数列公式汇总

1、人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性 质的理解与应用。4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。2、理解递推公

2、式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做 数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复岀现2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1

3、项(或首项)，第2项，第n项，.3数列的一般形式：ai,a2,a3,，an,，或简记为 *鳥，其中an是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列 Nn 的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个 公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：并不是所有数列都能写岀其通项公式，如上述数列；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0,它的通项公式可以是1 +(1)"十n +1an，也可以是an =| cos|.2 2数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示

4、通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代 入项数就可求岀数列的每一项.5. 数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N* (或它的有限子集1，2, 3,，n)为定义域的函数K=f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数 y=f(x),如果f(i) (i=1、2、3、4)有意义，那么 我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，f(n)，6. 数列的分类：1) 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列例如数列1，2，3，4，5, 6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4, 5, 6

5、是无穷数列2) 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的 数列7. 数列的表示方法(1)通项公式法如果数列 '的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列:二 的通项公式为：、；:I -?的通项公式为-的通项公式为门 ;(2) 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数卜为横坐标，相应的项 5为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点111

6、(以前面提到的数列'为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.（3）递推公式法如果已知数列:an泊勺第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55, 89递推公式为：a1 = 3,a2 =5,an =anA an（3< n 乞 8）4、列表法s角向

7、简记为.典型例题：例1:根据下面数列的前几项的值，写岀数列的一个通项公式:(1) 3, 5, 9, 17, 33, -,103 15356399(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,(5) 2,- 6, 12,- 20, 30,- 42,2n1+(1)n解：(1)an = 2n+ 1 ；(2) an =； (3) an =(2n -1)(2n+1)2(4) 将数列变形为 1 + 0, 2 + 1,3 + 0, 4 + 1,5 + 0, 6 + 1,7 + 0, 8 + 1,二 an =；(5) 将数列变形为 1 X 2, 2X

8、3, 3 X 4, 4X 5, 5 X 6,an =a1 -1例2：设数列满足彳1写出这个数列的前五项nan =1+（n >1）.l.an J解：二、等差数列1 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个 数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母"d "表示）。.公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；.对于数列an,若an an4=d （与n无关的数或字母），2,N ，则此数列是等差数列，d为公差。2等差数列的通项公式：an a1 （n - 1）d【或an = am ' （n - m）

9、d等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得'若一等差数列'an *的首项是a1，公差是则据其定义可得：a? _ &1 二 d 即卩：a?二 *1 ' da3 _a2 = d 即：a3= a2d= q2dan Jna4 _a3 =d 即：a4=a3da13d由此归纳等差数列的通项公式可得：aa1 -(n_i)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项ai和公差d,便可求得其通项an由上述关系还可得：am =a1 - (mi)d即：= am -(m _i)d.d=出色m -n则：an =印 (n - 1)d =am -(m 1)d (n -1)d = am (n -

10、m)d即等差数列的第二通项公式an =am (n - m)d3. 有几种方法可以计算公差dd= an - a.d二色 虫 d二也彳n -1n m4结论：(性质)在等差数列中，若m+n=p+q,则，am，an二ap aq即 m+n=p+q = am ' a ap aq (m, n, p, q N ) 但通常由 am an =ap aq 推不岀 m+n=p+q， am aam -n典型例题：例1:求等差数列8，5，2的第20项-401是不是等差数列-5， -9， -13的项？如果是，是第几项？解：例3 :求等差数列3，7， 11，的第4项与第10项.例5 : 100是不是等差数列 2，9，

11、16,的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由、 1例6： 20是不是等差数列 0， 3 ， 7， 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由2例8:在等差数列 an中，若a1 + a6=9, a4=7,求a3 , a9 .三、等差数列的前 n项和1 等差数列的前 n项和公式1： Sn二"® 也2证明： Sn = a1 a2 a3 'an4 ' anSn 二 an and anQ a2 a1 + ：2Sn =(a1an) - (a2 an4) d - an/)(an an) a1 a a2 a.j =a3 - a.,=二 2Sn 二 n(a1 an) 由此

12、得： Sn =也2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性2.等差数列的前n项和公式2： Sn二nq2用上述公式要求 Sn必须具备三个条件：n, a1, an但a a1 (n- 1)d 代入公式1即得：Sn = n 垃12此公式要求Sn必须已知三个条件：n,ai,d(有时比较有用)对等差数列的前 n项和公式2: Sn =1)d可化成式子：2& 得n2 (ad)n，当0,是一个常数项为零的二次式3 -由Sn的定义可知，当n=1时，Sl= ai ；当n > 2时，an=Sn-Sn,即压5=1)即an =丿§n - Sn(n X 2)4.对等差数列前项和的最值问题有两种

13、方法：(1) 利用an：当an>0，d<0，前n项和有最大值.可由an >0，且an d < 0,求得n的值一当an<0，d>0，前n项和有最小值.可由an < 0，且an彳> 0,求得n的值一(2) 利用Sn :由Sn =dn2 (ad)n利用二次函数配方法求得最值时n的值2 2典型例题：例2 :等差数列一10, 6, 2，2，前9项的和多少？解：例3 :等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项.解例6 :已知等差数列an中，S3=21, S6=64，求数列 |a n门的前n项和Tn .例7 :在等差数列an

14、中，已知a6 + ag + a2 + a5= 34,求前20项之和.例8 :已知等差数列a n的公差是正数，且 a3 a7= 12, a4+ a6= 4,求它的前20项的 和S20的值.例9:等差数列an、b n的前n项和分别为Sn和Tn,若Sn2n3n 1则亟等于【b100例10:解答下列各题：(1) 已知：等差数列a n中a2= 3, a6= 17,求a?;(2) 在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项 之和为1350，求这几个数；(3) 已知：等差数列a n中，aq+a6 + a5 + a7= 50,求 S20 ； 已知：等差数列a n中，an=33 3

15、n,求Sn的最大值.四、等比数列1 .等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列a就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)，即：-=q (qan斗工0)i an 2成等比数列=q ( n N ,q工0)an2 :隐含：任一项an = 0且 q = 0“ an工0”是数列 an 2成等比数列的必要非充分条件.3：q= 1时，an为常数。n 12.等比数列的通项公式 1： an = ai q(印q = 0)由等比数列的定义，有：a2- aiq ；a3 二 a?q =(ae)q =dq ；a4 =asq =(aiq2)q

16、=aiq3 ；m _13. 等比数列的通项公式 2： an =am q(ai q 0)4. 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5. 等比数列与指数函数的关系：等比数列 an 2的通项公式aai qnJ(ai q 0),它的图象是分布在曲线 y=aqx (q>0)上的一些孤立的点。q当ai0, q >i时，等比数列 an 2是递增数列；当ai < 0 , 0 <q叮，等比数列 an 2是递增数列;当ai 0, 0 : q叮时，等比数列 an 2是递减数列;当ai : 0， q >i时，等比数列 an 2是递减数列；当q ：0时，等比数列 an 2是摆动数列；当q

17、=i时，等比数列务2是常数 列。6. 等比中项：如果在a与b中间插入一个数 G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G= 士丿ab ( a,b同号)如果在 a与 b中间插入一个数 G ，使 a,G ， b成等比数列，则G b 2G 二 ab = G - _ ab，a G2 G b-反之，右G =ab，则，即a,G,b成等比数列”a G.a,G,b 成等比数列 u G 2 =ab (a b工 0)7. 等比数列的性质：若 m+n=p+k，则 aman 二 apak在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？m 4n4p 4k -4由疋乂得： am =

18、 a1qan = a1q ap = a1qak 二 a q2 m "h -22p*-2am an - ai q ， ap a - ai q则 aman 二 apak8判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法9等比数列的增减性：当q>1, ai>0或Ovqvl, ai<0时， a.是递增数列；当q>1, ai <0,或Ovqvl,ai >o时， an是递减数列；当q=i时， an是常数列；当q<o时， a*是摆动数列；10 证明数列为等比数列的方法 ：(1)定义法:若a = q(n N )：=数列3n为等比数列an等比中项法:若 a； i

19、 =an & 2 = 0,(n N ”) u 数列为等比数列通项法:若 an二cqn(c,q均是不为0的常数，n N")=数列、an为等比数列前n项和法:若 Sn =Aqn -A(A,q为常数，且q =0,q ")：=数列：an /为等比数列。典型例题：例1:求下列各等比数列的通项公式：解：例2 :求下面等比数列的第4项与第5项:5，- 15, 45,;1.2，2.4, 4.8, ;2 1 3,553 2 8(1)(3);(4)嗨，解:例3 : 一个等比数列的第49项是一，公比是一91丄，求它的第1项.3且也an解：例4 : 一个等比数列的第解：例7 : (1)已知

20、an是等比数列，且 an - 0, 解：例9:在等比数列'bn匚中，b4 =3，求该数列前七项之积解：例10：在等比数列、an冲，a2 = -2， a5 = 54，求；解：2项是10,第3项是20,求它的第1项与第a?a4 2玄3玄5 玄4玄6 =25,求a3 a5-a8 ,五、等比数列的前1、等比数列的前n项和公式：a,1 qn)当q =1时，Sn11 -qn项和或Sn亠也1 -q当q=1时，Sn当已知a1, q, n公式的推导方法一：一般地，设等比数列二 naj时用公式；当已知a1, q, an时，用公式.a1 , a2a3 , an它的前n项和是(1)a1 =2, a3 = 8

21、；(2)a1=5,且 2 an 1 =.3 an；(3)a1=5,'Sn =a1+a2+a3 十八 ann ±an = a1q<2n _2Sn = ai+ag + 、qSn = ag +aQ2 +83 + a1q 当q "时，Sn二如1心1 -q=na1n dagn Anag当q=1时，S公式的推导方法二：有等比数列的定义,a2a3a2 anan J=q根据等比的性质，有a2=qSn - an(1 - q)Sn =ar -anq (结论同上)Sn a 1 即 n 1 二 q =S an围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式.公式的推导方法

22、三：Sn 二 a1 a2 a3 an =印 q(a=a1 qSn=印 q(Sn -an)=(1 -q)Sn 二 a1 -a.q (结论同上)2、重要结论a n成等比数列，公比为 q(1)也为等比数列，且公比为anS.1nq丿丄aqn(1-q)q1-qn(2)a2/1也成等比数列，且公比为(3)(1)an成等比-lg an成等差(2)an成等差=aan成等比匚成等比，且an>0，则Iga 1,lga 2,lga 3成等差典型例题:例1:求和:1 + %*5?+加+ +(2«-1)十1("0).解:等差数列等比数列疋义一般地，如果一个数列从第 2项起，每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列这个常数叫公 差.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比.递 推 关 系* an Hi an = a2 ai( n 匸 N ) an4i an