弧长和扇形面积

1、24.4 弧长和扇形面积（肖莲琴）第一课时一、教学目标（一）学习目标1理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式；2认识扇形，类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式；3能运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题（二）学习重点弧长计算公式和扇形面积计算公式.（三）学习难点会运用弧长计算公式和扇形面积计算公式解决问题.二、教学设计（一）课前设计1预习任务阅读教材P111112，再填空：（1）半径为R的圆的周长为 ，面积为.（2）由于在半径为R的圆中，360°圆心角所对的弧长（即圆的周长）为，所以1°的圆心角所对的弧长是，化简为：于是，n°的圆心角所对的弧长为

2、（3）由组成圆心角的两条 半径 和圆心角所对的 弧 围成的图形叫做扇形由于在半径为R的圆中，360°圆心角所对的扇形面积（即圆的面积）为，所以1°的圆心角所对的弧长是于是，n°的圆心角所对的弧长为2预习自测（1）半径为10 cm的圆中，60°的圆心角所对的弧长是_.【知识点】弧长的计算公式【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用弧长计算公式求得弧长.【解题过程】解：半径R10cm，圆心角n60°由弧长计算公式：【答案】cm（2）下列图片中，阴影部分为扇形的是_（填图形编号） 【知识点】扇形的概念【思路点拨】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对

3、的弧围成的，一定有一条边是弧线，顶点一定在圆心处，不会在圆周上【解题过程】根据扇形的定义：扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，因此只有、是扇形，其余都不是【答案】、（3）已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积是_.【知识点】扇形的面积计算公式【思路点拨】已知半径、圆心角，可以直接套用扇形面积计算公式求得扇形面积【解题过程】解：半径R6，圆心角n120°由扇形面积计算公式：【答案】（4）已知一扇形的面积为，且该扇形的半径为4，则该扇形对应圆心角的度数是_.【知识点】扇形的面积计算公式的逆用【思路点拨】已知扇形面积、圆心角，可以逆用扇形面积计算公式求

4、得扇形圆心角的度数，实际上扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一”【解题过程】解：半径R4，扇形面积由扇形面积计算公式：解得：圆心角度数为180°【答案】180°（二）课堂设计1知识回顾师问：生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？生答：圆的周长公式：或（R表示圆的半径，d表示圆的直径）生答：圆的面积计算公式：师问：弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？【设计意图】本节课探究的弧长是圆周的一部分、扇形面积是圆面积的一部分，都离不开小学里学生

5、已经掌握了圆的周长、面积的计算公式，因此本节课从回顾两个基本公式入手2问题探究 探究一 弧长的计算公式（）活动 动画展示，探究新知师问：如图所示，在半径为R的O上，有两动点A、B，当A、B两点在圆上运动时，想一想弧AB的长度与什么因素有关？生答：与AOB的大小有关师问：当AOB360°时，弧AB的长表示什么意思？生答：O的周长，即l师问：当AOB1°时呢？弧AB的长与整个圆的周长是什么关系？生答：当AOB1°时，弧AB的长是整个圆的周长的，即l师问：当AOB2°时呢？ 生答：当AOB2°时，弧AB的长是整个圆的周长的，即l师问：当AOBn

6、76;时呢？生答：当AOBn°时，弧AB的长是整个圆的周长的，即l师：非常好，弧AB的长l，这就是弧长的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径根据弧长的计算公式，我们可知，只要知道n和R就可以求弧长特别的，几个特殊圆心角所对的弧长是我们经常用到的，比如：当n30°时，弧长l当n45°时，弧长l当n60°时，弧长l当n90°时，弧长l当n120°时，弧长l当n180°时，弧长l【设计意图】推导弧长的计算公式，采用了从特殊到一般的思想，能更加深刻地使学生理解到弧长是圆周长的一部分，弧长的大小取决于

7、圆心角占360°的比例活动 例题演练，巩固新知师问：（出示一组运用弧长计算公式的基本题型）（1）半径为3cm，圆心角为30°的弧长为_（2）半径为6cm，圆心角为120°的弧长为_（3）半径为4cm，长度为的弧所对的圆心角是_°（4）圆心角为150°，长度为的弧所在圆的半径是_（学生独立完成）生答：（1） （2） （3）90 （4）6师：通过上面的4个问题，我们不难发现弧长、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一” 【设计意图】推导出弧长计算公式后，马上对其进行简单的应用，既能加深学生对公式的理解，帮助学生熟练掌握公式，同时，也对公式进行逆向应用

8、，进一步拓展公式的使用范围探究二 扇形面积的计算公式（）活动 引入概念师问：观察下面阴影部分图形，它像我们生活中的什么图案呢？生答：扇子的形状师问：对，像上面阴影这样由两条半径和圆心角所对的弧围成的图形就叫做扇形活动 类比弧长，探究新知师问：你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！（学生小组合作，推导扇形面积计算公式，并展示）生答：类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB的面积也与圆心角AOB的大小有关：当AOB360°时，扇形AOB的面积就是整个圆的面积，即；当AOB1°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即；当AOB2°时，扇形

9、AOB的面积就是整个圆面积的，即；当AOBn°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的，即师：非常好！非常好，扇形AOB的面积S，这就是扇形面积的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径同样的根据扇形面积的计算公式，我们可知，只要知道n和R就可以求扇形面积特别的，几个特殊圆心角所对的扇形面积是我们经常用到的，比如：当n30°时，扇形面积S当n45°时，扇形面积S当n60°时，扇形面积S当n90°时，扇形面积S当n120°时，扇形面积S当n180°时，扇形面积S活动 例题演练，巩固新知师问：（出示一组

10、运用扇形面积计算公式的基本题型）（1）半径为3cm，圆心角为30°的扇形面积为_（2）半径为6cm，圆心角为120°的扇形面积为_（3）半径为4cm，面积为的扇形所对应的圆心角是_°（4）圆心角为150°，面积为的扇形所在圆的半径是_（学生独立完成）生答：（1） （2） （3）90 （4）2师：通过上面的4个问题，同样可以发现扇形面积、圆心角度数、半径三者中可以“知二求一” 【设计意图】有了前面弧长计算公式的推导，学生比较容易理解到扇形面积也是圆面积的一部分，扇形面积的大小取决于圆心角占360°的比例因此可以将扇形面积公式的推导交给学生，学生类

11、比弧长公式的推导，很快就可以得到扇形面积的计算公式在公式得出后，也同样马上进行简单的应用，既能加深学生对公式的理解，帮助学生熟练掌握公式，同时，也对公式进行逆向应用，进一步拓展公式的使用范围活动 对比联系，拓展新知师问：现在我们从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式l和扇形面积的计算公式，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？生1答：都含有；生2答：都与圆心角度数n有关；生3答：都与圆的半径R有关；（学生言之有理即可，老师多鼓励学生观察发现两个公式的共同部分）师问：实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？生答：因为，而l，所以师：非常好！这样我们又得到了一

12、个扇形面积的计算公式：在这个公式里，圆心角的度数n不见了，取而代之的是弧长l，只要知道弧长l和半径R就能求出扇形面积了师：同时这个公式还比较简洁，简单到和我们三角形的面积计算公式非常相似不同的是，三角形的底是一条线段，而扇形的“底”是一条弧线；三角形的高是底上的一条过顶点的垂线段，而扇形的“高”是弧线上任意一条半径【设计意图】对比弧长的计算公式和扇形面积的计算公式，学生能较容易的找到两个公式之间的联系，这样能得到扇形面积的第二个公式探究三 应用弧长公式和扇形面积公式解决问题（、）活动 基础性例题例1 填空（若结果含圆周率的请保留）（1）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形

13、的面积为_（2）圆心角为135°，半径为4的弧长为_【知识点】弧长计算公式和扇形面积计算公式【解题过程】（1）圆心角n120°，半径R3扇形面积（2）圆心角n135°，半径R4弧长【思路点拨】根据弧长计算公式和扇形的面积计算公式即可直接求出【答案】（1） （2） 练习 填空（若结果含圆周率的请保留）（1）一个扇形的圆心角为240°，半径为6，则这个扇形的面积为_（2）圆心角为45°，半径为8的弧长为_【知识点】弧长计算公式和扇形面积计算公式【解题过程】（1）圆心角n240°，半径R6扇形面积（2）圆心角n45°，半径R8弧长

14、【思路点拨】根据弧长计算公式和扇形的面积计算公式即可直接求出【答案】（1） （2） 例2 填空（若结果含圆周率的请保留）（1）75°的圆心角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是_（2）一个扇形的弧长是cm，半径是6 cm，则该扇形的面积是_【知识点】弧长公式的逆用，扇形面积公式二（扇形面积与弧长的关系）【解题过程】解：（1）圆心角n75°，弧长cm弧长 解得：此弧所在圆的半径为6cm（2）弧长cm，半径R6 cm扇形面积【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和弧长，根据弧长公式反过来求半径，只需根据弧长公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的圆心角度数后再求扇形

15、面积，但是比较复杂另外两个题目需注意单位的问题【答案】（3）6cm （4）练习 填空（若结果含圆周率的请保留）（1）75°的圆心角所扇形的面积是，则此扇形所在圆的半径是_（2）一个扇形的面积是，半径是4 cm，则该扇形的周长是_【知识点】弧长公式的逆用，扇形面积公式二（扇形面积与弧长的关系）【解题过程】解：（1）圆心角n75°，扇形面积扇形面积 解得：此弧所在圆的半径为6cm（2）扇形面积，半径R4 cm扇形面积 解得：扇形周长为【思路点拨】第1小问知道的是圆心角和扇形面积，根据扇形面积公式反过来求半径，只需根据扇形面积公式建立关于半径的方程即可；第2小问也可以先求出对应的

16、圆心角度数后再求弧长，但是比较复杂同时第2小问要注意扇形周长包含两条半径【答案】（1）6cm （2）【设计意图】本节课的重点和难点内容就是弧长公式和扇形面积公式的理解和应用，因此本环节用例1 和例2及变式练习，使学生掌握弧长公式和扇形面积公式最基本的应用，为接下来生活实际应用问题做铺垫 活动2 提升型例题例1 制造弯型管道时，经常要先按照中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果保留整数）【知识点】弧长的计算【解题过程】解：由弧长公式，得弧AB的长所以展直长度L【思路点拨】本题需审清题目中“展直长度”的含义：展直长度包括一段弧长和两端700mm的线段长【答案】练习

17、如图是一段弯型管道，其中OO90°，中心线的两条圆弧半径都是1000 mm，求图中管道的展直长度（取3.142）【知识点】弧长的计算【解题过程】解：由弧长公式，两端弧长均为所以展直长度L【思路点拨】本题中展直长度包括两段弧长和一条长3000mm的线段长【答案】6142 mm例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）【知识点】扇形面积、弓形的面积、垂径定理、等边三角形、【数学思想】转化思想【解题过程】解：连接OA、OB，过点O做OCAB，垂足为D，交弧AB于点C，连接ACOC0.6 m，DC0.3 m

18、ODOCDC0.3mODDC又ADDCAD是线段OC的垂直平分线ACAOOCAOC是等边三角形从而AOD60°，AOB120°又AO0.6 m，DO0.3 mAD mAB2AD有水部分的面积S 0.22（）【思路点拨】弓形的面积扇形面积三角形面积【答案】0.22练习 如图是一个马戏团帐篷的地面，是一个半径为20m的圆形，从点A到点B有一段笔直的栅栏，且AOB90°，观众坐在阴影区域内看马戏，如果每平方米可以坐3名观众，估计阴影区域内坐满观众时可以坐多少人？【知识点】扇形面积、弓形的面积【数学思想】转化思想【解题过程】解：AOB90°，OAOB20m（平方

19、米）每平方米可以坐3名观众 估计坐满观众时可以坐3×114342人【思路点拨】弓形的面积扇形面积三角形面积【答案】342人【设计意图】例1、例2及变式练习采用生活中常见的弧长或扇形问题，进一步帮助学生熟练弧长计算公式和扇形的面积计算公式，同时使学生提高应用数学的意识活动3 探究型例题例1 如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC=，ACB=90o，A=30o，若RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线上l时，求点A所经过的路线的长（结果用含的式子表示）ABCl【知识点】勾股定理、旋转、弧长计算公式的应用【解题过程】解析：AC=，ACB=90o，A=30°

20、;，可以由勾股定理计算斜边长度是2，点A第一次落在l上时经过的路线长度是，点A第二次落在l上时经过的路线长度是，点A第三次落在l上时经过的路线长度与第二次落在l上时经过的路线长度相同，也是，所以当点A三次落在直线l上时，经过的路线长度是2×（）=2×=【思路点拨】解旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是前提，另外计算连续的弧长问题，注意旋转规律，进行多次循环旋转的有关弧长之和的计算【答案】练习 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC的顶点都在格点上，将ABC绕点C顺时针旋转60°，求点A所经过的路径长ABC【知识点】勾股定理、旋转、弧长计算公式的应用

21、【解题过程】ABC绕点C顺时针旋转60°，顶点A经过的路径是以C为圆心AC为半径，圆心角为60°的弧，首先根据勾股定理，可以得到AC的长为根据弧长公式，可求路径长为【思路点拨】解答旋转问题，确定旋转中心、旋转半径以及旋转角度是关键.【答案】例2 （1）如图（1），以ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积是_（2） 如图（2），若将三角形改为四边形，半径不变，则阴影部分的面积是_（3）若改为n边形，半径不变，则阴影部分的面积是_（4）如图（3），以n边形各顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分面积是_【知识点】多边形内角和、多边形外角和、扇形面积【数学思

22、想】从特殊到一般思想，整体思想【解题过程】解（1）设三角形三个内角度数分别为又半径为1（2）设四边形四个内角度数分别为又半径为1（3）设n边形n个内角度数分别为又半径为1（4）设n边形n个外角度数分别为又半径为1【思路点拨】阴影部分的面积是由多个扇形组成的，而这些扇形的圆心角之和恰好是多边形的内角和或外角和【答案】（1） （2） （3） （4）练习 等边ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形面积S（图中阴影部分）【知识点】等边三角形的性质与面积、扇形的面积【解题过程】解：连接AO2，BO2CO2，ABC是等

23、边三角形AO2BCABa，BO2在RtABO2中，由勾股定理：AO2【思路点拨】阴影部分的面积可以用等边三角形的面积减去三个圆心角为60°的扇形面积【答案】【设计意图】将扇形与多边形结合，从简单的三角形入手，培养学生重视从特殊到一般的数学思想方法3课堂总结知识梳理（1）弧长是圆周的一部分，它的大小取决于圆心角占360°的比例，因此弧长的计算公式是：（n表示圆心角度数，R表示圆的半径）；（2）扇形面积是圆的面积的一部分，它的大小取决于圆心角占360°的比例，因此扇形面积的计算公式是：（n表示圆心角度数，R表示圆的半径）；（3）扇形面积第二种求法：（其中，l表示弧长，

24、R表示圆的半径）重难点归纳（1）灵活应用弧长计算公式，一般半径、圆心角、弧长三者之间可以“知二求一”；（2）灵活应用扇形面积计算公式，一般半径、圆心角、扇形面积三者之间可以“知二求一”；（3）注意扇形面积还可能直接用来求；（4）弓形的面积可以转化为求扇形面积与三角形面积之差（三）课后作业基础型 自主突破1在半径为6cm的圆中，60º圆心角所对的弧长_cm. （结果保留）【知识点】弧长的计算【解题过程】解：根据弧长公式【思路点拨】注意正确应用弧长计算公式【答案】2扇形的半径是9 cm ，弧长是3pcm，则此扇形的圆心角为 度【知识点】弧长的计算【解题过程】解：由弧长公式，可求得n=60

25、【思路点拨】注意正确应用弧长计算公式【答案】603一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_（结果保留）【知识点】扇形面积的计算【解题过程】解圆心角n120°，半径R3扇形面积【思路点拨】正确应用扇形的面积计算公式【答案】4如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为_【知识点】新定义、扇形面积【解题过程】解：扇形的半径为2，根据定义，扇形的弧长也为2，扇形面积【思路点拨】理解“等边扇形”的定义，利用扇形面积公式计算【答案】25已知扇形的半径为2cm，面积是，则扇形的弧长是_，扇形的圆心角度数是_【知识点】弧长

26、的计算，扇形面积的计算【解题过程】解：因为扇形的半径为2cm，面积是，解得：又扇形面积，解得：弧长为cm，圆心角度数为120°【思路点拨】扇形面积有两种计算方法：和【答案】cm 120°6已知扇形的圆心角为60°，圆心角所对的弦长是2cm，则此扇形的面积为_ cm2【知识点】垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，扇形面积的计算【解题过程】如图，作OCAB，AB2cm，ACBC1cm，AOCBOC30°，OA2cm，利用扇形面积计算公式可求出面积， cm2【思路点拨】本题求扇形面积，但是半径未知，可以通过作垂线，利用垂径定理和30°角

27、的直角三角形来计算半径【答案】能力型 师生共研7如图所示，O1和O2的半径均为2，且O1经过O2，O2经过O1，两圆相交于点A、B点，求两圆重叠部分的面积【知识点】叶形面积，弓形面积，扇形面积，等边三角形【解题过程】解：连接AO1、AO2、BO1、BO2、O1O2、ABO1和O2的半径均为2AO1AO2BO1BO2O1O2AO1O2和BO1O2均为等边三角形AO1BAO2B60°60°120°且O1CO1O21AB2AC2【思路点拨】叶形图案的面积等于两个弓形面积的和【答案】8如图，O的半径为5，直径ABCD，以B为圆心，BC长为半径作，求与围成的新月形ACED（

28、阴影部分）的面积【知识点】圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形的面积【解题过程】解：连接BC、BD，直径ABCD，根据圆周角定理和垂径定理得到BCD为等腰直角三角形BCCD105新月形ACED（阴影部分）的面积S半圆CODS弓形CED，而S弓形CEDS扇形BCDSBCDS新月形ACED S半圆CODS弓形CED= 【思路点拨】新月形面积扇形面积弓形面积【答案】25探究型 多维突破9如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是cm（结果保留）【知识点】弧长的计算、正方形的性质以及旋转的性质【解题过程】解：根据题意，画出正方形A

29、BCD“滚动”时中心O所经过的轨迹如下：正方形ABCD的边长为cm，正方形的对角线长是1cm，翻动一次中心经过的路线是半径是对角线的一半为半径，圆心角是90度的弧中心经过的路线长是：=3 cm【思路点拨】为了方便理解，本题最好根据题意画出旋转过程中，点O所经过的轨迹【答案】3 10 如图在RtABC中，C90°，（1）若在三角形三边上分别作如图（1）所示的半圆、，则这三个半圆的面积有什么关系？（2）若在三角形三边上分别作如图（2）所示的半圆、，且AC6cm，BC8cm，求阴影部分的面积 （图1） （图2）【知识点】勾股定理、扇形面积【数学思想】转化思想【解题过程】解：（1）ABC中，

30、C90°半圆的面积半圆的面积半圆的面积半圆的面积半圆的面积半圆的面积半圆的面积半圆的面积（2）阴影部分的面积半圆的面积半圆的面积ABC的面积半圆的面积而由（1）可得：半圆的面积半圆的面积半圆的面积阴影部分的面积ABC的面积AC6cm，BC8cm，C90°阴影部分的面积ABC的面积【思路点拨】首先分别表示出半圆、的面积，发现它们的半径与直角三角形的三边有关系，再联想到直角三角形的勾股定理另外，本题（1）小问的结论与勾股定理中的“勾股树”有相似之处【答案】（1）半圆的面积半圆的面积半圆的面积 （2）自助餐 1半径为4，圆心角为300°的扇形面积为（ ）A B C D【

31、知识点】扇形面积的计算【解题过程】根据扇形面积公式【思路点拨】注意正确应用扇形面积计算公式【答案】C2如图，圆O的半径是2，则弧AB的长是（ ）.A B C D【知识点】圆周角定理、弧长的计算【解题过程】解：AOB60°根据弧长公式【思路点拨】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，先求出圆心角AOB的度数，再计算弧长【答案】A3 若圆O的半径为6，A、B是圆上一点两点，且弧AB（劣弧）的长为，则劣弧AB对应的扇形面积是_【知识点】扇形面积的计算【解题过程】根据扇形面积计算公式，可得【思路点拨】注意正确应用扇形面积计算公式【答案】4在RtABC中，C90°，AC8，BC6，两等圆A、B外切，则图中阴影部分的面积是_【知识点】扇形面积计算、勾股定理【解题过程】解：C90°，AC8，BC6由勾股定理得AB10两等圆A、B外切A、B半径为5阴影部分面积【思路点拨】两个