巧用定义解决双曲线常见问题

1、学习好资料欢迎下载巧用定义解决双曲线的常见问题现行高中数学（北师大版）选修 2-1第三章，介绍了双曲线的定义、标准方程既简单的 几何性质。学生们学习虽然感到以上只是简单也比较好掌握。但涉及解决与双曲线有关的问题时，老师存在一些不得心应手的感觉。在教学中，本人通过对教材的分析和学生学习情况调查认为，深入理解双曲线的定义。灵活运用双曲线的定义就可以解决双曲线常见的问题。一、巧用定义解决求值问题2 2例1、 双曲线- y 1上一点P与左右焦点ff2构成=f1pf2，求.f1pf2的内切 94圆与边F1F2的切点N的坐标。分析：设点 P在已知双曲线的右支上，要求点N的坐标。即求 ON的长度，而ON =

2、 OF? - OR ,其中OF2 = c=j13 ,只需求NF?的长度，即NF?是圆O M的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。解：设点P在已知双曲线的右支上，由题意得NF2PF2 F1F2 - PR2PF2 - PF -2aNF2- 2a 2c2又.c= 13NF2-3，又 OF?=，二 ON = OF? NF? =713 (*13 3)当点P在已知双曲线的右支上时，切点N为顶点（3,0），当点P在已知双曲线的左支上时，切点N为顶点（-3,0）2 2X V例2、 已知F1> F2是双曲线1的左右焦点， A为双曲线的左顶点，P在双曲916线的左支上， PF2F : , PF1

3、F :，求tan cot?的值分析：如右图，先做出PF1F2的内切圆O M，则O M切F1F2于点A , MA等于内aP切圆的半径。且 MF2R , MF1A -22解：做出 PF1F2的内切圆OM，则O M切F1F2于点A ,aPMF2F1, MF1A -22ta二址丄2 AF2 a + c 8co/Wr2 AM r raPtan cot 222 22XVX例3、 设FF2是曲线C1:1的焦点，P为曲线C2:y2=1与C1的一个623交点，则PFl PF2的值PFi|PF2分析：利用双曲线及椭圆的定义找出PFl、P耳之间的关系。解析：设PF1 =m， PF2 = n，不妨设m > n，

4、显然椭圆和双曲线共焦点 (=2,0)，由椭圆和双曲线的定义可知m n =2.6且m - n 2,3.m. 6.3， n = 6-3在三角形PF1F2中，由余弦定理可知c o s F1PF2PF12+PF22F1F22 m2 十 n2(2c)212PFPF22mn3PFi PF2PFPF2=cosF1PF2、利用定义解决离心率问题已知F2是双曲线2 2务_厶=1的左右焦点，过a bR作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于 M点，若MF2垂直于x轴，求双曲线的离心率解析：由题意的F1F2 =2c.兀2U3MF2=2c tan =c，MF1632cTt cos6c由定义知MF1 MF2c2 2例5、已

5、知双曲线 务-告=1的左右焦点分别为 Fj-c,。)F2(c,0)若双曲线上存在一a b点P使得PF1 =2PF2，求双曲线离心率的范围。解析：由双曲线的定义|PR PF2| =2a， PF1 =4a，在也PF1F2中，结合双曲线的图像 |PF+|PF2| 纠 RF2|，二 6a2c，即 1 兰 e 兰3一x2 y2例6、已知双曲线 2 =1的左右焦点分别为 fcQ) F2(c,0)，以F1F2为直径的a b圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个六边形,球双曲线的离心率。解析：设P为圆与双曲线在第二象限的交点，则FlPF 2， PFlF 3，在RtAFiPF?中，PF

6、? PFJJf= 2csin 2ccos c(、3 1) =2a33e = C - 一 3 1 a、紧扣定义求动点的轨迹2 2例7、 已知双曲线 笃一笃=1的左右焦点分别为 Fi、F?，P为双曲线上任意一点,a b.F1PF2的内角平分线I的垂线，设垂足为 M，求点M的轨迹。解析：如图延长 F2M交F1P于N由角平分线及垂直关系得PF2| =|PN，有0M是NF i1AF1F2N 的中位线，从而 OM|= = ?( PF1 PN ) = ?( PF1 PF2)= a，故OM =a为定值，即点M的轨迹是以坐标原点为圆心，a为半径的圆(去掉与x轴的交点)方程为 x2 +y2 =a2(x a)例8已

7、知A( -7,0)，B(7,0) , C(2,12),若双曲线两支分别过2 2 2 2例 9、已知O A : (x 5) y =49 , o B : (x - 5) y = 1 ,若O P 与O A 内切与O B 外切，求O P的圆心的轨迹方程。解析：O A : (x 5)2 y49，圆心 A(-5,0)，半径=7 ,O B : (x-5)2 y2 =1 圆心 B(5,0)，半径 a=1,由题意的 PA 二 r -1, PB = r 1。 PB|PA =(r 1) -(r -78，即P是以A、B为焦点的双曲线的左支。2 2 22a = 8 , a=4 , 2c =10 , c=5, - b =

8、c - a =4。2 2x y一P点的轨迹为1(x _ -4)169四、巧用定义解决特殊问题1、求最值2例10、已知F2是双曲线X2-'1的左右焦点，M(-6,6)是双曲线内部一点， P为3双曲线右支上一点，求 PM|的最小值解析：如图双曲线的定义 PF PF2| =2a=2，即PF=PF2 -2PM= PM| +|PF2卜2 纠MF2 -2 =肩-62)2+62 2 = 8当且仅当F2、P、M三点共线时“二”成立。2、求三角形的面积2 2例11、已知双曲线方程为笃-笃-1(a b 0),两焦点分别为 Fi，F2,设焦点三角形a b2 ePF1F2 中 F1PF2 -亠证明：S Fipf2 二 b cot。证明2 2 2叮(2。2=时2 =|PF +|PF2