(完整版)高考导数题型归纳

1、高考压轴题：导数题型及解题方法(自己总结供参考)一切线问题题型1求曲线y f(x)在xxo处的切线方程。方法：f(X0)为在x Xo处的切线的斜率。题型2 过点(a,b)的直线与曲线 y f(x)的相切问题。方法：设曲线y f(x) 的切点 (xo, f (xo) ，由(xo a)f (xo)f (xo) b 求出xo ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f (x) =x3-3x.(1)求曲线y=f (x)在点x=2处的切线方程；(答案：9x y 16 0)(2)若过点AA(1,m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数 m的

2、取值范围、(提示：设曲线yf(x)上的切点(xo, f (xo)；建立x0, f(x0)的等式关系。将问题转化为关于 x0, m 的方程有三个不同实数根问题。 (答案： m 的范围是3, 2 )练习 1. 已知曲线 y x3 3x(3x y 0 或 15x 4y 27 0 )( 1)求过点( 1， -3 )与曲线 y x3 3x 相切的直线方程。答案：(2)证明：过点( -2,5 )与曲线 yx33x 相切的直线有三条。2. 若直线 e2 x y e21 0与曲线y 1 aex相切，求a的值.1)题型 3 求两个曲线 yf (x) 、 y g (x) 的公切线。方法：设曲线y f (x) 、

3、y g(x) 的切点分别为( x1 , f (x1) ) 。 ( x2, f (x2) ) ；建立 Xi,X2 的等式关系，(X2Xi)f(Xi)yy，(X2x1)f(x2)yy1；求出x1，X2,进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。例求曲线y X2与曲线y 2elnX的公切线方程。(答案2nx y e 0)练习1.求曲线y x2与曲线y (x 1)2的公切线方程。(答案2x y 1 0或y 0)122.设函数f(x) p(x 一) 2ln x, g(x) x ,直线l与函数f (x), g(x)的图象都相切，且与函数 xf(x)的图象相切于(1,0),求实数

4、p的值。(答案p 1或3)二.单调性问题题型1 求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：(1)在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；(2)在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类(涉及到 二次方程问题时，与 0的关系不定)；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分 类；(4)在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准 出发，做到不重复，不遗漏。1 2例已知函数 f(x) ain x 一 x2 (a 1)x2(1)求函数f(x)的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)(2)若x 2,e

5、,求函数f (x)的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类).1 O-一_练习 已知函数f(x) exx (k 1)ex 1x2 kx 1 ,若x 1,2 ,求函数f(x)的单调区间。(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。方法1：研究导函数讨论。万法2：转化为f (x) 0或f (x) 0在给定区间上恒成立问题，方法3:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增 或减区间的子集。注意："函数f(x)在m,n上是减函数”与“函数 f(x)的单调减区间是 a,b ”的区别是前者是 后者的

6、子集。例 已知函数f(x) x2 a in x + -在1,上是单调函数，求实数 a的取值范围.x(答案0,)1 3 (k 1) 2 练习 已知函数f(x) X3 )x2,且f(x)在区间(2,)上为增函数.求实数k的取值范围。32(答案：k 1 B题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。1例 设函数f(x) X3 ax2 X 1, a R在区间 1,1内不单调，求实数 a的取值范围。(答案：a 2,、；3)三.极值、最值问题。题型1求函数极值、最值。基本思路：定义域 一

7、疑似极值点 一单调区间 一极值一最值。1 C例 已知函数f(x) ex (k 1)e x kx 1 ,求在x 1,2的极小值。2(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)练习 已知函数f(x) x3 mx2 nx 2的图象过点(1, 6),且函数g(x) f (x) 6x的图象关于 y轴对称.若a 0,求函数y f (x)在区间(a 1,a 1)内的极值.(答案：当0 a 1时，f(x)有极大值 2,无极小值；当1 a 3时，f(x)有极小值 6,无 极大值；当a 1或a 3时，f(x)无极值.)题型2 已知函数极值，求系数值或范围。方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参

8、数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。141Q 1例 函数f(x) x - (1 p)x px p(1 p)x 1。0是函数f(x)的极值点。求头数 p值。432(答案:1)练习 已知函数f (x) ax x2 In x,a R.若函数f(x)存在极值，且所有极值之和大15 ln ,求a的取值范围。(答案：4,)2题型3已知最值，求系数值或范围。方法：1.求直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。例 设a R,函数f(x) ax3 3x2.若函数g(x) f(x) f (x), x 0,2,在x 0处取得最大值，求a的取值范围.(答案：，9)52练习 已知函数f(x) ax (a 2

9、)x In x,当a求实数a的取值范围。(答案：1,)0时，函数f(x)在区间1,e上的最小值是2,四.不等式恒成立(或存在性)问题。一些方法1 .若函数f(x)值域m,n , a > f(x)恒成立，则a n2 . 对任意 x1 m,n,x2m,n , f(x1) g(x2)恒成立。则 £3厢g(x2)maX3 .对 x1 m,n, x2m,n ， f(X) g(x2)成立。则 f(x1)max g(x2)min。4 .对 x1 m,n,恒成立 f(x1) g(x1)。转化 f(x1) g(x1) 0 恒成立4.对 x1m, n , x2m,n ， f(x1) g(x2)成立

10、。则 f(x1)ming(x2)min。5 .对 xi m,n , x2m,n , f(Xi) g(X2)成立。则 f(Xi)maxg(X2 )max6 .对 x1 m,n ,x2m, n , f (X1)一f (X2) a 成立。则构造函数 t(x) f (x) ax。转化证明 t(x)Xi X2在m, n是增函数。题型1已知不等式恒成立，求系数范围。方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。(2)讨论法：有的需构造函数。 关键确定讨论标准。 分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时，与

11、0 的关系不定)；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必 须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。(3)数形结合：(4)变更主元解题思路 1.代特值缩小范围。2.化简不等式。3.选方法(用讨论法时，或构造新函数)。方法一：分离法。求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。例函数f(x) eX(x2 in x) a。在x 1,e f(x) e恒成立，求实数a取值范围。(方法：分离法，多次求导答案：0,)练习 设函数f(x) x(eX 1) ax2,若当x>0时f(x) >0,求a的取值范围。(方法：分离法,用罗比达法则答案：,1 )方法

12、二：讨论法。有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时，与0的关系不定)；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发， 做到不重复，不遗漏。例 设函数f(x)= ex 1 X ax2.若当X>0时f(x) >0,求a的取值范围.1(答案：a的取值范围为，1 ),求实数a的取值范围ax 1练习1 .设函数f(x) 1 ex , x 0时，f(x)-1(答案：0,-)212.函数 f (x) a ln x 一，当 a x0.对 x

13、>0, ax(2ln x) 1 ,求实数a取值范围。(多种方法求解。(答案：0,e1 )方法三：变更主元例：设函数y f(x)在区间d上的导数为f(x), f (x)在区间d上的导数为g(x),若在区间d 上，g(x) 0恒成立，则称函数y f (x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，432xmx3xf (x) ,若对满足 m 2的任何一个实数 m ,函数f (x)在区间a,b上都为“凸函1262数”，求b a的最大值.(答案：2)练习 设函数f(x) xlnx。证明：当a >3时，对任意X 0, f(a x) f ex成立。(提示 f (a x) f (a) ex化为 a

14、x) e粤2),研究g(a)当的单调性。) ee五.函数零点问题题型1 ：判断函数零点的个数。方法：方程法；函数图象法；转化法；存在性定理，一一1 3例设a R, f (x)-xax (1 a)ln x .右函数y f(x)有零点，求a的取值范围.31(提示：当a 1时，f(1) 0, f“3a) 0,所以成立，答案 一，)3练习.求过点(1,0)作函数y x lnx图象的切线的个数。(答案：两条)题型2：已知函数零点，求系数。方法：图象法(研究函数图象与x轴交点的个数)；方程法；转化法(由函数转化方程，再转化 函数，研究函数的单调性。)31例.函数f(x) lnx x 1 a(x 1)在(1

15、,3)有极值，求实数 a的取值范围。(答案 ,一) 1812练习：1.证明：函数f (x) lnx的图象与函数g(x) 的图象无公共点。 ex ex六.不等式证明问题方法1：构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。方法2:讨论法。方法2.研究两个函数的最值。如证 f(x) g(x),需证f(x)的最小值大于g(x)的最大值即可。方法一：讨论法例：已知函数f(x) 也x b ,曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为x 2y 3 0。证明: x 1 xIn x当 x 0 ,且 x 1 时，f (x)x 1练习：.已知函数f(x)ax ex(a 0).当1 a e 1时，.试讨论f(x)与x的大小关系。方法二：构造函数 2例：已知函数f (x) ax kbx(x 0)与函数g(x) ax blnx,a、b、k为常数，(1)若g(x)图象上一点p(2,g(2)处的切线方程为：x 2y 2ln 2 2 0 ,设A(。y) B(x2, y?)<x1 x2)是函数y g(x)的图象上两点，g (x0)y2y1 ,证明:x2 x1为x°x2练习：1