复变函数及积分变换试题及答案

1、第一套第一套-装-订-线-一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数是区域内的连续函数。A. 、在区域内连续； B. 在区域内连续；C. 、至少有一个在区域内连续； D. 以上都不对。2. 解析函数的实部为，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。A.； B ； C ； D 3. （ ）。A. ； B. 0； C. ； D. 以上都不对.4. 函数以为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。A. B. C. D. 5. z=0是函数的（ ）。A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点6. 将点，0，1分别映射成点0，1，的分式线性映射是（ ）。A. B. C. D. 7. （ ）

2、，（）。A. ； B.； C. ； D. .二、填空题（每小题3分，共18分）1. 1 ；2. 幂级数收敛于 2 ；3. 设为复函数的可去奇点，则在该点处的留数为 3 . ；4. 通过分式线性映射（k为待定复常数）可将 4 映射成单位圆内部； 5. 一个一般形式的分式线性映射可由、三种特殊形式的映射复合而成，分别将平面看成z平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 5 ；6. 求积分 6 ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D称为一个区域，如果D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。（ ）2. 在区域D内解析的充要条件是：与在D内可微，且满足C-R方程。

3、 （ ）3.将平面上一个点集映射到平面上一个点集，的参数方程是：，的参数方程是：，则函数与导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。 （ ）4. 拉氏变换的微分性质为：若，则。（ ）5. 傅里叶级数表示一个周期为T的信号可以分解为简谐波之和，这些简谐波的（角）频率分别为一个基频的倍数。（ ）四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 当分别等于多少时，函数在复平面上处处解析? 2. 计算。3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：，.4. 利用留数定理计算积分 5. 求微分方程组的解一、选择题（每小题3分，共21分）1. A 2. B 3.B 4. A 5. A 6. D

4、 7. A .二、填空题（每小题3分，共18分）1. ；或2. ； 3. 0； 4. 上半平面； 5. 反演映射 6. 1.三、判断题 （每小题2分，共10分）1. × 2. 3. 4. 5. 四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 解： （3分） （3分） （3分）2. 解： （5分） （或判断出-i在圆内，不在圆内，得2分） （4分）3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数： （5分）（或：写出洛朗级数公式2分） （4分） 4. 解：由于函数在积分区域内有可去奇点z=0与单极点z=1 （4分）（3分）由留数定理，原积分 （2分）5. 解：（4分）整理得（4

5、分）解得（4分）再取拉氏变换得到其解为： （3分）第二套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 的指数式为（ ）。A、 B、 C、 D、2. 复函数（ ）。A 在复平面上处处解析； B在复平面上处处不解析；C 除去原点外处处解析； D除去原点及负半实轴外处处解析.3. 由柯西积分公式得，积分的值为（ ）。A.0 B. 1 C. 2 D.无解4. 洛朗级数的正幂部分叫（ ）。A、主要部分 B、解析部分 C、无限部分 D、都不对5. 在点z=0处的留数为（ ）。A.-1 B.0C.1D.26. 保角映射具有的性质有（ ）。A. 反演性、保圆性、保对称性B. 共形性、保角性、保对称性C. 共形性、保

6、圆性、保对称性D. 反演性、保角性、保对称性7. （ ），（）。A. ； B.； C. ； D. .二、填空题（每小题3分，共18分）1. = 1 。2. 幂级数收敛半径为： 2 。3. 孤立奇点可分为可去奇点、极点和 3 三种。4. 通过分式线性映射，(，为实数)可将 4 映射成单位圆内部。 5. 在扩充复平面上两点与是关于圆周C的对称点的充要条件是通过与的任何圆周与 5 。6. 按定义，函数的傅里叶变换式为 6 。三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 如果平面点集G中的每一点都是它的内点，则称G为开集。 （ ）2. 的所有分支可表示为。 （ ）3. 设函数在的邻域内有定义，且在具有保角

7、性和伸缩率不变性，则称在时共形的。 （ ）4. 傅里叶级数中的物理意义：表示周期信号在一个周期内的平均值，也叫做交流分量。 （ ）5. 拉氏变换的微分性质为：若，则。 （ ）四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 设为解析函数，试确定l,m,n的值2. 计算积分，；3. 将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数，； 4. 利用留数定理求积分（圆周均取正向）5. 求微分方程式的解（c为常数）第二套一、选择题（每小题3分，共21分）1. C 2.D 3. A 4. B 5. C 6. C 7.C.二、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 0 3.本性奇点 4. 单位圆内

8、部 5. 正交 6. 三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 2. × 3. 4. × 5. 四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 解：由题意知：实部、虚部， （2分）由于为解析函数，故有 （2分） 即 （3分）解得m=1，n=-3，l=-3 （2分）2. 解：由z-3=0，得奇点为z=3（3分）此时不在C的环域内，由柯西基本定理（3分）知 （3分）3. 解： （3分） （3分） （3分） 4. 解：函数在的外部，除点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则四有： （3分）（3分） （3分）5. 解：方程两边取拉氏变换，得 （2分）解出（3分） （3

9、分） （2分） 因此，原方程的解（5分）第三套一、填空题（每空2分，共20分）1复数的实部为 1 ，虚部为 2 及其共轭复数为 3 .2已知是解析函数，其中，则 4 .3设C为正向圆周,则= 5 .4幂级数的收敛半径为 6 .5是的奇点，其类型为 7 .6设，则 8 .7函数的傅里叶变换为 9 .8函数 的拉普拉斯逆变换为 10 .二、选择题（每小题2分，共20分）1复数的辐角为（ ） AB- CD2方程所表示的平面曲线为（ ） A圆 B直线 C椭圆 D双曲线3在复平面上，下列关于正弦函数的命题中，错误的是（ ）A是周期函数 B是解析函数C D 4设C为正向圆周，则=（ ）A BC D15在拉

10、氏变换中，函数与的卷积，为（ ）A B C D6幂级数的收敛区域为（ ） A B C D7设的罗朗级数展开式为，则它的收敛圆环域为（ ）A或B或CD8是函数的（ ） A一阶极点B可去奇点 C一阶零点D本性奇点9（ ）A B-1C D110的傅里叶变换为（ ） A1 B C D三、计算题（每小题8分，共24分）1 已知，求，。2 计算积分，取正向。3 求函数在孤立奇点处的留数。四、综合题（共36分）1设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。（8分）2 将函数分别在与圆环域内展开为罗伦级数。（10分）3 求余弦函数的傅里叶变换。（8分）4用Laplace变换求解常微分方程。（10分）第三

11、套1、 填空题1 , , ；2；30；41；5可去奇点；6-1；71；8二、选择题B D C B D，B A B C C3、 计算题 (每题5分，共20分)1、 解：（1）因为不在曲线C：内 所以根据柯西定理得： （2分）（2）已知在曲线C：内，由柯西积分公式得： （3分）（3）由高阶导数公式得： （3分）2、解：设在曲线C内除之外处处解析， （2分） 又因为是的一阶极点，根据留数定理得：， （4分） （2分）3、解：由得：和都是的孤立奇点，并且是一阶极点， （2分） （3分） （3分）四、综合题 1解： （4分）均连续，要满足条件，必须要成立 即仅当和时才成立，所以函数处处不解析； （2分）

12、 （2分） 2解： （5分） （5分） 3 解： （8分） 4解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得即 故 -装-订-线-黄山学院 学年度第 学期工程数学( 本 科)期末试卷 (时间120分钟) 试卷编号: 院(系) 班 姓名 学号 得分 一、填空题（每空1分，共20分）1复数的实部为 1 ，虚部为 2 及其共轭复数为 3 .2已知是解析函数，其中，则 4 .3设C为正向圆周,则 5 .4设，则幂级数的收敛半径为_ 6_.5是的奇点，其类型为 7 .6设，则 8 .7函数的傅里叶变换为 9 .8函数 的拉普拉斯逆变换为 10 .二、选择题（每小题2分，共20分）1复数的三角表示式为（ ） A

13、B CD2在下列复数中，使得成立的是（ ）A BC D3设，解析函数的虚部为，则的实部可取为（）ABCD4设为从到的直线段，则（） A B C D5复数列的极限为（）A-1 B0 C1 D不存在 6以为本性奇点的函数是（ ）ABCD7设的罗朗级数展开式为，则它的收敛圆环域为（ ）A或B或C D8设函数，则（）A0 B C D9的傅里叶变换为（ ） A1 B C D10在拉氏变换中，函数与的卷积，为（ ） A B C D三、计算题（每题8分，共24分）1，求2 计算积分，取正向。 3求函数在孤立奇点处的留数。 四、综合题（共36分）1设a、b是实数，函数在复平面解析，则分别求a、b之值，并求.（

14、8分）2将在处展成罗伦级数。（10分）3求余弦函数的傅里叶变换。（8分）4用拉普拉斯变换求解常微分方程：（10分）黄山学院 学年度第 学期工程数学( 本 科)期末试卷 (答案)一、填空题，；0；可去奇点；-1；1；二、选择题C B B A D，D A A C D三、计算题 1、，求解：因在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在内， （4分）所以 （2分）而点 在内，故 （2分）2、解：设在曲线C内除之外处处解析， （2分） 又因为是的一阶极点，根据留数定理得：， （4分） （2分）3、解：由得：和都是的孤立奇点，并且是一阶极点， （2分） （3分） （3分）四、综合题 1解：是复平面上的解析函数

15、，则在平面上满足CR方程，即：故 对 成立， （4分） （4分）2解：在复平面有孤立奇异点与，（1）时， （2分）（2） 时 （3分）（3） 时 （3分）（4） 时 （2分）3 解： （8分）4解：令 ，对方程两边求拉氏变换得： （4分） （3分） （3分）-装-订-线-黄山学院 学年度第 学期工程数学( 本 科)期末试卷 (时间120分钟) 试卷编号: 院(系) 班 姓名 学号 得分 一、判断题（每小题2分，共10分）1. 。 （ ）2.实部与虚部满足柯西黎曼方程的复变函数是解析函数。 （ ）3.幂级数的和在收敛圆的内部是一个解析函数。 （ ）4. 分式线性函数具有保形性、保对称点性以及保圆

16、性。 （ ）5. 单位脉冲函数是偶函数。 （ ）二、填空题（每空2分，共20分）1.的复指数形式为 1 ，三角表示式为 2 。2. 3 。3.的幂级数展开式为 4 ，收敛域为 5 。4. 根据洛朗级数展开式中主要部分的系数取零值的不同情况，将函数的孤立奇点分为三类： 6 、 7 、 8 。5.分式线性映射在处的旋转角为 9 ，伸缩率为 10 。三、证明题(共20分) 1、设，证明：函数为实值函数的充要条件为.（14分）2、若，则（6分）四、计算题（每题10分，共50分）1. 计算下列各积分的值：（1）（5分）（2）（5分）2. 求解析函数，已知。3. 用拉氏变换求解微分方程组。4. 求出函数在孤立奇点处的留数。5.求一共形映射，使区域映射为单位圆内部。-装-订-线-黄山学院 学年度第 学期工程数学( 本 科)期末试卷 (时间120分钟) 试卷编号: 院(系) 班 姓名 学号 得分 一、判断题（每小题2分，共10分）1. × 2. × 3. 4. 5. 二、填空题（每空2分，共20分）1 2 3 4 5 6 可去奇点 7 极点 8 本性奇点 9 10 三、证明题(共20分) 1、证：（1）必要性（1分）：若函数为实值函数，由（1分）有（2）充分性（1分）：若，由（1分）有即函数为实值函数。2、证：