平面向量回顾小结与复习对策

1、平面向量回顾小结与复习对策 湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 王爱民 一、知识结构：二、基本知识点：1.向量的概念：(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 ，；坐标表示法(3)向量的长度：即向量的大小，记作(4)特殊的向量：零向量0.单位向量为单位向量1(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作.由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2.向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 3.重要定理

2、、公式(1)平面向量基本定理：是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使 (2)两个向量平行的充要条件(3)两个向量垂直的充要条件·O(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为，即，则 (向量公式) (坐标公式)当1时，得中点公式：（）或(5)平移公式 设点按向量平移后得到点，则+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为： (6) 正弦定理：余弦定理： ，三命题趋势四年的命题体现了平面向量考查的三个层次第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，数乘要求考生掌握平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何

3、意义，并能正确地进行运算(2000年的考题)第二层次：主要考查平面向量的坐标表示，向量的线性运算(2001年的考题)第三层次：和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线，数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能为多角度的展开解题思路提供广阔的空间。题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完成解答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。四复习建议（1）充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现，因此，平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。（2）在基础知识复

4、习时，要注意向量考查的层次，分层次进行复习。第一层次：复习好向量本身的内容，包括平面向量的主要概念，主要运算：和、差、数乘、内积的运算法则，定律，几何意义及应用。第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性运算，基本定理以及内积的应用，以及课本例题的教学价值，例如2002年的选择题 （2002文(12)，理(10)）平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为（）（） （）（）（）这道题可以用向量的坐标表示计算。设，由题意于是×2得于是点的轨迹方程为但是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题例5，已知不共线，则有 ，如果用表示，表

5、示，则有这里给出了共线的一个条件而2002年选择题恰恰就是这个例题的变化，因此点在两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有，即从这道试题可以启发我们，在教学中一定要落实课本，落实课本的例题，挖掘课本例题在培养数学能力上的作用第三层次：平面向量与其它知识的结合。A与平面几何的结合：在平行四边形中，若，则，即菱形模型。若，则，即矩形模型。在中，是的外心；一定过的中点；通过的重心；，是的重心；，是的垂心；通过的内心；则是的内心；B与代数的结合 弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点：向量的数量积与实数的积的相同点：实数的乘积向量的数量积运算的结果是一个实数运算的结果是一个实数交换律分配律 且 |

6、向量的数量积与实数的积的不同点：实数的乘积向量的数量积结合律或 代数不等式：由, ，可得 。C与解析几何结合定比分点公式若，则是的定比分点，为定比，满足。点向式直线方程已知点及方向向量，可确定过，以为方向向量的直线方程为 .（3）精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。例1、已知a=，b，c=a+b，是否存在实数，使a 与c的夹角为锐角，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。（考查数量积的应用及严密的推理能力）例2、（2005江西卷）（考查数量积与三角函数综合）已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.18解： =.所以，最小正周期为上单调增加，上

7、单调减少.（江西卷）已知向量.是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.答：时， 此题将数量积与三角函数、三角函数求导公式综合，为探索型问题，题目形式新颖。例3、(全国卷) 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （1）求椭圆的离心率； （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值. 解：设椭圆方程为则直线AB的方程为化简得.令则 共线，得又即，故离心率为（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.设，由已知得在椭圆上，即 由（I）知又又，代入得 故为定值，定值为1例4、已知，若，（）。（）求的解析式；（）若点在曲线上运动，求

8、在时的最小值；（）把的图像按向量a平移得到曲线，过坐标原点作交于两点，直线交轴于点，当为锐角时，求的取值范围。（考查平面向量数量积的坐标表示，函数的最值，图像的平移，解不等式，解析几何的有关知识）例5、如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小. ABOCO1Dxyz解：（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）图3O1（0，0，）.从而所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，>， 所以cos，>=即二面角OACO1的大小是例6、一条河的两岸平行，河宽，一小船从处出发航行到对岸，小船速度为v1，且 v1 /秒，水流速度为v2， v2 /秒。()当v1，v2夹角为多大时，船才能到达对岸处