应用泛函分析习题解答

1、泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第一节3设是赋范空间中的Cauchy列，证明有界，即。证明：，当时，有，不妨设，则。取，则有，令，则。6设是Banach空间，中的点列满足（此时称级数绝对收敛），证明存在，使（此时记为，即）.证明：令，则。由于绝对收敛，则它的一般项。因此，总，当时，有，所以是中的Cauchy列，又因为是Banach空间，则必存在，使得。9（Hamel基）设是线性空间的非空子集，若中任意多个元素都是线性无关的，则称是线性无关的。若是线性无关的，且，则称是是的一个Hamel基。此时若是无穷集，则称是无穷维的；若是有限集，则称是有限维的，并定义的维数为中所含有的元素个数。通常用

2、表示的维数，并约定当时，可以证明任何线性空间都存在Hamel基。证明酉空间的维数为，并问当视为实线性空间时，其维数是多少？证明：设，则有。令，则对任意的，必有，因此是空间的基，则。当视为实线性空间时，可令基为，则对任意的，有，所以。10证明，这里。证明：取，只需证线性无关。为此对，令。则。因此必有，求该式求导后有。依次类推，有，所以对任意的，都有线性无关，即。第 二 节2.（点到集合的距离）设是的非空子集，。定义到的距离为：证明：1) 是的内点；2) 是的孤立点，且；3) 是的外点。解：1）必要性：是的内点，使得，都有。充分性：，使得，使得是的内点。2）必要性：是的孤立点，且，使得，且，使得，

3、且。充分性：，且，使得，使得是的孤立点。3）必要性：是的外点，使得，都有。充分性：，使得是的外点。3设是中的非空闭集，证明：。解：必要性：，使得。充分性：，使得。7举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。解：。8证明。证明：设，使得。若中有无穷项互异，则；否则有无穷多相取同一个值，则，由此可知：，则。另一方面，由于且，所以。综上所述，有。9证明：1）的内部是含于的最大开集，即；2）的闭包是包含的最小闭集，即。证明：1）设是含于的最大开集，则。设，使得，使得。所以。综上所述，则表明的内部是含于的最大开集。2）设是包含的最小闭集，且。设，使得，使得，所以。综上所述，则表明的闭包是包含的最小闭集。10

4、利用习题9的结论证明：1），2）。证明：1）。是开集，而由习题9的结论可知，是含于的最大开集，所以。此外，设，而。由，使得，使得。 （1）而由，都有，此与（1）式矛盾，故，所以。综上所述，有。2）。这表明是包含的闭集，而由习题9的结论可知，是包含的最小闭集，所以。此外，设。由，都有，都有。特别有，因此取，所以有且，故，所以。综上所述，有。12设。试写出，及的孤立点的全体。解：；的孤立点。13设、均是的子集，且，证明：1）若在中稠密，则在中稠密 ；2）若不中稠密，则不在中稠密。证明：1）在中稠密，存在，使得，存在，使得在中稠密。2）不在中稠密和，使得和，使得不在中稠密。第 三 节2设，且，证明：

5、。证明：设；另一方面，设。综上所述，。4设，证明：1）在处连续只要满足，则；2）在处连续对于任意，存在，使。证明：1）必要性：若，且对于任意，存在，使得当时，有。再由在处连续对于任意，存在，使得当，。若取，则表明对于任意，存在，当时，有，因此。充分性：对于任意，存在，使得当时，有；对于任意，存在，使得当时，有，显然对于特定的，也存在，使得当时，有。因此取，对于任意的，存在，使得当，有，所以在处连续。2）必要性：在处连续对于，存在，使得当时，有。所以对于，都有，因此。充分性：设，由条件可知，存在，使得当时，都有，由连续的定义可知，在处连续。5（集合的边界）称集为集合的边界，记为，并称中的点为的边

6、界点。证明：1），即的任何领域内既有的点，又有的点；2）且。证明：1） 必要性：且。由，使得，存在，使得当时，有的任何领域内既有的点。由存在，且，存在，使得当时，有的任何领域内既有的点。充分性：显然成立。2） 必要性：且。由，使得，而。由，使得，而。充分性：由，使得。由，使得。所以， 。6验证例4中构造的泛函满足题给条件。已知：，和是中互不相交的非空闭集。验证：由于，且当时，；时，。9证明开集总可以表示为可列个闭集之并，而闭集总可以表示为可列个开集之交。证明：（1）设是闭集，不妨设。令，则是开集，且，于是。另一方面，设，即。因此。综上所述，。因此闭集总可以表示为可列个开集之交。（2）利用（1）

7、中的结论以及de Morgan公式，可得：。显然是开集，是闭集，这表明开集总可以表示为可列个闭集之并。10设均是实赋范空间，是连续映射，且满足可加性：对任意，恒有。证明：是线性算子。（提示：注意到非零有理数形如（，与互质），先对有理数说明，然后利用连续性。）证明：令为（1）式。则在（1）式中，当时，有；当时，有，令此式为（2）式。此外利用（1）式还可得：，令此式为（3）式。又，且，有，有，令此式为（4）式。由在中稠密，使得。因此。由是线性算子。第 四 节2设表示定义于上“直至阶连续导数”的函数的全体，按通常函数的加法与数乘，是线性空间。对，其中表示，则成为赋范空间。证明它是Banach空间。证

8、明：（） 证明赋范空间。正定性与绝对齐性是显然的。下证此范数满足三角不等式。设，则。所以按此范数它是赋范空间。（）证明完备性。设是中的Cauchy列。则，当时，有，即（）式。特别的，对于每个，（）式都成立。所以是中的Cauchy列。于是使，所以一致收敛到。当时有，所以。同理可得：当时，有。最终有，所以。综上所述，它是Banach空间。5设、是赋范空间的子集，且，证明：（） 若是第二纲集，则必是第二纲集；（） 若是第一纲集，则必是第一纲集；证明：先证明（）。是第一纲集，则，其中是稀疏集。令，则也是稀疏的。下面来证。设，按的定义必有，则；另一方面，设，则必存在，使得，按的定义有，所以。由此可知：。

9、所以必是第一纲集。（） 若必是第一纲集的话，按（）中的结论可知必是第一纲集，此与是第二纲集矛盾，所以是第一纲集。6设是赋范空间中的闭集，且不是稀疏集，证明必包含中某个闭球。证明：不是稀疏集存在中某个开集，使得在中稠密。取，使得，所以有。7设是赋范空间的真闭子空间，证明是中稀疏集。证明：由习题6的结论可知：如果不是稀疏集，则，使得。因此，有，则，所以，此与是的真闭子空间矛盾。由此可知：是中稀疏集。8证明是中的第一纲集。证明：用表示次数不超过的多项式，则是的真闭子集，由习题7的结论可知在是稀疏的。又，这表明是中的第一纲集。第 五 节1证明紧集必是完备子集。证明：设是紧集，且是中的Cauchy序列。

10、则， ，使得当时，有。又因为是紧集，则及，使得。因此当时，也有。由此可知：收敛，且极限为。则是完备子集。2证明紧集的闭子集是紧集，紧集必是闭集。证明：设是紧集，且是闭集。，有，使得，子列，使得是列紧的（1）式。又因为是闭集，则（2）式。由（1）（2）式可知，是紧集紧集的闭子集是紧集。设是紧集。，且，使得，且。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，可知，由此可知是闭集。3证明列紧集的闭包是列紧集，因而列紧集的闭包是紧集。证明：设是列紧集。，由接触点的性质，存在，使得（1）式。，使得，。因此是列紧的。又式闭集，则，所以是紧集。4证明：若是紧集，则也是紧集。证明：是紧集，子列，使得，且，子列，使得，且

11、是紧集。5证明紧集的有限并是紧集，紧集的任意交是紧集。证明：设是一列有限的紧集，记。，则必存在整数，使得含有的无穷多项，记为。由是紧集，则的子列，使得，且。因此，都存在它的子列，且。所以紧集的有限并是紧集。设是一列紧集，记。，则对任意整数，都有。由是紧集，则的子列，使得，且，即。因此，都存在它的子列，且。所以紧集的任意交是紧集。6设是中一列不增的非空紧集，证明。若将条件中“紧集”改为“闭集”，试问结论是否成立？证明：由非空，可取。再由题意知，则。显然，由是紧集，则的子列，使得，且；此外取，由是紧集，则的子列，使得，且。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，则，且。依此类推，当时，有，的子列，使得

12、，且。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，则。由此可知：，则。7设是中的非空紧集，映射连续，证明是中的紧集，即紧集的连续像仍是紧集。证明：设是中的序列，由像与原像的性质，可知是的原像，再由是非空紧集，可知存在子列，而是连续的，则，因此是中的紧集。8设是中的紧集，映射连续，证明在上一致连续，即对于任何，存在，当，且时，恒有。证明：用反证法。，当，且时，恒有。不妨取，则（）式。由于是紧集中的序列，则必存在子列，由（）式可知，。再由的连续性，则，此与矛盾。所以在上一致连续。9设是中的非空紧集，泛函连续，证明在上有界，且在可达到其最大值和最小值。证明：由习题 7结论可知，是紧集，则必有界。设，则必存在

13、一列，使得。由是紧集，则及，使得。由的连续性，存在及，使得。由此可知：。同理可证：存在。11设是中的非空紧集，证明存在使。证明：显然泛函连续，且是非空紧集。再由，根据习题9的结论可知：必存在，使得。第 六 节5设是一组实数，满足条件，其中。证明代数方程组对任何都存在唯一解。分析：代数方程组等价于，其中，。显然，证明解的唯一性等价于证明映射有唯一的不动点。证明：令的映射为，。所以。上述推导过程中，（1）应用了许瓦尔兹不等式，（2）利用了条件。由是压缩映射，且是完备子空间，由压缩映射原理可知：存在唯一的不动点。6已知，证明函数方程在上存在唯一的连续解。证明：令为：。所以是上的压缩映射，且是完备的。

14、由压缩映射原理可知：映射存在唯一的不动点。7设是一组实数，满足。证明无穷代数方程：，对任何必存在唯一解。证明：令，。方程组等价与。令为。则对和有：，。由上述推导可知是压缩上的压缩映射，又是完备的。所以在上有唯一的不动点。8（第二类Fredholm方程解的存在唯一性）设有线性积分方程：，其中，是参数，积分核在上连续，且满足：，则上述积分方程对绝对值充分小的，在中存在唯一解。（提示：令，。）证明：令为：。则。上述推导过程中，（1）利用的Holder不等式。令，则。显然，如果，则。所以是上的压缩映射，又因为是完备的，所以在存在唯一的不动点。9（Volterra积分方程解的存在唯一性）设在上连续，则V

15、olterra积分方程：对任意及任何参数都存在唯一的连续解（提示：令，映射为。然后用归纳法说明。取充分大使。在利用定理4。）证明：令映射为，且。利用数学归纳法：当时，设，则：。因此当充分大时，。所以为上的压缩映射，又是完备的，所以在上有唯一的不动点。由书P30页上的定理4可知：在上有唯一的不动点。第 七 节2设是上的实函数，对，令，证明等价于。证明：充分性显然。下证必要性。令，则，由于，且，则。3定义为，再定义为，试问与是否可换（即）？并求，及。注：定义域空间中的范数为：；值域空间中的范数为：。解： 。取，则，因此与是不可换。（1），所以；又当时，故。综上所述，。（2），所以；又当时，故。综上

16、所述，。（3），所以；又当时，故。综上所述，。（4），所以；又当时，故。综上所述，。4设无穷矩阵满足：。定义为：对，其中。证明：。证明：。所以。另一方面，对任意固定的，令，且。则，由的任意性，所以。综上所述，。5（Hilert-Schmidt）型积分算子）设，令为：。证明。（提示：利用Holder不等式。）证明：。所以。上述推导过程中，（1）利用了Holder不等式。6设，定义为：。证明：。证明：。所以。令一方面，令，则。因此；再令，又有。由此可知：。综上所述，。7证明上的非零线性泛函不是连续的等价于在中稠密。证明：必要性：不连续无界，且，使得。，令，则，且，由稠密性定义可知：在中稠密。充分性

17、：若连续是上的闭子空间。又因为在中稠密，所以。此与矛盾。故若不连续。第 八 节1设是非负整数，证明上次数不超过的多项式全体是的闭子空间。证明：容易验证按上的范数成为赋范空间，下面要证明它是闭的。令，则容易验证是的基，且。又因为有限维空间是闭集。所以是的闭子空间。2证明定理3（赋范空间是有限维的充要条件是：中的有界闭集都是紧集。）证明：不妨设，为它的基。构造为，这里由此可知与拓扑同构。又因为有界闭集都是紧集与是有限维是等价的，所以是有限维等价与中的有界闭集都是紧集。3设，与均是的非空子集，且其中一个是闭集，另一个是紧集，证明存在，使。特别当时，。证明：不妨设是闭集，是紧集。定义为，由于是连续映射

18、，且紧集的连续像是紧集，则必存在，使得。令，则是有界闭集，又因为是有限维的，所以是紧集。由的取法显然有。紧，使。第二章第一节4设赋范空间，证明：对于任何，恒有。证明：由49页的推论1可知：存在，使得，且。另一方面有，所以。5设是赋范空间中的子空间，。证明只要满足，则。证明：必要性。用反证法。设满足，但，由50页的推论2的结论可知，这与矛盾。所以只要这一条件成立，必可推出只要满足，则。充分性：同样用反证发。则由50页的推论2的结论可知：存在满足，且，显然这与矛盾。所以只要满足，则这一条件成立，必可推出。6设是赋范空间的非空集，。证明可用中元的有限线性组合逼近的充要条件是：只要满足，则。证明：该题

19、即要证明只要满足，则。必要性。设，则由习题5的结论可知：只要满足，则。而由的构造可知：。充分性：由以及习题5的结论直接可得。7设是赋范空间中有限个线性无关向量，证明存在使，。证明：以为例来说明。令，则它为中的子空间。因为线性无关，所以。由泛函延拓定理知：，使得，。再由的构造方法可知。同理可得：。8设是赋范空间，满足条件只要且，则，证明。证明：由习题4的结论可知：，又由于，所以。第四节3设按范数是Banach空间，且当时，对一切恒有。证明范数与范数等价。（提示：先证是闭算子，再用必图像定理知该算子有界，最后用逆算子定理得结论。）证明：令为。显然是线性双映射。设，且，。由（）的完备性可知，。且中的

20、收敛等价于一致收敛，所以。此外。再由，可得。所以是闭算子。根据闭图像定理，则是有界的。所以。又根据逆算子定理，也是有界的。所以。综上所述，与范数等价。4设均是Banach空间，若对于任意的，方程都有唯一的解。证明。证明：设，且，。由的连续性意知是连续的。由于是Banach空间，所以。由解的唯一性可知：。所以是闭算子。根据闭图像定理，则。5设是Banach空间，、均的闭子空间，且（即对于任意的，都有唯一的表示，其中，）。又设，。证明：的充要条件是且。（提示：对，其中，令，说明是Banach空间。）证明：首先说明是赋范空间。正定性和绝对齐性是显然的。下面证明满足三角不等式。设，则。由于，所以。由此

21、可知是赋范空间。下面再进一步说明它还是Banach空间。设是中的Cauchy列。则，当时，有。（）式。这表明和分别是和中的Cauchy列，又和是完备的，所以。令（）式中，则。这表明，所以是Banach空间。下面要说明的是范数与是等价的。令为。则是线性双映射。取，且，。显然有。，所以在有，则必有，而，所以。由此可知，是闭算子。根据闭图像定理可知有界。再根据逆算子定理也有界。由此可以容易推出与是等价的。最后我们来证明题目的结论。必要性：已知，由与等价，则。充分性：由且。第五节1设实数列对任何满足的实数列，都有。证明：。证明：令为，其中。则。由一致有界原理可知：（）式。此外。所以；另一方面取，则。由

22、此可知：由（）式可知：。2设实数列对任何满足的实数列，都有。证明：。证明：令为，其中。则。由一致有界原理可知（）式。此外，所以。另一方面，令，则。综上所述，。根据（）式有，即。第六节2设是赋范空间的子空间，。若。证明。证明：若，则由泛函延拓定理可知，存在，使得，。再由。已知是连续的，且，所以。此与矛盾，故。3设，且。证明：。证明：由泛函延拓定理可得：存在，使得，。由。又是连续的，所以。4定义算子为。证明，并求。证明：已知与是等距同构的，所以，使得。，式中为对序列的左移两步算子，即。所以。第七节3设，是的特征值，证明是的特征值，这里。证明：。依此类推，可得，所以是的特征值。7定义为，证明是紧线性

23、算子，且。（注：原题要证明，本人认为有误。）证明：令为。则是线性算子，且是有限秩算子，所以是紧线性算子。，所以。由于是Banach空间，所以。，所以是单映射，又是的真子空间。再由的任意性，。第三章第一节2设实数列满足，证明：。证明：设，。则，。由Schwarz不等式可得：。3设是内积空间中的点列，且对一切，。证明：。证明：必要性是显然的。下证充分性。（）式。由于当时，。所以由（）式可得：。4证明按范数不能成为内积空间，即该范数不能由内积导出。解：取，。则，。，。这表明不满足平行四边形法则，即该范数不能由内积导出。第二节2设是Hilbert空间的非空子集，。证明：已知，显然,所以。，有，而由构造

24、方法可知：。所以，。另一方面，。综上所述，有。由内积的连续性，很容易得到。3设是Hilbert空间的凸子集，是中的点列，且满足条件：。证明是中的收敛点列。（提示：仿定理3的证明。）证明：5设是Hilbert空间的子空间，证明。（提示：利用投影定理。）证明：由于。不妨设是闭集，否则用代替。由习题2的结论有，所以只要证明。设，则关于的投影为。由于，所以上式也可理解为关于的投影，又因为关于的投影也可写成：，而投影是唯一的，所以。这表明。综上所述，。6设是Hilbert空间的子空间，且对任何，在上的投影都存在，证明是的闭子空间。（提示：利用投影定理。）证明：实际上只要证明是闭集即可。设是中的收敛点列，且满足。由条件知：关于有唯一的分