§3 MMs排队模型--精选文档

1、§3 M/M/s排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/¥/¥ 或 M/M/1)到达间隔: 负指数(参数为:到达率)分布;服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布;服务台数: 1; 系统容量: 无限; 排队长度(客源): 无限;服务规则: FCFS.1. 队长的分布设 为系统平稳后队长的概率分布, 则由(1) , (累积服务率)(2) (无客的概率) (3) , (有客的概率)及,和, 并记(服务强度, 一般)可得, 故有 , 其中 .因此 ,.无客的概率: , 至少有一客的概率à服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率如单位时间,

2、,则,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的负指数分布, 即密度分布函数:分布函数: 于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间;(4) 在队列中顾客平均等待时间因为 逗留时间=等待时间+服务时间, 即故, 从而得另外还可得到(时间与空间关系):和这两个常称为Little公式.各公式可记忆如下:由和à服务效率,从逗留时间à等待时间队长à排队队长或还可导出关系和3. 服务机构的忙期和闲期分析(1) 因为忙期=至少一客

3、的概率, 闲期=无客的概率à忙期时间长度/闲期时间长度=(2) 因为忙闲交替,次数平均à平均忙期时间长度/平均闲期时间长度=à.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性à任闲时刻起,下一客到达间隔仍为负指数分布à平均闲期=下一客到达间隔àà平均忙期=即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1 一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间 间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 已知编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求(

4、1) 在平稳状态下系统中列车的平均数; (2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 ,(1) 列车的平均数(小时)(2) 列车的平均逗留时间(小时)(3) 等待编组的列车平均数(列)(4) 等待编组时间 (小时)(5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为,则(小时)故每天列车由于等待而支出的平均费用(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson流, 平均4人/h; 修理时间服从负指数分布, 平均需要6 min.

5、试求:(1) 修理店空闲的概率;(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;(8) 顾客在店内等待时间超过10min的概率.解这里 ,(1) 修理店空闲的概率(2) 店内恰有3个顾客的概率(3) 店内至少有1个顾客的概率(4) 在店内的平均顾客数(人)(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间(6) 等待服务的平均顾客数(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间(8) 顾客在店内等待时间超过10min的概率.二、多服务台模型(即M/M/s/¥/

6、¥ 或 M/M/s)到达间隔: 负指数(参数为:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布;服务台数: s; 系统容量: 无限; 排队长度(客源): 无限;服务规则: FCFS.数据分析设 为系统平稳后队长的概率分布, 则和系统的服务率记, 则当时, 不至越排越长,称为系统的服务强度或服务机构的平均利用率.由前面的(1),(2)和(3)公式得故其中.当时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为称为Erlang等待公式.(1) 平均排队长或.(2) 正在接受服务的顾客的平均数à与无关. 奇!(3) 平均队长平均排队长+平均接受服务的顾客数.对多台服务系统, 仍有L

7、ittle公式:, 例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/模型, 有, 由前面的公式, 结果列表如下指标 模型s=1s=2空闲的概率p00.33305有1个病人的概率p1有2个病人的概率p20.2220.1480.3330.111平均病人数L平均等待病人数Lq21.3330.750.083病人平均逗留时间W病人平均等待时间Wq10.6670.3750.042病

8、人需要等待的概率PTq>00.667(=1-p0)0.167(=1-p0 -p1)等待时间超过0.5小时的概率PTq>0.5等待时间超过1小时的概率PTq>10.4040.2450.0220.003如果是一个医生值班, 则病人等待时间明显长.结论是两个医生较合适.例4 某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过程,平均到达率每分钟人/min. 服务(售票)时间服从负指数分布, 平均服务率人/min. 现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型, 其中由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率(2) 平均排队长(人)平均队长: (人)(3) 平均等待时间(min

9、)平均逗留时间(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率.在上例中, 若顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 则M/M/3/à3个M/M/1/如下图所示(b).每个队的平均到达率为(人/分钟)结果比较如下指标 模型M/M/3M/M/1服务台空闲的概率P00.07480.25(每个子系统)顾客必须等待的概率P(n³3)=0.570.75平均排队长Lq1.702.25(每个子系统)平均队长 L3.959.00(整个系统)平均逗留时间 W4.39(分钟)10(分钟)平均等待时间 Wq1.89(分钟)7.5(分钟)单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网

10、上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比较完善的调车作业的车站。 其主要任务是根据列车编组计划的要求，大量办理货物列车的解体和编组作业。对货物列车中的车辆进行技术检修和货运检查整理工作，并且按照运行图规定的时刻，正点接发列车。所以，人们往往称编组站为编组列车的工厂。 编组站的主要任务和作用可以归纳为： 解编各种类型的货物列车.作业:5.1 某店令有一个修理工人, 顾客到达过程为Poisson流, 平均3人/h, 修理时间服从负指数分布, 平均需10min. 求(1) 店内空闲的概率;(2) 有4个顾客的概率;(3) 至少有1个顾客的概率;(4) 店内顾客的平均数;(5) 等待服务的顾客的平均数;(6) 平均等待修理时间;(7) 一个顾客在店内逗留时间超过15min的概率.5.2 设有一单人打字室, 顾客的到达为Poisson流, 平均到达时间间隔为20min, 打字时间服从负指数分布, 平均为15min. 求(1) 顾客来打字不必等待的概率;(2) 打字室内顾客的平均数;(3) 顾客在打字室内的平均逗留时间;(4) 若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h, 则主人将考虑增加设备及打字员. 问顾客的平均到达率为多少时, 主人才会考虑这样做?5.3* 汽