理论力学 第四章

1、制作与设计制作与设计 山东大学山东大学 工程力学系工程力学系返回总目录Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 第四章第四章 刚体的平面运动刚体的平面运动Plane motion of rigid body Theoretical Mechanics 第四章第四章 刚体的平面运动刚体的平面运动 返回首页 4.1 4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解Introduction and Analysis Theoretical Mechanics四连杆机构4.1 4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解

2、 返回首页刚体平面运动的运动特征刚体平面运动的运动特征 Theoretical Mechanics 刚体平面运动的运动特征刚体平面运动的运动特征 返回首页4.1 4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 Theoretical Mechanics 返回首页4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 Theoretical Mechanics 返回首页曲柄连杆机构4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 Theoretical Mechanics过过刚体作作 平面平面平行平面平行平面A1MA2：做平动，垂直于平面M点可代表直线

3、A1MA2上各点的运动 返回首页SA1A2M平面平面与刚体相交截出一个平面图形S平面图形S始终保持在平面内运动 平面图形S上作上作M点点4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 Theoretical Mechanics结论：结论：刚体的平面运动，可以简化为平面图刚体的平面运动，可以简化为平面图形形S在其自身所在的固定平面在其自身所在的固定平面内的运动内的运动 返回首页SA1A2M4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 Theoretical Mechanics 返回首页MO 平面图形在静坐标系平面图形在静坐标系 Oxy 内运动。内运动。 为了

4、确定图形在任意瞬时的为了确定图形在任意瞬时的位位置置，只须确定图形内，只须确定图形内任一条直线任一条直线O M的位置。的位置。 4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical MechanicsOOyx、O O MOOyx、O MOOyx、4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical Mechanics)()()(321tftfytfxOO平面运动刚体平面运动刚体的运动方程：的运动方程： 当平面图形当平面图形S运动时，运动时，基基点点 的坐标的坐标 和角坐和角坐标标 都是时间都是时间t 的单值

5、连续函的单值连续函数。数。 OOOyx、或或)()(ttOOrr4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical Mechanics结论：刚体的平面运动可以分解为结论：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和绕基点的转动。随同基点的平移和绕基点的转动。 都随时间变化时，都随时间变化时，平面图形作平面运动。平面图形作平面运动。、OOyx若若为常量，平面图形为常量，平面图形S作平移；作平移；OOyx、若若 为常量，即基点为常量，即基点O 的位的位置不动，平面图形置不动，平面图形S将绕通过基点将绕通过基点O且与图形且与图形S的平面垂直的轴转动。的平面垂

6、直的轴转动。)()()(321tftfytfxOO4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical Mechanics车轮的平面运动车轮的平面运动随同随同O的平移运动的平移运动绕绕O1的转动的转动+4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical Mechanics4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical Mechanicsv随同基点平移的特点随同基点平移的特点 基点不同基点不同位移不同位移不同BBAABAvvBAaa 结论：选择不同基点，平面

7、图形随结论：选择不同基点，平面图形随同基点平移的速度和加速度不相同。同基点平移的速度和加速度不相同。4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical Mechanics基点不同基点不同转角相同转角相同任意瞬时，平面图形绕其平面内任意基任意瞬时，平面图形绕其平面内任意基点转动的角速度与角加速度都相同。点转动的角速度与角加速度都相同。2121 12结结论论4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical Mechanics4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theo

8、retical Mechanicsv 选择不同的基点，平面图形随同基点平移选择不同的基点，平面图形随同基点平移的速度和加速度不相同。的速度和加速度不相同。v 相对基点转动的角速度、角加速度与基点相对基点转动的角速度、角加速度与基点的选择无关。的选择无关。v 今后标注平面图形的角速度和角加速度时，今后标注平面图形的角速度和角加速度时，只需注明它是哪个刚体的，不必注明它是相对只需注明它是哪个刚体的，不必注明它是相对于哪个基点。于哪个基点。 讨讨 论论4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 Theoretical Mechanics OA=r , AB=l;OA以以 O。

9、返回首页OABPxy4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 返回首页Theoretical MechanicsOABPxytrytrxAAsin,cos )sinarcsin(tlr sinsinrl tlrsinsin t xAyA4.1 刚体的平面运动概述和运动分解刚体的平面运动概述和运动分解 Theoretical Mechanics 第四章第四章 刚体的平面运动刚体的平面运动 返回首页 4.2 4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法(Method of Base Point)(Method of Base Point) 返回首页The

10、oretical MechanicsyxAB vBAvBvBAyxO SvAvA4.2.1 基点法基点法4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 返回首页Theoretical MechanicsyxAB vBvBAyxOSvAB点对于A点的相对速度)(rABBA vv方向与半径AB垂直，指向与角速度的转向一致 4.2.1 基点法基点法4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法Theoretical Mechanics 4.2.2 速度投影定理速度投影定理 上式向O点和M点的连线上投影0)(MOOMvMOOMvOMOMvvvMOOMOM)()(vv

11、OvMvOM v 返回首页4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法Theoretical Mechanics 当已知平面图形内某点的速度大小、方向和另一点的速度方向，要求其大小时，应用速度投影定理就很方便。 速度投影定理：平面图形内任意两速度投影定理：平面图形内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等点的速度在此两点连线上的投影相等MOOMOM)()(vv4.2.2 速度投影定理速度投影定理 返回首页4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 Theoretical Mechanics例例 题题OAr，ABl OA = 45OAABBO45A思路：思

12、路：1）分析运动。）分析运动。2）通过关连点寻找已知与未知的关系。）通过关连点寻找已知与未知的关系。3）通过定理解决问题。）通过定理解决问题。4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 BO0A 返回首页Theoretical Mechanicsx y： ()=xyvAvBAvBvA例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 返回首页Theoretical Mechanicscoscos0rvvABBO0AvAvBAvBvAtantan0lrlvAlvABAB例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 rvv

13、vAAB22cos 返回首页Theoretical Mechanicscossin0BAAvv x轴： rvvABAlrABvBAABsincosBAABvvvy轴： xyBAABvvvBO0AvAvBAvBvA例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 返回首页Theoretical MechanicsvCAvC再求连杆再求连杆AB中点中点C的速度的速度vC 仍选A为基点 2tan2522222CAACAACvvrrrvvvCAACvvvBO0AvAvBAvBvAvA例例 题题C4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 返回首页Theo

14、retical MechanicscosBAvv rvvAB2cosBO0AvBvA例例 题题 B 点的速度方向已知，求点的速度方向已知，求 B点点的速度大小用速度投影定理的速度大小用速度投影定理 4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法例例 如图所示四连杆机构中，已知曲柄AB长0.2m，转速n=50r/min，摆杆CD长为0.4m。试求时摆杆CD和杆BC的角速度。解：曲柄AB作定轴转动，B点的速度为500.21.05m/s30BvAB连杆BC作

15、平面运动，取B为基点，则C点的速度由公式可得CBBCvvvvvvv 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法方向垂直于CD杆。速度平行四边形，如图所示。由速度投影定理vvvvCBBCvBCCCDvCD方向垂直于BC杆。由 的指向可知， 为逆时针转向。cv 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法因为因此BC杆绕基点B转动，由 指向可知 是顺时针方向。 所以0.606m/sCBCvvvvvv22(sin60 )0.454mBCCE

16、CDAB Theoretical Mechanics例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法解：套筒AB作平面运动,其 角速度与杆OC的角速度相同，即为 。只要知道A点的速度，以A为基点即可求出B点的速度。取如图所示坐标系，A点的坐标为常量例例 如图所示机构中，摆杆OC在铅直面内绕O轴转动，其上套一可沿之滑动的套筒AB。在套筒AB上用铰链连接滑块A，滑块可沿铅直槽DE滑动。已知 求当 时，套筒上B点的速度。20cmAB 2rad/s 10cmh，vvvvtanAyh 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点

17、法求平面图形内各点速度的基点法点A的速度为因dtdcm/s 7 .2634210cos2Ahv其实也可用前面所学的点的复合运动来求出Avvvv226.7cm/scoscoscoseAavOAhvv，所以当时30 例例 题题4.2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法根据公式BAABvvv而 ，作B点的速度平行四边形，如图所示。解得cm/s 40ABvBA222cos64.5 cm/sBABAABAvvvvvvvvv Theoretical Mechanics 第四章第四章 刚体的平面运动刚体的平面运动 返回首页 4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心

18、法Method of Instantaneous CenterTheoretical Mechanics 4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1 瞬时速度中心瞬时速度中心 4.3.2 速度瞬心法速度瞬心法 4.3.3 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法 返回首页 返回首页Theoretical Mechanics问题的提出问题的提出由基点法由基点法OMOMvvvOvMvOM v基点是任意选择的，能否找到基点是任意选择的，能否找到速度等于零的点？速度等于零的点？以此零点为基点，求平面图形以此零点为基点，求平面图形上各点的速度就更简便了。上各点的速度就

19、更简便了。 4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1 瞬时速度中心瞬时速度中心 S 返回首页Theoretical MechanicsAxyPvAvA4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1 瞬时速度中心瞬时速度中心 返回首页Theoretical MechanicsvIA IAvAIAxySPvAvA4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.1 瞬时速度中心瞬时速度中心 返回首页Theoretical MechanicsvIA IAxySPvAvA4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内

20、各点速度的瞬心法4.3.1 瞬时速度中心瞬时速度中心 返回首页Theoretical Mechanics)(IMvM方向如图示4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.2 速度瞬心法速度瞬心法大小大小()MIvIM 返回首页Theoretical Mechanics 在平面图形运动的某瞬时，以速度瞬心I为基点，图形上各点的速度等于相对瞬心转动的速度。在此瞬时，平面图形的运动就简化成为绕瞬心的转动 。4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法4.3.2 速度瞬心法速度瞬心法 返回首页Theoretical MechanicsAB90o90oI4

21、.3.3 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 返回首页Theoretical MechanicsSABI 已知平面图形上两点的已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。且都垂直于两点的连线。90o90o4.3.3 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 返回首页Theoretical MechanicsSAB90o90oI4.3.3 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬

22、心位置的方法4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法S 返回首页Theoretical MechanicsAB 已知平面图形上两点的速度已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于两点的连线。者都不垂直于两点的连线。I90o90o这种情况称为瞬时平移4.3.3 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 返回首页Theoretical Mechanics如果平面图形沿某固定面只滚动而不滑动，如图。则图形与固定面

23、的接触点就是瞬心I。 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法 4.3.3 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 返回首页Theoretical Mechanics确确定定速速度度瞬瞬心心位位置置方方法法小小结结4.3.3 确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 返回首页Theoretical Mechanics几点讨论几点讨论v每瞬时平面图形上都存在惟一的速度瞬心。它每瞬时平面图形上都存在惟一的速度瞬心。它可位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分

24、。可位于平面图形之内，也可位于图形的延伸部分。v瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有瞬心只是瞬时不动。在不同的瞬时，图形具有不同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加不同的速度瞬心。即速度瞬心的速度等于零，加速度并不等于零。速度并不等于零。v平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成平面图形在其自身平面内的运动，也可以看成是绕一系列的速度瞬心的转动。是绕一系列的速度瞬心的转动。4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 返回首页Theoretical MechanicsODCBAvO4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 ODCBAvO 返回首

25、页Theoretical Mechanics I0I0022vvvvDC,020vvvBA,4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法由由 RvOOvR 返回首页Theoretical Mechanics4.3 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 返回首页Theoretical Mechanics例例 图示机构中，已知各杆长图示机构中，已知各杆长OA=20 cm，AB=80 cm，BD=60 cm，O1D=40 cm，角速度角速度O=10 rad/s 。求机构在图示位置时，杆求机构在图示位置时，杆BD的角速度、杆的角速度、杆O1D的角速度及杆的角速度

26、及杆BD的中点的中点M的速度。的速度。 解：研究AB杆，求vB由速度投影定理知 cosBAvv 418020tanABOA174cosscm2061741020cosABvv 返回首页Theoretical MechanicsBDBBDvsrad43. 360206BDvBBDscm10343. 330BDMMDv由于由于 BD杆上的杆上的D点和瞬心重合，则点和瞬心重合，则 0Dv011DOvDDO取取BD杆研究杆研究BD杆的速度瞬心为杆的速度瞬心为D Theoretical Mechanics 第四章第四章 刚体的平面运动刚体的平面运动 4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度M

27、ethod for Analysis of Acceleration of Each Point on Planar Figure 返回首页 返回首页Theoretical MechanicsSBAyxaABaeArBA 4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度4.4.1 基点法基点法 SBAyxaA BA 返回首页Theoretical MechanicsBAaAaAaBAanBAaBAaAaBAaBaBreaaaaaBnBABAABAAaaaaa4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度4.4.1 基点法基点法 返回首页Theoretical Mechanicsrea

28、aaaaBnBABAABAAaaaaa4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度4.4.1 基点法基点法 Theoretical Mechanics例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度解：轮作平面运动，其轮心O的速度、加速度分别为例例4.6 在如图所示的行星齿轮机构中，系杆在如图所示的行星齿轮机构中，系杆 ,以匀以匀角速度角速度 绕固定轴绕固定轴 转动，在系杆销转动，在系杆销O上装一可自由上装一可自由转动的齿轮转动的齿轮，其节圆半径为，其节圆半径为r，并沿固定齿轮，并沿固定齿轮滚动而滚动而无滑动。求图示位置轮缘上无滑动。求图示位置轮缘上A、B两点的加速度。两

29、点的加速度。A点在点在 的延长线上，而的延长线上，而B点在垂直于点在垂直于 的半径上。的半径上。 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度轮与轮的接触点是轮的瞬心，设轮角速度为，则A、B两点相对于基点O的法向加速度分别沿半径OA和OB指向轮心O，它们的大小为aaaaaa式中， 为常量，因此 也是常量，故轮的角加速度 。取O为基点，于是有 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度如图所示，求得点A的加速度大小为它的方向沿OA并指向O点。点B的加速度大小为

30、它与半径OB的夹角为aaaaaa 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度例例4.7 如图所示的四连杆机构中，曲柄OA=O1B =r，连杆AB长为2r，曲柄OA以角速度 逆时针转动，当OA与摆杆O1B 垂直时，O在 O1B 的延长线上，且 。试求该瞬时连杆AB的摆杆O1B 的角加速度。解：连杆AB作平面运动， 图示瞬时AB的瞬心在OA与O1B的交点上，恰与O点重合。于是杆AB的角速度为vv 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度B点是AB上的一点，其

31、速度为而B点也是 上的一点，所以 杆的角速度为取A点作基点。B点的轨迹是以 为半径的圆周。B点的加速度为BO1tntnBBABABAaaaaaaaaaaa 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度式中各分量情况列表说明如下：方向指向 点 铅直向下指向基点A大小？AB 在B点作加速度矢量图，其中指向未知的按图所示方向假设，应用矢量投影定理，将上式向x轴投影，得到tBanBaAatBAanBAa2213rraaaaaa 得负值，说明相对切向加速度的方向与图示指向相反，AB杆的角加速度应为顺时针转向。 返回首页Theoretic

32、al Mechanics例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度解得于是aaaaaa 返回首页Theoretical Mechanics例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度为求杆 的角加速度 ，将上式再向y轴投影，得到解得于是式中，负号说明 的指向与如图所示假设相反，所以 杆的角加速度也应为顺时针转向。aaaaaa O 返回首页Theoretical MechanicsBvOaO4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 OBvOaO 返回首页Theoretical MechanicsOO xy。4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内

33、各点的加速度xyRvRvtRtsRsOOOO,dddd, 返回首页Theoretical MechanicsRvOO ddOOOatR4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度OBvOaOxyntAOAOAOaaaaaO atAOanAO基点基点ORvRaOOAO22ntAOOOaRaAjaRvOA2O 返回首页Theoretical MechanicsRvRaOOBO22nOOaRRvOOjiaOOOBaRva)(2nBOBOOBaaaatBOOOaRaanBOatBO4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度OBvOaOxyaOO 返回首页Theoretical Mec

34、hanics 曲柄曲柄OA = r，以角速度以角速度 绕定轴绕定轴O转动。连杆转动。连杆AB = 2r，轮轮B半径为半径为r，在地面上滚动而不滑动如图。求曲柄，在地面上滚动而不滑动如图。求曲柄在图示铅垂位置时杆在图示铅垂位置时杆AB及轮及轮B的角加速度。的角加速度。 例例 题题4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 返回首页Theoretical Mechanics 速度部分速度部分 连杆连杆AB作平面运动，此瞬时，作平面运动，此瞬时，vAvB，而，而AB不垂直于不垂直于vA。连杆连杆AB作瞬时平移，其瞬心在无穷远处，作瞬时平移，其瞬心在无穷远处，AB=0rvvAB轮轮B作平面运

35、动，轮与地作平面运动，轮与地面间无相对滑动，则接面间无相对滑动，则接触点触点C为轮为轮B的速度瞬心的速度瞬心 rvBB例例 题题AvBv4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 返回首页Theoretical Mechanics 求加速度求加速度 选选A为基点，为基点，B点的加速度点的加速度 nBABAABaaaa0ABnBAABa233tanraaABcossinABABaaa ： 2332raBA233BAABaABAB杆在图示位置作瞬时平移，其角速度等于零，但其角加速度并不等于零 例例 题题sincosAnBABaaa ： AanBAaBAaBaAa4.4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 返回首页Theoretical Mechanics