么么区区别别与与联联系系？33思考题解答思考题解答 由导数的定义知，由导数的定义知，)(0 xf 是一个具体的是一个具体的数值，数值，)(xf 是由于是由于)(xf在某区间在某区间I上每一上每一点都可导而定义在点都可导而定义在I上的一个新函数，即上的一个新函数，即Ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 与之对应，所以两与之对应，所以两者的者的区别区别是：一个是数值，另一个是函数两是：一个是数值，另一个是函数两者的者的联系联系是：在某点是：在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 即是导即是导函数函数)

18、(xf 在在0 x处的函数值处的函数值34一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设)(xf在在0 xx 处可导，即处可导，即)(0 xf 存在，则存在，则 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已知物体的运动规律为已知物体的运动规律为2ts ( (米米) )，则该物体在，则该物体在 2 t秒时的速度为秒时的速度为_ ._ .3 3、 设设321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 则则它们的导数分别为它们的导数分别为dxdy1=_ =_ ，dxdy2=_ =_ ，dxdy3=_ .=_ .练

19、习题练习题354 4、 设设2)(xxf , ,则则 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 线曲 线xey 在 点在 点)1,0(处 的 切 线 方 程 为处 的 切 线 方 程 为_._.二、二、 在下列各题中均假定在下列各题中均假定)(0 xf 存在，按照导数的定存在，按照导数的定义观察下列极限，分析并指出义观察下列极限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、证明：若三、证明：若)(xf为偶

20、函数且为偶函数且)0(f 存在，则存在，则0)0( f. .36四、四、 设函数设函数 0,00,1sin)(xxxxxfk问问k k满足什么条满足什么条件，件，)(xf在在0 x处处 (1)(1)连续；连续； （2 2）可导；）可导；（3 3）导数连续）导数连续. .五、五、 设函数设函数 1,1,)(2xbaxxxxf, ,为了使函数为了使函数)(xf在在1 x处连续且可导，处连续且可导，ba ,应取什么值应取什么值. .六、六、 已知已知 0,0,sin)(xxxxxf, ,求求)(xf. .七、七、 证明：双曲线证明：双曲线2axy 上任一点处的切线与两上任一点处的切线与两 坐标轴构成的三角形的面积都等于坐标轴构成的三角形的面积都等于22a. .37八八、 设设有有一一根根细细棒棒，取取棒棒的的一一端端作作为为原原点点，棒棒上上任任意意点点的的坐坐标标为为x，于于是是分分布布在在区区间间1,0上上细细棒棒的的质质量量m是是x的的函函数数)(xmm 应应怎怎样样确确定定细细棒棒在在点点0 x处处的的线线密密度度（对对于于均均匀匀细细棒棒来来说说，单单