二、二项式定理doc

1、(一)选择题(04年全国A. 14(04年浙江(A) 8(04年福建是(C )A . 28(05年江苏A . 10(05年山东(05年江西二、二项式定理、【高考真题】1卷5) (2x3 - )7的展开式中常数项是(JxB. - 149)D . - 42若(jx+y)n展开式中存在常数项，则n的值可以是(C )Jx(C) 10(D) 12(B) 9已知(x -？)8展开式中常数项为1120 ,其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和xB . 38C . 1 或 38D . 1 或 285k设k =1,2,3,4,5,则(x 2)5的展开式中x的系数不可能是(D. 80B. 40的展开式中各项系数

2、之和为如果C、X - 3 x)12的展开式中，含、【模拟试题】C. 5021128,则展开式中-21的正整数次幕的项共有26 .(1 x+x)(1+x)6展开式中，x3项的系数是A. 15B . 1412D.116. 在( 4x2 -2x-5 )A . 20(1+2)5的展开式中，常数项为xC.15B.-20D.-157.设 f(X)二 x7 C；X2+C；x3+C；x,g(x)=C；x6C；x4A . 127B . 1281 的展开式中是有理数的项共有21肯的系数是(C )xc；x2则 f 2(1)-g2(1)= ( A)D . 127A . 2项 B . 3项 C . 4项 D . 5项

3、&对于二项式(丄-x3)nx对任意n N*，展开式中没有常数项；对任意n N*，有四个判断:1存在n N * ,展开式中有常数项;n N*,展开式中没有 x的一次项;存在n N *，展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是(D )A .与B .与C .与D .与2 1 58(X22 -2)5展开式的常数项是( D )xA . 252B. - 210C . 210D . - 2529 .设(x 1)4(x 4)8 二aoai(x3)a2(x3)2卄 Iai2(x3)12，则 a2a4111ai2=( D )A. 256B. 96C. 128D. 112（二）填空题、【高考真题】（05年湖

4、北文3 214) (x )x4 - （x 丄）8的展开式中整理后的常数项等于x38（05年湖北14） （X 1 、2）5的展开式中整理后的常数项为空22 x2（02年全国15） （x21）（X-2）7的展开式中x3项的系数是10081 1（04年湖北文14）已知（X2 - X）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中X5的系数是35 .（以数字作答）1074 （04年全国2卷文13）已知a为实数，（XV）展开式中x的系数是一15,则5 45 （05年广东13）已知（XCOS1）5的展开式中x2的系数与（X ）的展开式中4x3的系数相等，则6 (04 年天津 15)若(1 -2x)2004

5、二 a°a1X a?x2 -a2°°4X2004 /(X R)，则(a。aj(a。a?) (a。a?) (a。a2°°4)-2004 .（用数字作答）7 (05 年天津 11)设 n N* 则 C： +c；6+c；62 十+C：6n_l二、【模拟试题】12 .已知(1 x) (1 x)2 (1 x)n = a0a2x2 anxn，若 a1 a2an4 =29 - n(nN且n1)，那么(1 y)6的展开式中含yn的项的系数是12 .已知函数 f (x) =1 -3(x-1) 3(x-1)2 -(x-1)3，则 f=(8)= 0.14设an（n=

6、 2,3,4,）是（3 . x）n的展开式中x的一次项的系数，则 an,2006（32 33 . 3 2006）的值是 答案：n（n -（三）解答题、【高考真题】 （01年全国理20） （12分）已知i, m小是正整数，且1 < i）3nj； !82005 日2 S3日200627、从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出 m个球（0cm兰n,m, n乏N ）,共有C种取法。在这Cm1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有 n Tg0Cmg1c一1二c0即有等式：Cmc晋二cm.1成立。试根据上述思想化简下列式子：C：+C： Cnm+Ck C+IH+C：

7、=。（1 兰 k<m 兰 n,k,m, nN）。答案：Cm.k根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从n k个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，k个黑球等 k 1类，故有Cm.k种取法。0122n nn8 二项式定理 Cn +CnX+CnX+CnX =+X)(nN的两边求导后，再取X = 1，得恒等式二 m : n.同理证明 nipm < mipn ；(n)证明(V m)n(1 n)m.证明：对于 1 ：i m，有 pm 二m ： （m-i 1）,Pmm m"m -i 1斗j 口，4分由于m<n,对整数n n nnk=1,2,i-1,

8、所以 * 単，即 “ pm: mipn ；n mn证明：由二项式定理有（1 m）n二v micn,i =0(1 n)m 八i =0nicm由(i)知 ni pm < mi Pn (1 v i 兰 m v n)，而 cm弓,cn耳.i!i!micn nicm(1 ： i - m ： n)C： 2C；nC：二 n2nd mm因此，送 micnnicm，又 m0Cn° = n0cm =1,mCn = nCm = mnmtn a 0(m£ i 兰 n)i 毛i =222解(1)012*1。3 +*3。3（2）归纳概括的结论为：若数列an是首项为a1,公比为q的等比数列，则nm

9、 ' mC ' nm，即(1 m)n . (1 n)m.i -0i -02（ 03年上海理19文22）已知数列an （n为正整数）是首项是 a1,公比为q的等比数列.(1)求和：a1c2)a2C； +a3C；,a1c3)a2C； +a3C； -a4c3；（2 ）由（1 ）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明（3）设 q工 1, Sn是等比数列an的前 n 项和，求：SC： S2C： S3C；SqC；（一1）$£：a1C； a2C； +a3C； =a1 2ag + ag2 =印(1 q)2,* 0 小12 -a4C3a1-3ag 3aq2 - aq3 =

10、aM1 - q)3.-a1 C n _'a1 qC n"C：(3)因为Snna - aq1 -q所以 SQ0 -S2C； - S3C -S4C3 (-1)nSn.1C；23n0a1 'a1q1 a1 'a1q2n a1 'a1qn CC(-1)1 -q1 -q1 -q二 a1 -az C-1 -q=a1 C： ZC； +(1)nC；-1 -qaqaz1C：012233nnn1n1_qCn - qCnq Cn _q 5t1) q C n =百(1- q ).0 1 23a1 C na2C n' a3C n- a4 C n1 2 (_1)nan 1

11、C： =a1(1 q)n,n为正整数. 证明：aQ0azC； asC：aqC；一(-1)冷.£：z 1 - a1q2C： a1q3C(1)na1qnC： qC； q2C： q3C；(1)n qnC：=印(1 一 q)n、【模拟试题】19.（文）规定。=檢 T）（x_m "，其中，R,m是正整数，且C° -1，这是组合数CT （ n、 m!m是正整数，且m乞n）的一种推广.C3求C；5 "也设x 0，当x为何值时，利取得最小it?组合数的两个性质：cm二C：”；cm om4二cn是否能推广到cm（R,m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明

12、；若不能，则说明理由.解：(-15)(-16)( -17)3! CXx(x1)(x2)丽=6X21J_：x . 0, x2、2,当且仅当x = 2时取等号,x.当x - 2时，一取得最小值2 2 -3（Cx）6性质不能推广例如当 x = 2时，C；有意义，但C无意义;性质能推广，其推广形式是：C；+。严=cx.事实上，当m=1时，C：+C：=x + 1二clx(x -1) (x - m 2) x - m 1 (m1)!I m当m _2时x-1 I Ix-m 1 x(x_1)(x_m 2)(m 1)!m!x(x -1)(x -m 2)( x 1)m!=C（理）规定A =x（x-1）HKx-m 1

13、）,其中xR, m为正整数，且 A =1,这是排列数 阳（门,m是正整数，且m込n）的一种推广.求A*的值;排列数的两个性质：Am =nA7，Am - mAm-Am,.（其中m,n是正整数）是否都能推广到Am（xR,m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；确定函数A：的单调区间.解： A* 二-15 -16 -17 二-4080 ；性质、均可推广，推广的形式分别是： AjxA；， A；+口铲=人二芒 R,m N + ）事实上，在中，当m =1时，左边=£ = x，右边=xA0 = x，等式成立；当 m _2 时，左边二 x x-1 x-2|Hx-m，1= x_x-1 x-2|l| x-1-m-1 1-xC因此， A>xA 成立；在中，当m=1时左边=a； + A； =x+1=人1十=右边，等式成立；当 m _2 时，左边二 x x-1 x2|x-m 1 mxx-1 x 2|x-m 2=x x -1 x-2|l|x-m 2iix-m1 m =x1xxT x-2|l( x 1 - m 1-A'右边，