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1、第六章第六章 二次型二次型6.1 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一、二次型的定义一、二次型的定义222123123121323(,)23247;f xxxxxxx xx xx x如如：, ,二、二次型的矩阵表示二、二次型的矩阵表示以三元二次型为例以三元二次型为例 12111112111222221212,(=),nnnijijijjiijnnnnnnnnTfx xxa x xaaaaaxaaaxx xxaaaxx Ax 其其中中135(2)357579A 6.2 二次型的标准形和规范形二次型的标准形和规范形一、二次型的变换一、二次型的变换yCxycycycxycycycxycyc

2、ycxnnnnnnnnnn 22112222121212121111引入：若C 可逆，称该变换 x=Cy 为可逆变换；若C 正交，称该变换 x=Cy 为正交变换.,BPAQQPBA 使得、等价：存在可逆.,BAPPPBA 1使得相似：存在可逆.,BAPPPBAT 使得合同：存在可逆A,B等价等价A,B相似相似A,B合同合同112212(,)TTnnnkykyfx Axyyyyyky2221122,nnk yk yk y二、二次型的标准形和规范形二、二次型的标准形和规范形1122212312322332(,)2313Txxf xxxxxxxxxx 如如：, ,11221231322332(,)2

3、01Tyyf yyyyyyyyy , ,+2222212312313(,)f z zzzzzzz如如：, , 或或 三、化二次型为标准形的方法三、化二次型为标准形的方法（重点）（重点）（1 1）正交变换法）正交变换法二次型化标准型.,yyAxxfCyxTCyxT 使得寻找变换., ACCCT使得寻找可逆矩阵故令x =Py, 则二次型可以化为标准形.求求A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量，的特征值与特征值对应线性无关的特征向量，经过经过正交单位正交单位化，求出正交矩阵化，求出正交矩阵P。(参见上一章参见上一章)写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵A（A为实对称矩阵）；为实对称矩阵）；（2 2）配方法（）配方法（了解了解）惯性定理惯性定理6.3 6.3 正定二次型正定二次型一、定义一、定义222123123(,)23f xxxxxx如如：, ,222123123(,)3f xxxxxx, ,2212313(,)23f xxxxx, ,正定，对任意非零正定，对任意非零 x 取值，取值，f 0.非正定，取非正定，取 x1

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