线性方程组的解

1、4 4 线性方程组的解线性方程组的解主要内容：主要内容：一、线性方程组解的判定定理一、线性方程组解的判定定理二、求解线性方程组的步骤二、求解线性方程组的步骤三、线性方程组的相关定理三、线性方程组的相关定理4 4 线性方程组的解线性方程组的解可以写成以向量为未知元的向量方程 Ax = b,如果方程组有解,称方程组(1)是相容的相容的,如果方程组无解,称方程组(1)不相容不相容.11112211211222221122,(1),nnnnmmmnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb 定义定义:设有n个未知数m个方程的线性方程组4 4 线性方程组的解线性方程组的解定理定理4: n元线性方程组

2、Ax = b(1)无解的充分必要条件是 R(A ) R(A,b ) ;(2)有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b ) = n ;(3)有无穷多解的充分必要条件是R(A) = R(A,b ) n .4 4 线性方程组的解线性方程组的解求解求解非齐次非齐次线性方程组的步骤线性方程组的步骤: 对于非齐次线性方程组,把它的增广矩阵B= (A,b )化成行阶梯形,从B的行阶梯形可同时看出R(A )和R(B) .(1)若 R(A) R(B) ,则方程组无解.4 4 线性方程组的解线性方程组的解12122.225xxxx 求解线性方程组例例112112( , ),225001()2,()3,()

3、(),BA bR AR BR AR B所以方程组无解。解4 4 线性方程组的解线性方程组的解对于非齐次线性方程组,增广矩阵B= (A,b ), (2)若R(A) = R(B),则进一步把B化成行最简形. R(A ) = R(B) = n,非齐次线性方程组有唯一解.4 4 线性方程组的解线性方程组的解1212225xxxx 求解线性方程组例例111122112( , ),25( )( ),11.11BA bBR AR BxxBxx 所对应的方程组为，方程组有唯一解解4 4 线性方程组的解线性方程组的解对于非齐次线性方程组,增广矩阵B= (A,b ), (3)设R(A) = R(B) = r n,

4、把行最简形中r个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数,其余n- r个未知数取作自由未知数,并令自由未知数分别等于c1 ,c2 , , c n- r ,由B (或 A)的行最简形,即可写出含n- r个参数的通解. R(A) = R(B) = r n,非齐次线性方程组有无限多个解.4 4 线性方程组的解线性方程组的解1212224xxxx 求解线性方程组2例例解1121112112(, ),242()(),00,.1BA bBxxR AR BBxcxcxc1220012所对应的方程组为，令方程组有无穷多解4 4 线性方程组的解线性方程组的解求解求解齐次齐次线性方程组的步骤线性方程组的步骤

5、: 对于齐次线性方程组,它的增广矩阵B= (A,0 )与系数矩阵A 的秩相等,即R(A)=R(B) .则把系数矩阵A化成行最简形.(1)若R(A)= n, 则方程组只有零解.4 4 线性方程组的解线性方程组的解1212xxxx 求解线性方程组2例例解112,(),.ABRAxx2方程组只有零解4 4 线性方程组的解线性方程组的解对于齐次线性方程组(2)若R(A) n, 则方程组有非零解.4 4 线性方程组的解线性方程组的解121200 xxxx 求解线性方程组22例例解1121112,000( ),00,.ABxxR ABxcxcxc 222 所对应的方程组为方程组有非零解，令4 4 线性方程

6、组的解线性方程组的解定理定理5: 线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b ).定理定理6: n元线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是 R(A) n.定理定理7: 矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是 R(A ) = R(A,B ) .4 4 线性方程组的解线性方程组的解定理定理8: 设AB =C,则R(C) minR(A),R (B).定理定理9: 矩阵方程A mn X nl = O只有零解的充分必要条件是 R(A) = n .4 4 线性方程组的解线性方程组的解123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxxx 求解线性方程组问 取何值

7、时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？例例解1110111111303,11100(3)(1)(3)0,3, ( )( )3,0, ( ) 1, ( )2,3, ( )( )2,(1)(2)( )BR AR BR AR BR AR B方程组有唯一解；方程组无解；方程组有无限多个解。4 4 线性方程组的解线性方程组的解113322333, ( )( )2,1123101103360112 ,00000000111,( )12 ,().(,10)2rrR AR BBxxxxxccRxxx 方程组有无限多个解。由此的通解即4 4 线性方程组的解线性方程组的解o 总结总结o 齐次线性方程组Ax =0 (1)若R(A)= n, 则方程组只有零解. (2)若R(A) n, 则方程组有非零解