浙江大学研究生高等代数试题

1、浙江大学1999年研究生高等代数试题一是个不相同的整数，证明在有理数域上可约的充分必要条件是可表示为一个整数多项式的平方二设，且，求(1) (2)(其中为阶单位阵，)三矩阵是行满秩，证明：(1)存在可逆阵，使得(2) 存在矩阵，使得四设阶方阵满足，是中个线形无关的列向量，设是由生成的子空间，是的解空间，证明：(表示与的直和)五设都是阶实对称矩阵，且正定，则存在，使得六设阶矩阵，满足下列条件：(1)01, (2) (i=1,2,n)求证：(1)的每一个特征值，都有(2)为的一个特征，求证：(1)等号成立当且仅当线形相关时成立 （2）若也成立八（1）设分别为复数矩阵域上的，并且没有公共的特征值，求

2、证只有空解（这里）（2）在中，变换，为一个固定的矩阵，且的特征值不为（-）的特征值，求证：为一个线形变换。二年攻读硕士研究生入学考试试题一、（20分）是数域上的不可约多项式（1），且与有一个公共复根，证明；（2）若及都是的根，是的任一根，证明也是的根.二、（10分）计算行列式.三、（20分）是正定阵，是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵使得同时为对角形；是正定阵，是实矩阵，而是实对称的，证明：正定的充要条件是的特征值全大于0.四、（20分）设维线性空间的线性变换有个互异的特征值，线性变换与可交换的充要条件是是的线性组合，其中为恒等变换.五、（10分）证明：阶幂零指数为的矩阵都相似.（若，而称的幂零

3、指数为）六、（20分）设是维欧氏空间的线性变换。对任意，都有。证明：的核等于的值域的正交补.2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答一、是数域上的不可约多项式（1），且与有一公共复根，证明：。（2）若及都是的根，是的任一根，证明：也是的根。Proof：（1）是数域上的不可约多项式，故对于上任一多项式只有以下两种情形： , 下证不可能是情形二。（反证法）若不然为情形二，就是则由已知条件，有一公共复根（设为），则，将代入中得到的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设是的任一根，下证。证明见高等代数题解精粹钱吉林编第42题.二、计算行列式Solution:我们已经知道：在此结论中令，知三、（1）是正

4、定矩阵，是实对称矩阵，证明：可逆矩阵同时为对角形Proof: (1)正定， 可逆矩阵使得，此时还是对称的，正交矩阵使得为对角形，令，此时是对角形，得证！（2）由（1）知所以，故正定得证！四、设维线性空间的线性变换有个互异的特征值，线性变换可交换的充分必要条件是是的线性组合，其中为恒等变换。Proof:我们分以下四步来完成证明。由题意知，有个互异特征值，故，其中为的特征值，且令（2）则，令，为对角矩阵，且主对角线上的元素互异，而，由结论“与对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵”知，即，（3）（4）欲证可由线性表出，只须证方程有非零解即可，（显然）设将作用于，则由（3）知即明白写出即为，令有解，而,

5、，这说明可由线性表出！五、证明：阶幂零指数矩阵都想似（若而称的幂零指数为）。Proof:若，且，若还有，且，所以，由相似的传递性知，得证！（注：的最小多项式为从而与相似）六、设是维欧空间的线性变换，对都有证明：的核等于的值域的正交补。Proof:二二年攻读硕士研究生入学考试试题一、（12分）设两个多项式和不全为零。求证：对于任意的正整数，有。二、（12分）设；。 计算行列式：三、（12分）设是级矩阵，且。求证：。四、（12分）设是级阵，的秩为，是级矩阵，的秩为，且。这里维列向量是齐次线性方程组的解，求证：存在唯一的维列向量，使得。五、（11分）求的和与交的基与维数。其中，六、（20分）用正交线

6、性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换。七、（8分）设是级复矩阵，且。求证：存在一个级可逆矩阵，使得与都是上三角矩阵。八、（7分）设是级复矩阵，其中是幂零矩阵（即存在正整数，使得）而且，求证：。九、（6分）设是维线性空间的线性变换，在的某组基下的矩阵是，用表示的核，表示的值域。求证：秩()=秩()的充要条件是浙江大学2003年研究生高等代数试题1（20分）令是中个线性无关的向量。证明：存在含个未知量的齐次线性方程组，使得是它的一个基础解系。2（20分）设有分块矩阵，其中都可逆，试证： （1）；（2）。3（20分）设是数域上维线性空间，又有且线性无关。求证：可用替换中的两个向量

7、，使得剩下的两个向量与仍然生成子空间，也即。4（20分）设为阶复矩阵，若存在正整数使得，则称为幂零矩阵。求证：（1）为幂零矩阵的充要条件是的特征值全为零；（2）设不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在阶可逆矩阵，使得，其中是幂零矩阵，是可逆矩阵。5（20分）已知实对称矩阵，求正交矩阵使得成为对角矩阵。6（20分）设是维欧氏空间，内积记为，又设是的一个正交变换，记。证明：（1）都是的子空间；（2）。7（10分）设是一个整系数多项式。证明：若存在一个偶数及一个奇数，使得与都是奇数，则没有整数根。8（10分），是维欧氏空间的子空间，且的维数小于的维数，证明：中必有一个非零向量正交于中的一切向量。9（10分

8、）设是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵是的伴随矩阵。二四年攻读硕士研究生入学考试试题 1.（每小题8分，共16分）计算阶行列式： 1）2）。 2.（16分）设，。已知可逆。求证：存在使。（注：是数域，表示元素在中的阶方阵的集合） 3.（16分）设，求证：。证明：（1）当时，这时有，由公式，可得。结论成立 （2）当时，考虑矩阵，由于、都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个，使得 那么有上面（1）的结论有 令 由式有 由于有无穷多个使式成立，从而有无穷多个使式成立，但都是多项式，从而式对一切都成立。特别令，有。证毕 4.（题（1）为15分，题（2）为5分，共20分） 实二次型经正交线性替换化为标准型。 （1）求及正交矩阵； （2）问二次型是正定的吗？为什么？ 5.（16分）设，且。证明：存在阶可逆矩阵使得。证明：设矩阵，的秩分别为。对于矩阵，存在着可逆的级矩阵，使得 ，则 ，令，则有成立。 6.（16分）设是阶复矩阵，且存在正整数使得（这里是阶单位阵）。证明：与对角矩阵相似。 7.（每小题9分，共18分）设看成上的线性空间。取定。对任意，令。求证：（1）是的线性变换；（2）当时，可逆的充要条件是。 8.（16分）设是线性空间的线性变换且。令,。证明：且对每个有。9.（16分）设是维欧氏空间，是的子空间