一齐次偏微分方程的分离变量法

1、第二章分离变量法齐次偏微分方程的分离变量法1有界弦的自由振动(1)考虑两端固定的弦振动方程的混合问题22 u 二 at22 x0=(x)u(0,t)= u(l,t)二 u|t j (x),u L这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求由其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。所谓u(x,t)具有分离变量的形式，即u(x,t)= X(x)T(t)把u(x,t)= X(x)T(t)带入方程中，可得到常微分方程定解为：qQu(x,t) = £ un(x,t)n Tan t an t n x='、(Cn

2、cos Dn sin )sin 一n，lll2 in x _2 in x其中：Cn =一0cp (x)sindx, Dn = 仆(x)sindxllanl2离变量法的解题步骤可以分成三步：(一)首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转 化为常微分方程的定解问题。(二)确定特征值与特征函数。(三)求生特征值和特征函数后，再解其它的常微分方程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所 有分离变量的特解。3有限长杆上的热传导设有一均匀细杆，长为1,比热为c,热传导系数为k, 杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为0度，另一端杆的热量自由散发到周围温度是0的介质中，杆与介质的热交换系数为k。，

3、已知杆上的初温分布为 中(x),求杆上温度的变 化规律，也就是要考虑下列问题： -2- 2u 9 uU=a2U,0<x<1,t>0(2.18)22t xu(0,t) = 0, U " hu(1,t) = 0 (2.19)u(x,0)= (x) (2.20) k其中a2 =,h0注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的,因此仍用分离变量法来求解。设 u(x,t) = X(x)T(t),代入方程(2.18)得： X (x) T (t) X(x) aT(t)上式右端不含x ,左端不含t ,所以只有当两端均为常 数时才能相等。令此常数为-九，则有：X (x) + ?X(x

4、) = 0(2.21 )(t) + a，T(t) = 0(2.22 )所齐次边界条件可得：X(0) = 0,X (l) + hX (l) = 0(2.23 )从而特征值问题：X(x) X(x) = 0 X(0) = 0,X (l) hX(l) = 0对九的取值分三种情况 九 0 ,九=0,九 0进行讨论。4极坐标系下位势方程的分离变量法如果求解区域是圆域、圆柱域等，在直角坐标系下，其 边界不能用分离变量形式的方程来表示，进行分离变量就会受阻。然而若转换坐标，例如圆形域换成极坐标系后，其边 界方程为p - p。= 0 ,符合分离变量的要求。因此，当求解 域为圆、扇形、球、圆柱等定解问题时，通过选

5、取适当的坐 标系，可以排除用分离变量法的障碍。例如 一个半径为p0的薄圆盘，上下两面绝缘，圆周边 缘温度分布为已知，求达到稳定状态下圆盘内的温度分布。二、非齐次方程的的解法1非齐次方程的特征函数法可分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次(位 势方程例外)如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量 法解。对于齐次方程具有齐次边界条件的定解问题，因其通解可表示为其特征函数Xn(x)(n= 1,2，.)的线性组合，即U(X,t) = £ CnTn(t)Xn(X),由此推断非齐次方程具有齐次边 n 1界条件定解问题也可由特征函数列X n (x)线性表由，即求形式解U(X,t) = 

6、3; Tn(t)Xn(X) , Tn(t)为待定函数。 n 1由此，在齐次边界条件下的非齐次的定解问题，只要将 其解及方程的自由项均按相应的齐次方程的特征函数展开， 就可以求生其形式解。因此，这个方法就称为特征函数法。2非齐次边界条件的齐次化不论是用分离变量法，还是用特征函数法，都要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法或特征函数法都要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通 过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。例如将定解问题 -2Utt = a Uxx f (x,t) u(0,t)= g"t),u(l,t)=

7、 g2(t) u(x,0) = (x) U(x,0) = (x)的边界条件齐次化。设 u(x,t) = V(x,t) + W(x,t),通过适当选取 W(x,t)使 新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使W(x,t)满足：Wi(0,t)= g(t), Wi(l,t)= g2(t) 即可。3 Sturn- Liouville 问题用分离变量法争定解问题必须导生特征值问题，并将定解问题的解表示成特征函数系构成的无穷级数。现在看Sturn - Liouville问题的一般提法和主要结论。方程ak(x)dy - q(x)y+ *、p(x)y = 0 (a< x< b) dx dx(2.38

8、 ),称为Sturn - Liouville型方程。其中为待定实参数， p(x), q(x), k(x)为已知函数，且在a,b上 k(x), k(x), p(x),当 xw (a,b)时，p(x)>0, q(x)之 0, k(x)>0,而a,b 至多是k(x)及p(x)的一级0点；q(x)在(a,b)上连续，在端 点至多是一级极点。方程(2.38)与定解条件所构成的定解问题称为 Sturn - Liouville 问题。任一个 Sturn- Liouville 问题的特 征值和特征函数满足如下性质：(1 )在可数无穷多个值九1 <九2 << ，lim = +co。与每一个特征值相应的线性无关的特征函 数只有一个；(2)3之0；(3)设九山丰3是任意两个不同的特征值，则相应的特 征函数ym(x)和yn(x)在a,b上带权p(x)正交，即有： ba p(x)ym(x)yn(x)dx= 0(4)特征函数系yn(x)在区间a,b上构成一个完备 系，也就是说，对任意一个在