6.题型十四第24题二次函数与几何图形综合题

1、更多名校，总复习从试题研究开始题型十四第24题二次函数与几何图形综合题注：二次函数与几何图形综合题每年24题必考，设问23问，分值10分，其中涉及二次函数图象平移变换4次，中心对称变换 3次，轴对称变换1次.类型一二次函数与特殊三角形判定(2016、2012.24)【类型解读】 二次函数与三角形判定近 10年考查2次，涉及等腰三角形(1次)、等腰直角三角形(2次) 的判定，均涉及求抛物线表达式，考查形式包含：已知抛物线表达式中的常数项和图象上两点坐标求表达式，判定抛物线与 x轴的交点个数，求使等腰直角三角形成立的抛物线平移方式(2016);求使等腰直角三角形成立的抛物线表达式 (2012.(2

2、).1 .抛物线C1： y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为(2, 0).(1)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；(2)将抛物线C1向左或向右平移 m(m>0)个单位得到抛物线 C2, C2交x轴于A, B两点(点A在点B的 左边)，交y轴于点C.若抛物线C2的对称轴上存在点 P,使APAC为等边三角形，求 m的值.2 .在平面直角坐标系中，抛物线 L: y=ax2+bx 5经过点A(-1, 0)、B(5, 0),顶点为M.(1)求抛物线L的表达式；(2)求抛物线L的对称轴和顶点 M的坐标；(3)若抛物线L'与抛物线L关于y轴对称，在抛物线 L的对称轴上是否存在一点P,

3、使得以点B、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.73 .已知抛物线L: y=x2+bx+c过点A(-1, 7), B(4, 2),其顶点为 C.(1)求抛物线L的表达式及点 C的坐标；(2)若点M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x=m对称的抛物线为L',点C的对应点为 C；在抛物线上是否存在点M,使得 CMC'为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.4 .已知抛物线Ci： y=x22x3的顶点为M,与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧).求点A和点M的坐标；(2)点P是x轴负半轴上一点，将抛

4、物线Ci绕点P旋转180 °后得到抛物线 C2,若抛物线C2的顶点为N, 与x轴交于C, D两点(点C在点D的左侧)，当以点C, M, N为顶点的三角形是直角三角形时，求点 P的 坐标.类型二 二次函数与特殊四边形判定(2017、2015、2014、20102012.24)【类型解读】 二次函数与特殊四边形判定近10年考查6次，涉及平行四边形(4次卜矩形(1次)、菱形(1次)的判定，考查形式包含：已知两点和关于y轴对称的两条抛物线上各一点，且以这四点为顶点构成平行四边形，求两点坐标(2017);求满足过原点和以原点为对称中心的矩形上两个顶点的抛物线的表达式(2012);已知其中三个顶

5、点坐标，求使平行四边形成立的点坐标(2011);已知其中两个顶点坐标，求使平行四边形成立的点(2010).其中2015年和2014年涉及图形面积(详见P169类型三).【满分技法】 链接至P47、P50 “满分技法”.匕针对训练.1. 已知抛物线 L: y=ax2|x+c经过点A(0, 2)、B(5, 2),且与x轴交于C、D两点(点C在点D左 侧).(1)求点C、D的坐标；(2)判断 ABC的形状；(3)把抛物线L向左或向右平移，使平移后的抛物线L与x轴的一个交点为 E,是否存在以A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出抛物线L的表达式及平移方式；若不存在，请说明理由.2.

6、在平面直角坐标系中，二次函数y= ax2+bx+c(aw0)的图象与x轴交于点(1, 0)和(3, 0),且过点M(0, 3),顶点为点A.(1)求二次函数的表达式及顶点A的坐标；(2)若将该二次函数的图象绕坐标轴上一点P旋转180°,点A、M的对应点分别为点 A'、M '当以A、M、A'、M为顶点的四边形是菱形时，求点 P的坐标.3. (2019西工大附中模拟)已知抛物线Ci：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且aw。)与x轴分别交于A(2, 0)、B(2, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 2).(1)求抛物线Ci的表达式；(2)将Ci平移后得到

7、抛物线 C2,点D、E在抛物线C2上(点E在点D的上方)，若以点B、C、D、E为 顶点的四边形是正方形，求抛物线C2的表达式.4. 在平面直角坐标系内，点 O为坐标原点，抛物线 Li： y= ax2+bx+c的顶点为A(1, 4),且与y轴 交于点C(0, 3).(1)求抛物线Li的表达式；(2)将抛物线Li向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线 L2,求抛物线L2的表达式；(3)是否在抛物线 Li上存在点P,在抛物线L2上存在点Q,使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是以 OC为边的平行四边形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.类型三二次函数与图形面积（2018、

8、2015、2014.24）【类型解读】二次函数与图形面积近 10年考查3次，涉及面积计算、面积定值、面积相等，考查形式：平移后抛物线与坐标轴所围成的图形面积与原抛物线与坐标轴所围成的图形面积相等（2018）;已知抛物线上四点和其关于原点对称的抛物线上四点，求这八个点中的四个为顶点的平行四边形中不是菱形的平行 四边形的面积（2015）;求使已知抛物线上两点坐标与平移后抛物线上两点坐标构成的平行四边形中满足面 积为定值的抛物线平移方式（2014）.【满分技法】链接至P47、P52类型三“满分技法”.立针对训练5. （2018陕西副题24题10分）已知抛物线L: y=mx28x+3m与x轴相交于A和

9、B（1 , 0）两点，并 与y轴相交于点C.抛物线L与L关于坐标原点对称，点 A、B在L'上的对应点分别为 A'、B' .（1）求抛物线L的函数表达式；（2）在抛物线L'上是否存在点P,使得 PA'A的面积等于 CBB的面积？若存在，求点 P的坐标；若不 存在，请说明理由.6. (2019西安高新一中模拟)如图，已知二次函数 y=ax2 + bx4的图象L经过A(1, 0)、C(2, 6) 两点，顶点为M.(1)求该二次函数的表达式和顶点M的坐标；27r ,一(2)设图象L的对称轴为直线1,点D(m, n)(1<m<2)是图象L上一动点，当

10、ACD的面积为名时，点D关于直线1的对称点为点E,能否在图象L和直线1上分别找到点 P、Q,使得以点D、E、P、Q为顶点 的四边形是平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.7. (2019西安铁一中模拟)如图，在直角坐标系xOy中，4ABC是等腰直角三角形，Z BAC = 90°, A(1, 0), B(0, 2),抛物线y = 2x2+bx2的图象经过点 C.(1)求抛物线的表达式；(2)沿x轴水平平移该抛物线，设平移后抛物线的对称轴所在直线为l.若直线l恰好将 ABC的面积分为相等的两部分，求平移后抛物线的表达式.第3题图8. (2015陕西副题24题10分)如图，

11、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两 .一， 1点，与y轴交于C点.已知A(-3, 0),该抛物线的对称轴为直线x=-.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求点B、C的坐标；(3)假设将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x轴上.如若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E,求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值.第4题图9. 已知抛物线 Ci: y= x2+bx+c与x轴交于点 A、B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(0, 3), 对称轴为直线x= 1.(1)求抛物线Ci的函数表达式；(2)将抛物线Ci沿x轴翻折，得到抛物线

12、C2,求抛物线C2的函数表达式；(3)已知点D是第一象限内抛物线 Ci上的一点，过点D作DP，x轴交抛物线C2于点P,连接AP、AD、 CP、CD,设点D的横坐标为 m,四边形DCPA的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.类型四 二次函数与三角形相似更多名校，总复习从试题研究开始(2019、2013.24)【类型解读】 二次函数与三角形相似近10年考查2次，考查形式：关于原点对称的抛物线上存在一点使得两直角三角形相似，求该点坐标(2019);求使相似三角形成立的点所在抛物线的表达式(2013).【满分技法】 链接至P47、P52类型四“满分技法”.针对训练10. (2019西工

13、大附中模拟)如图，已知抛物线 W1经过点A(-1, 0), B(2, 0), C(0, 2),点D为OC中点， 连接AC、BD,并延长BD交AC于点E.(1)求抛物线W1的表达式；(2)若抛物线 W1与抛物线W2关于y轴对称，在抛物线 W2位于第二象限的部分上取一点 Q,过点Q作 QFx轴，垂足为点F,是否存在这样的点 F,使得 QFO与4CDE相似？若存在，求出点 F的坐标；若 不存在，请说明理由.第1题图11. (2019陕西副题24题10分)在平面直角坐标系中，抛物线 L经过点A(-1, 0), B(3, 0), C(1 , -2).(1)求抛物线L的表达式；(2)连接AC、BC.以点D

14、(1, 2)为位似中心，画 ABC；使它与 ABC位似，且相似比为 2, A'、B'、C' 分别是点A、B、C的对应点.试判定是否存在满足条件的点A'、B在抛物线L上？若存在，求点 A'、 B'的坐标；若不存在，请说明理由.12. 图，已知抛物线 y=ax2 + bx+c(a>0)与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C(0, 2),抛物线的对 5称轴为直线x=5,且OB = 2OC.连接BC,点D是线段OB上一点(不与点O、B重合)，过点D作x轴的垂 线，交BC于点M,交抛物线于点 N.(1)求抛物线的表达式；(2)当线段MN最大时，求点

15、M的坐标；(3)连接BN,以B、D、N为顶点的三角形是否能够与 OBC相似？若能，请求出点N的坐标；若不能， 请说明理由.第3题图13. (2019陕师大附中模拟)已知抛物线 Ci：y=x22x 3与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左边, 与y轴交于点C,顶点为点D.求A、B、D三个点的坐标;(2)判断 BCD的形状；(3)将抛物线Ci向上(或向下)平移，使得平移后的抛物线 C2与y轴交于点 巳试问是否存在点 E使得以 E、B、C为顶点的三角形和 ABC相似(不包含全等)？若存在，请求出新抛物线 C2的顶点坐标；若不存在， 请说明理由.类型五 二次函数与线段最值【类型解读】 二次函数与线段最

16、值近10年真题虽然未考查，但在2017年副题24题第(2)问和20172018中考说明中均有涉及，另外通过大量调研一线名师，均觉得有必要设此类型进行拓展.q针对训练3, 0),14. (2019西安铁一中模拟)抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点A的坐标为( 点C的坐标为(0, 3),对称轴为直线x=- 1.(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且 生poc = 4Sa boc,求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作 QD/y轴交抛物线于点 D,求线段QD长度的最大值.15. 图，已知二次函数y=ax2+bx+c(aw。)的对称轴为直线 x=1,图象经过 B(-3

17、, 0)、C(0, 3)两点，且与x轴交于点A.(1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使 ACM周长最小，求出点 M的坐标；(3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点，请求出使BPC为直角三角形时点 P的坐标.13第2题图16. (2019赤峰)如图，直线y=x+ 3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y= x2+bx+c经过点 B、C,与x轴另一交点为 A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点 E,使EC+ED的值最小，求 EC+ED的最小值.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得/ APB=/ OCB.若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.

18、更多名校，总复习从试题研究开始第3题图# 一更多名校，总复习从试题研究开始类型一二次函数与特殊三角形判定1.解：(1)二.抛物线Ci经过原点，与x轴的另一个交点为(2, 0),c= 04+2b+c=0b=- 2c= 019抛物线Ci的表达式为y=x2-2x=(x-1)2-1,顶点坐标为(1, 1);(2)如解图，连接 BC, BP,第1题解图当将抛物线 C1向右平移m(m>0)个单位时，得到抛物线C2的表达式为y=(x-m)2-2(x- m), 抛物线C2交x轴于A, B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.C(0, m2+2m), B(2 + m, 0),由抛物线对称性可知 AP=B

19、P, . PAC为等边三角形，.AP=BP=CP, /APC=60°, .C, A, B三点在以点 P为圆心，PA为半径的圆上， 1 ./ CBO=1ZCPA=30 ,2BC=2OC,，由勾股定理得 OB= 4BC2 OC2 = T3OC, /(m2+ 2m) = m+ 2,解得 m1=, m2=2(舍去)，_3 m= 3 ；当将抛物线 C1向左平移 m(m>0)个单位时，得到抛物线C2的表达式为y=(x+m)2-2(x+ m),抛物线C2交x轴于A, B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.C(0, m22m), B(2-m, 0),同可得，V3(m2- 2m)= 2- m

20、,解得mi=-坐(舍去)，m2 =2.综上所述，m的值为乎或2.32.解：(1)将点 A(1, 0)、B(5, 0)代入抛物线 L： y=ax2+bx5,a b 5= 025a+5b-5 = 0a= 1b= 一 4 抛物线L的表达式为y= x2-4x-5;(2)二抛物线 L 的表达式为 y=x2-4x-5=(x- 2)29, 抛物线L的对称轴为直线 x= 2,顶点M的坐标为(2, 9);(3)存在.,抛物线L与抛物线L关于y轴对称， 抛物线L的表达式为 y=x2+4x-5=(x+2)2-9, 抛物线L的对称轴为直线 x= 2,，设点P的坐标为(一2, m), 以点B、M、P为顶点的三角形是等腰

21、三角形，BP=<49+m2,BM =寸(5-2) 2+92 = 3回，PM =，16+ (m+9) 2,当BP = BM时，即:49+m2 = 3 回，解得 m1="41, m2= - -J41, P1(-2,国),P2( 2, - <41);当BM = PM时，即 310 = 16+ (m+9) 2,解得 m1=9+折，m2=- 9-74,P3(-2, - 9+V74), P4(-2, - 9-V74);当BP = PM时，即49+ m2 =，16+ ( m+ 9) 2,解得m=- I， p5(-2, -3).综上所述，存在满足条件的点P,其坐标为( 2, 将)、(2,

22、- 将)、( 2, 9 +巾4)、(2, -9-标)或(-2, 3).3.解：(1)将点 A(1, 7), B(4, 2)代入抛物线 L: y=x2+bx+c 中,1-b+c=716+4b+c= 2b= 4c= 2 抛物线L的表达式为y= x2-4x+2, y= x2 4x+ 2= (x 2)2-2, 点C的坐标为(2, 2);(2)存在. 点M在抛物线L: y=x24x+2上，M(m, m2 4m+ 2),点C的坐标为(2, 2),抛物线L关于点M所在直线x= m对称的抛物线为L',.点C的对应点C'的坐标为(2m-2, 2),一点C'、C关于直线x=m对称，点M在直

23、线x= m上， . CMC为等腰三角形，要使 CMC为等腰直角三角形，1则 m2-4m+2- (-2) = 2|2m-4|,即 m2 4m+ 4= |m 2|,当 m2 4m+ 4= m 2 时，解得m=3或m = 2(舍去)，此时点M的坐标为(3, 1);当 m24m+4=2m 时，解得m = 1或m = 2(舍去),此时点M的坐标为(1 , - 1).综上所述，存在满足条件的点M,且当点M的坐标为(3, 1)或(1, 1)时， CMC为等腰直角三角形.4.解：(1)。.抛物线 C1 的表达式为 y = x22x3 = (x 1)2 4,.点M的坐标为(1 , -4).令 y=0,则 x2-

24、2x- 3=0,解得 x1= 1 , x2= 3 , 点A在点B的左侧， 点A的坐标是(一1, 0);(2)二将抛物线C1绕点P旋转180 °后得到抛物线 C2, 抛物线C2的顶点N的纵坐标是4,点P是x轴负半轴上一点,，顶点N的横坐标小于0,，以点C、M、N为顶点的三角形是直角三角形时，分/ MCN= 90°和/ MNC = 90°两种情况讨论：如解图，当/ MCN = 90°时，设点N的坐标为（m, 4）（mv 0）,过点N作NE，x轴于点 巳 则点E 的坐标为(m, 0),点C的坐标为(m 2, 0),则 NM2=(m1)2+64, CN2=20,

25、 CM2= (m3)2+16, NM2=CN2+CM2,即(m 1)2+64= 20+(m3)2+16,解得m= - 5, 点N的坐标为（一5, 4）, 点M、N关于点P对称, 点P的坐标为（一2, 0）;第4题解图如解图，当/ MNC = 90°时，设点N的坐标为(n, 4)(n<0) 坐标为(n, 0),点C的坐标为(n-2, 0),则 NM2=(n1)2 + 64, CN2=20, CM2=(n-3)2+ 16,.CM2=CN2+NM2,即(n- 3)2+ 16 = 20+ (n- 1)2+64,过点N作NEx轴于点巳贝点E的解得n= 15, 点N的坐标为（15, 4）,

26、 点M、N关于点P对称， 点P的坐标为（一7, 0）.第4题解图综上所述，符合条件的点P的坐标为（一2, 0）或（一7, 0）.类型二 二次函数与特殊四边形判定.、c 51.解：(1)将 A(0, 2)、B(5, 2)代入 y=ax2-2x+ cc= 225a25卜c= 21 a=2c= 2 1 - 5抛物线L的表达式为y= 2x2 2x + 2,令 y=0,即 2x2|x+2= 0,解得 xi = 1, X2= 4.C(1, 0), D(4, 0);(2) . A(0, 2)、B(5, 2)、C(1, 0), . AB=5,AC =小1+ (- 2) 2 =乖, BC=U (5-1) 2 +

27、 22 = 2gAB2= AC2 + BC2,.ABC为直角三角形；(3)存在. 1c 5设抛物线L的表达式为y = 2(x+m)2 2(x+m) + 2,以A、B、C、E为顶点的四边形为平行四边形，且点 E在x轴上， CE / AB, CE= AB=5,- C(1, 0),点E的坐标为(6, 0)或(4, 0),当点 E 的坐标为(6, 0)时，2(6+m)2 -|(6+m)+ 2= 0,解得 m1= 2, m2= 5.此时抛物线L'的表达式为y=2；x2 2x+9或y = ；x2£x+ 27;当点E的坐标为(一4, 0)时，21 4 + m)? 2( 4+ m) + 2=

28、 0,解得 m1= 5, m2= 8.此时抛物线L'的表达式为y=$2 + 2x+2或y = '2x2 + 11x+14.综上所述，当m=2时，即将抛物线L向右平移2个单位，新抛物线 L'的表达式为y = ：x2 全+9;当m=5时，即将抛物线L向右平移5个单位，新抛物线 L的表达式为y=2x2-25x+ 27;当m=5时，1 一 5即将抛物线L向左平移5个单位，新抛物线 L的表达式为y=-x2 + 2x+2;当m=8时，即将抛物线 L向左更多名校，总复习从试题研究开始 1 11平移8个单位，新抛物线 L'的表达式为丫 =夕2+当+ J.2 .解：(1)设 y=

29、a(x1)(x3),将(0, 3)代入，得 a= 1,，二次函数的表达式为 y= (x- 1)(x-3),即 y= x2 4x+ 3,将其表示成顶点式为 y= (x- 2)21 , 顶点A的坐标为(2, 1);(2)由旋转的性质可知，AP=AP, MP = MP, 以A、M、A'、M为顶点的四边形是平行四边形， 当/ APM = 90°时，以A、M、A'、M为顶点的四边形是菱形.如解图，当点 P在y轴上时，/ APM=90°,则APy轴，此时点P的坐标为P1(0, 1);当点P在x轴上时，设P(m, 0),则 AP2=(2m)2+12, PM2=m2+32,

30、 AM2=20,根据勾股定理得 ap2+pm2=am2,即(2 m)2 + 12 + 32 + m2= 20,解得 m1= 3, m2=- 1,此时点P的坐标为P2(3, 0)或P3(-1, 0),综上所述，满足条件的点P的坐标为(3, 0)或(1, 0)或(0, 1).第2题解图3 .解：(1)将 A( 2, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)代入 y=ax2+bx+c,4a-2b+c=0得 4a+2b+c=0,c= 2解得1a=- 2b = 0 'c= 2.抛物线Ci的表达式为y= 2X2 2；(2)分两种情况讨论：当BC为对角线时，则 D(0, 0)、E(2, 2),1 c设抛

31、物线C2的表达式为y= 2xi 2+mix+ni,将点 D(0, 0)、E(2, 2)代入，ni = 0得，2+ 2m1+ ni = 2解得mi = 2ni= 0i -此时抛物线C2的表达式为y=-2x2 + 2x;当BC为边时，有两种情况：a. D(4, 2)、E(2, 4), i c设抛物线C2的表达式为y= 2x2 + m2x+ n2,将点 D(4, 2)、E(2, 4)代入，8+ 4m2+ n2= 2得，2+2m2+n2 = 4解得m2= 2n2= 2i c此时抛物线 C2的表达式为y= 2x2 + 2x+2;b. D(0, 2)、E(-2, 0), i c设抛物线C2的表达式为y=

32、2x + m3x+ n3,将点 D(0, 2)、E(-2, 0)代入,n3 = 222m3+n3 = 0解得m3= 2n3=- 2一211 C综上所述，当以点 B、C、D、E为顶点的四边形为正万形时，抛物线C2的表达式为y= x2+2x或yix2+ 2x+ 2 或 y= 2x2 2x2. 224.解：(1)设抛物线Li的表达式为y=a(x+1)2+4,将点C(0, 3)代入得a+4=3,解得a=- 1,，抛物线Li的表达式为y= - (x+ 1)2+4=-x2-2x+ 3;(2)把抛物线Li向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，即将点 A向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度，此

33、时得到的抛物线L2的顶点坐标为(2, 2),，抛物线L2的表达式为y= - (x- 2)2+2=- x2+4x- 2;(3)存在.如解图，.以点 O、C、P、Q为顶点的平行四边形以 OC为边,PQ= OC,且 PQ/ OC,. OC=3,且 OCx 轴,. 设点 P(x, - x2-2x+ 3),点 Q(x, x2+4x 2),PQ= |-x2-2x+3-(-x2+4x-2)|=|-6x+ 5|= 3,当6x+ 5=3时，解得x=l, 31 917+4X32= 9,-7);此时点 P1(3, 20), Q1(3, 393当一6x+ 5= 3时，解得(4)2-2X4+ 3=- -, - (4)2

34、+4X4-2=14'3)39'3)39此时点P2(3,一曷，Q2(3,147)-综上所述，满足条件的点 p的坐标为(1, 20)或(4 39313-7)-第4题解图类型三二次函数与图形面积1.解：（1）将 B（1, 0）代入 y= mx28x+3m,得 m+8+3m=0,解得 m= 2,，抛物线L的函数表达式为y=2x2 8x6; （3分）（2）存在.在L中，令x= 0,则y= -6,.C（0, 6）.令 y=0,则2x2- 8x- 6=0,解得x= - 1或x= 3,A（-3, 0）. 抛物线L与L关于坐标原点对称， A' （3 0）, B' （1 0）. .

35、AA'= 6, BB' =2, OC=6.（5 分）设L'上的点P在L上的对应点为 P', P的纵坐标为n,由对称性，可得 Sapaa=Sapa- a要使 Sa PA A= SaCB B,则1 , 1 ,2 AA n|42 B B OC.|n|=2, n=±2.（7分）令 y=2,贝 U 2x2- 8x- 6=2.解得x= 2.令 y=- 2,则2x28x6= 2.解得 x = - 2 + y2或 x= 2 42.P 的坐标为（一2, 2）, （ 2+班，2）或（一2 42, 2）.由对称性可得 P的坐标为（2, 2）, （2 加, 2）或（2+，2,

36、 2）. （10分）2.解：（1）将点A、C坐标代入二次函数 y= ax2+bx4的表达式中，a-b-4=04a+2b-4=- 6a = 1b=- 3更多名校，总复习从试题研究开始，该二次函数表达式为 y = x23x 4,顶点m(2，一争;29(2)能.二点 D(m, n)( 1<m<2),点D在AC下方的抛物线上, 如解图，过点 D作DF / y轴交AC于点F,设直线AC的表达式为y=cx+d,一 c+ d = 0c= - 2则，解得 ，2c+ d=6d= 2直线AC的表达式为y=- 2x-2,则 F(m, 2m 2), - DF = 2m 2 n= 2m 2 (m2 3m 4

37、) = m2+ m+ 2,c 127. Saacd = _DF xC-xa)=, 282-(- 1)X (-m2 + m + 2)= 2X27, 8-11解得m=2,21 ,n=-7,.D(1,一表 E(2, 21),DE= 2.分两种情况讨论：如解图，DE为平行四边形的边，则 PQ/DE,且PQ=DE=2,7- 2=2十3- 2或1- 2，点P的横坐标为3-2 =第2题解图如解图，DE为平行四边形的对角线，则 PQ平分DE, 又.点Q在直线l上，点P也在直线l上，点P与顶点M重合， .1979325综上所述，存在符合条件的点p,点p的坐标为（,力或g,力或斗 -25）.3.解：（1）如解图，

38、过点 C作CD，x轴于点D,则/ CAD+/ACD = 90第3题解图. / OBA+Z OAB=90°, / QAB+Z CAD = 90°, ./ OAB=Z ACD, / OBA=Z CAD.在 AOB与 CDA中，/ OAB = / DCAAB=CA/ OBA=Z DACAOBA CDA(ASA). . A(0, 1), B(0, 2),，OA= 1, OB = 2, .CD = OA=1, AD=OB = 2, .OD = OA+AD = 3, .C(3, 1). 点C(3, 1)在抛物线y=；x2+bx2的图象上,1 = -X 9+3b-2, 2解得b= - 2

39、.OA=1, OB=2,由勾股定理得 AB= V5.，抛物线的表达式为 y=2x2 2x2； (2)在 RtAAOB 中，Sa abc= 2AB2=5.设直线BC的解析式为y=kx+t,. B(0, 2), C(3, 1),1t= 2k= 一 三,解得 3,3k+t=1+ Qt= 2,直线BC的解析式为y=-1x+ 2.311同理求得直线 AC的解析式为y=-x- 2.如解图，设直线l与BC、AC分别交于点E、F,第3题解图设点 E(x, -1x+ 2)(xv 3),则点 F(x, 1x-1), 3221115 5.EF=( gx+2) (2x2) = 2 'x.在CEF中，EF边上的

40、高 h为OD x=3 x.更多名校，总复习从试题研究开始1由题思得 S CEF=2S ABC,rJ1即 2EF h= 2s"bc,15 51 52X 5一6x）（3 x）=2><2,整理得（3 x）2=3,解得x=3淄 或x=3+水（不合题意，舍去）,，当直线1为乂= 3-小 时，恰好将 ABC的面积分为相等的两部分.又平移前的抛物线表达式为y=2（x2）217,顶点为（；，一17）,一 17平移后的抛物线顶点为（3-V3, -87）,平移后的抛物线的表达式为y= 2（x 3+ V3）2 8f-1 一一4.解：（1）二所求抛物线的对称轴为直线x=-2,且过A（-3, 0）

41、,b- 2319 - 3b+ c= 0b = 1解得，（2分）c= 一 6 所求抛物线的函数表达式为y=x2+x6; （3分）（2）令 x=0,得 y= 6, C（0, - 6）,令 y=0,彳导 x2+x6= 0, -x1 = 2, x2=3（舍）， B（2, 0）; （5 分）（3）由平移性质可知，BC / DE且BC= DE. 以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形.（6分）如解图，符合条件的四边形有三个：第4题解图更多名校，总复习从试题研究开始?BCEiDi、？BCE2D2、？BCE3D3.S?BCE1D1= OC BDi , S?BCE2D2= OC BE2, S?BCE3D3=

42、 OC BE3. BE2>BDi, BE2>BE3, .?BCE2D2的面积最大.（8分）令 y=6,彳导 x2+x6= 6.，xi = 3（舍去），x2 = -4. l- D2（-4, 6）, E2（-6, 0）.1 1 BE2 = 2 （ 6）=8.S?BCE2D2= OC BE2= 6X 8= 48. 四边形BCED面积的最大值为48.（10分）5.解：（1）二抛物线对称轴为直线x= 1,x=- b =1,解得 b=2,2x1） 抛物线过点 C（0, 3）,c= 3,，抛物线 Ci的表达式为y= x2+2x+3;(2)二抛物线C2是由抛物线Ci沿x轴翻折得到的，且抛物线C2的

43、顶点与抛物线 Ci的顶点关于 抛物线C2的开口方向向上，开口大小与抛物线 Ci相同, x轴对称. 抛物线 Ci： y=- x2+2x+3=- (x- 1)2+4, 抛物线Ci的顶点坐标为(1, 4),则抛物线C2的顶点坐标为(1, 4),，抛物线C2的函数表达式为y=(x-1)2-4,即 y= x2 2x 3;（3）如解图，令 y=- x2+2x+3=0, 解得 x1= 1 , x2= 3 , 点A在点B的右侧， 点A的坐标为(3, 0),点D是第一象限内抛物线 Ci上的一个动点,，设点 D 的坐标为(m, m2+2m+ 3)(0<m<3),.DPx轴，交抛物线 C2于点P,，点P

44、的坐标为(m, m22m3),DP= （-m2+2m+3）-（m2-2m-3） = - 2m2 + 4m + 6,设DP交x轴于点E,则 S=*cdp+ Saadp = 2qp OA =；( 2m1 - y=- 2x,则 Q(x, 2x),+4m+6) X 3= 3m2 + 6m+9.,. S= 3m2+6m+9= 3(m-1)2+12, 0<m<3,当m=1时，S有最大值，最大值为 12.第5题解图类型四 二次函数与三角形相似1 .解：(1)设抛物线 W1的表达式为y=a(x+ 1)(x- 2),将 C(0, 2)代入 y=a(x+1)(x-2),解得 a=- 1.抛物线 wi的

45、表达式为y= x2 + x+ 2;(2)存在. 抛物线 wi与W2关于y轴对称，抛物线W2的表达式为y=x2 x+ 2, 点D是OC的中点，OC = 2,.OD=1, . OA=OD=1, OC = OB=2, /AOC = /DOB,AOCA DOB, ./ ACO=Z DBO, . / CDE = / BDO, . DOBA DEC,.OD_ DE_ 1OB= CE=2'/CED=/ BOD = 90°,又. / QFO = 90°,设Q(x, y)(- 2<x<0),分两种情况讨论：当 QFOA DEC 时，.QF. = DE = 1= _y_一

46、OF - CE 2 x，解得x(舍)或x =-1-334，F(T一婢当 OFQs DEC 时,OF DE 1-xQF' = CE = 2= y, .y=- 2x,则 Q(x, 2x),-2x= x1 2-x+ 2,解得x = 2(舍)或x= - 1,-F(-1, 0).综上所述，存在符合条件的点F,点F的坐标为(T；谆,0)或(一1, 0).2.解：:抛物线L经过点A (-1,0), B (3,0),，设 L： y=a (x+1) (x-3) (aw0) . (2 分) 又 C (-1,2)在 L 上,1(2)如解图，= L: y= a=o 2.33D (1,2)在L的对称轴 x=1上

47、.,ABC与4ABC位似，位似中心为 D(1,2),且相似比为2,.当 ABC在 ABC下方时，显然，点A'、B不会在抛物线L上(图略)；(5分)当AB'C在4ABC上方时，易知 AB'=AB=8, 点A'、B的横坐标分别为5,-3.设对称轴x=1分别与AB、AB的交点为E、E' 由题意，可知DE=2, 点E的对应点E' (1, 6) 点A'、B的纵坐标均为6, .A'(5, 6), B'( -3, 6).(8 分) ,.当 x=5 时,y=2x 52-5-3=6, 点A'(5 , 6)在抛物线L上.同理，可得B&

48、#39;( -3, 6)也在抛物线L上.更多名校，总复习从试题研究开始存在点 A'(5, 6), B,( -3, 6)在抛物线L上.(10分)一31第2题解图3.解：(1)二抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于点B,与y轴交于点C(0, 2),且OB = 2OC,对称5轴为直线x=2，B(4, 0), c= 2,16a+ 4b+ 2=0b 52a = 21a = 2解得，八 5b= -2 抛物线的表达式为y = 2x2-|x+2;(2)设直线BC的表达式为y=mx+n(mw0),1 m= - 2n= 2将 B(4, 0)、C(0, 2)代入,4m+ n = 0得，解得n

49、 = 21直线BC的表达式为y=-2x+ 2,1 1 c 5一设点D的坐标为(x, 0),则点M的坐标为(x, 2x+2),点N的坐标为(x, 2x2一小+2),其中0Vx<4,以B、D、N为顶点的三角形能与 OBC相似.设点N坐标为(t, gt2 5t+2),则点D的坐标为(t, 0),其中0<t<4,当 DBNs obc 时，可得DB = DNOB OC'1 2 54T |2t - 2t+ 2|即4t =-2，42，当 4_t=2(2t2_5t+2)时,解得ti=0, t2=4,均不符合题意，舍去;当 4 t= 2(，一五+2)时，解得 ti=2, t2= 4(舍

50、), N(2, 1);当 DNBs OBC 时,可得DN=DB OB OC铲-|t+2| 即2-24解得ti=3, t2=4,均不符合题意，舍去;,1c 5当 2t22t+2= 2(4t)时,解得ti=4, t2=5,均不符合题意，舍去.综上所述，存在满足条件的点N,点N的坐标为(2, - 1).4.解：(1) ,. y=x2-2x-3 = (x- 1)2-4,，点 D(1, 4),令 y= x2 2x 3= 0,解得x= 1或x=3, 点A在点B的左边， A(-1, 0), B(3, 0)；(2)令 x=0,得 y= 3,.,点 C(0, 3),(3- 1)2+ (0 + 4)2=20, B

51、C2=(30)2+(0+3)2=18, CD2=(1 0)2 + (4+ 3)2=2, BD2=更多名校，总复习从试题研究开始,.BC2+CD2=BD2, . BCD是直角三角形;(3)存在. B(3, 0), C(0, 3),OBC=Z OCB=45°,点E为抛物线C2与y轴的交点，若点 E在点C下方，则/ ECB=135°,以E、B、C为顶点的三角形 定不与 ABC相似，故点 E在点C上方. . / OBC=Z ECB=45°,，分两种情况：当 CBEA BAC 时，则有CBBACEBO537BC=3/2, AB=4,.CE=2，点 E(。，|),此时抛物线C

52、i向上平移2个单位得到抛物线 C2,1.抛物线C2的顶点坐标为(1, 2月当 CEBA BAC 时，则有CBBC-CE=1BA此时两三角形全等，故舍去.综上所述，存在点巳使得以E、B、C为顶点的三角形与 ABC相似，此时新抛物线 C2的顶点坐标为(1, 2).类型五 二次函数与线段最值1 .解：(1)已知抛物线的对称轴为直线x=1,可设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+k,将点 A(-3, 0),点 C(0, 3)代入，a= 1k= - 44a+ k= 0得，解得a+ k= - 3，抛物线的表达式为 y= (x+ 1)2-4 = x2 + 2x- 3;(2)由(1)知抛物线表达式为y= x2 + 2x 3,令y=0,解得x= 3或x=1,点B的坐标为(1, 0),点C坐标为(0, 3),.OB