第三章(第2节)单自由度系统的强迫振动

1、式中频率式中频率=2/T为函数为函数F(t)的的基频基频，基频的整数倍，基频的整数倍j称称为为谐频谐频，其基本频率作为，其基本频率作为第一谐频第一谐频。 上式表明一个复杂的周期激励函数可以表示为一上式表明一个复杂的周期激励函数可以表示为一系列谐频的许多简谐函数的叠加。系列谐频的许多简谐函数的叠加。式中式中T为周期。为周期。周期激励函数满足周期激励函数满足), 3 , 2 , 1()()(jjTtFtF(3.2-1)将将F(t)展开为傅里叶级数，为展开为傅里叶级数，为10)sincos(2)(jjjtjbtjaatF(3.2-2) 利用叠加原理，周期激励的响应则等于各简谐分量利用叠加原理，周期激

2、励的响应则等于各简谐分量引起响应的总和。引起响应的总和。用傅里叶级数表示非简谐周期激励用傅里叶级数表示非简谐周期激励用傅里叶级数表示非简谐周期激励用傅里叶级数表示非简谐周期激励傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数a0，aj与与bj可由下式确定可由下式确定它们分别表示函数它们分别表示函数F(t)中简谐分量中简谐分量cosjt和和sinjt所参与所参与的程度，的程度，a0/2代表代表F(t)的平均值。的平均值。), 3 , 2 , 1 , 0(dcos)(22 2 jttjtFTaTTj(3.2-3), 3 , 2 , 1(dsin)(22 2 jttjtFTbTTj(3.2-4)如果如果F(t)不能

3、以函数表示，可以近似模拟计算。不能以函数表示，可以近似模拟计算。 只要定义的只要定义的aj和和bj的积分存在，就可以用傅里叶级数的积分存在，就可以用傅里叶级数来表示周期激励函数来表示周期激励函数F(t)。 系统对非简谐周期激励的响应系统对非简谐周期激励的响应 单自由度有阻尼的弹簧单自由度有阻尼的弹簧- -质量系统在周期激质量系统在周期激励励F(t)的作用下的微分方程为的作用下的微分方程为对应于每一激励分量的运动微分方程为对应于每一激励分量的运动微分方程为10)sincos(2jjjtjbtjaakxxcxm (3.2-5)tjbkxxcxmtjakxxcxmakxxcxmjsjsjsjjcjc

4、jcjsincos20000 (3.2-6)系统对非简谐周期激励的响应系统对非简谐周期激励的响应方程方程(3.2-6)的稳态响应为的稳态响应为式中式中)sin(| )(|)cos(| )(|200jjjsjjjjcjtjjHkbxtjjHkaxkax(3.2-7)222)2()1 (1| )(|jjjjH(3.2-8)系统对非简谐周期激励的响应系统对非简谐周期激励的响应njj(3.2-10)212tgjjj(3.2-9)由叠加原理得周期激励的由叠加原理得周期激励的稳态响应为稳态响应为 1102jsjjcjxxkax(3.2-11)12220)2()1 ()sin()cos(2jjjjjjjkt

5、jbtjaka系统对非简谐周期激励的响应系统对非简谐周期激励的响应(1) 若若F(t)=F(-t)，则函数则函数F(t)称为称为t的偶函数；的偶函数；(2) 若若F(t)=-F(-t)，则函数则函数F(t)称为称为t的奇函数。的奇函数。如果如果F(t)为偶函数为偶函数，那么关于，那么关于t的奇次幂的系数的奇次幂的系数均为零；在傅里叶展开式中，均为零；在傅里叶展开式中，系数系数bj均为零均为零。如果如果F(t)为奇函数为奇函数，那么关于，那么关于t的偶次幂的系数的偶次幂的系数均为零；在傅里叶展开式中，则均为零；在傅里叶展开式中，则系数系数aj均为零均为零。引进下述定义：引进下述定义：例题：周期方

6、波激励的稳态响应例题：周期方波激励的稳态响应（例（例3.2-1) 例例3.2-1 无无阻尼单自由度系统受如图阻尼单自由度系统受如图3.2-1所所示的周期方波激励。试求系统的稳态响应。示的周期方波激励。试求系统的稳态响应。 解：解：周期方波周期方波激励的数学描述为激励的数学描述为)2)20)(00TtTFTtFtF( ( 式中式中T为周期。为周期。图 3.2-1例题：周期方波激励的稳态响应例题：周期方波激励的稳态响应（例（例3.2-1) 将将F(t)展开为傅里叶级数，其傅里叶级数的展开为傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为系数为2 2 0d)cos()(2TTjttjtFTattjTFttjtFTb

7、TTTjd)sin(4d)sin()(2222/00为奇数为偶数jjFjjjF 4 0) 1(cos2002 2 00d)(2TTttFTa例题：周期方波激励的稳态响应例题：周期方波激励的稳态响应（例（例3.2-1)则周期方波表示的傅里叶级数为则周期方波表示的傅里叶级数为)sin(14)(, 5 , 3 , 10tjjFtFj对于任一项激励的响应为对于任一项激励的响应为)sin()1 (420tjkjFxjj式中式中 为第为第j项对应的频率比，那么由项对应的频率比，那么由叠加原理求得响应为叠加原理求得响应为njj, 5 , 3 , 1201)sin(14jnjtjjkFx例题：周期锯齿波激励稳

8、态响应例题：周期锯齿波激励稳态响应（例（例3.2-2) 例例3.2-2 图图3.2-2 所示凸轮使顶杆所示凸轮使顶杆D沿水平线作周沿水平线作周期锯齿波形运动，通过弹簧期锯齿波形运动，通过弹簧k1使振动系统有强迫振动。使振动系统有强迫振动。已知凸轮升程为已知凸轮升程为2cm，转速为，转速为60r/min,k1=k=10 N/cm,c=0.5 Ns/cm,m=1/20 kg。试求振动系统的稳态振。试求振动系统的稳态振动。动。 解：解：顶杆顶杆D的运动方程的运动方程为为)0( 21TttTx101)sincos(2jjjtjbtjaax图 3.7-2激振频率为激振频率为1 Hz，即，即T=1 s，=

9、2 。将激励。将激励x1展开成傅里叶级数为展开成傅里叶级数为-1s例题：周期锯齿波激励稳态响应例题：周期锯齿波激励稳态响应（例（例3.2-2)tttxTaTd2222d22001022d/20222/2022tttTjttjtttjxTa 0 2 0 221dcos22dcos2/20222)sin(cos)(1tjtjtjj0) 12sin22(cos122jjjj傅里叶级数傅里叶级数的系数为的系数为例题：周期锯齿波激励稳态响应例题：周期锯齿波激励稳态响应（例（例3.2-2)TjttjtttjxTb 0 2 0 221dsin22dsin2/20222)cos(sin)(1tjtjtjjjj

10、jjj2)2cos22(sin122得得x1的傅里叶级数为的傅里叶级数为11sin121jtjjx振动系统的运动微分方程为振动系统的运动微分方程为)(11xxkkxxcxm 例题：周期锯齿波激励稳态响应例题：周期锯齿波激励稳态响应（例（例3.2-2)或或111111sin12)(jtjjkkxkxkkxcxm 令令nnnmcmkk,2,12则对应于激励的则对应于激励的j次谐频次谐频 ，振动系统，振动系统的稳态运动为的稳态运动为tjjksin21222211)2()1 ()()sin(2jjjkktjkxjj2)(12tgjjj例题：周期锯齿波激励稳态响应例题：周期锯齿波激励稳态响应（例（例3.2-2)对应于级数中常数项对应于级数中常数项k1，振动系统的响应为，振动系统的响应为110kkkx因此，在凸轮运动的作用下，振动系统的稳态运动为因此，在凸轮运动的作用下，振动系统的稳态运动为1222211)21 ()sin(21jjjjjtj