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1、ch7-68 8.3 区间估计区间估计引例引例 已知 X N ( ,1), x1,x2,xn 是一组样本值 不同的样本值算得的 的估计值不同，因此除了给出未知参数的点估计外， 还希望根据所给的样本确定一个随机区间，使其包含参数真值的概率达到指定的要求. 的无偏、有效点估计为X随机变量常数ch7-69如引例中，若要找一个区间,使其包含 的真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )51,NX1,051NX取05. 0查表得96. 12/zch7-70这说明即称随机区间为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.95. 05196. 15196. 1XXP05. 096. 151XP5196. 1

2、,5196. 1XXch7-71 反复抽取容量为5 的样本, 都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数 的真值, 也可能不包含未知参数的真值, 包含真值的区间占95%.)5196. 1,5196. 1(XX5196. 1X5196. 1X1置信区间的意义置信区间的意义 的置信区间 的置信上限置信度 的置信下限ch7-72若测得 一组样本值, 它可能包含 的真值，也可能不包含 的真值)51,51(22zXzX当置信区间为时则得一区间(1.86 0.877, 1.86 + 0.877)反复抽样得到的区间中有95%包含 的真值.?2/z为什么要取86. 1x算得区间的长度为5122z 达到最短ch

3、7-7397. 3)13. 2(84. 13321zz92. 3)96. 1(96. 1221zz-2-1120.10.20.30.432z31z-2-1120.10.20.30.42z21z取 = 0.05ch7-74设 是一个待估计的参数, 是一给定的数, ( 0 50, 的置信区间的置信区间2121的置信区间为因此mSnSmn22212221)7(ch7-92令 Zi = Xi -Yi , i = 1,2, n, 可以将它们看成来自正态总体 Z N ( 1 2 , 12 + 22) 的样本仿单个正态总体公式(2) 的置信区间为21niiiZYXYXnSYXZ122)()(1,2221,(

4、4) 未知未知, 但但 n = m , 的置信区间的置信区间21nSntYXZ) 1()(2)8(ch7-93取枢轴量(5) 方差比方差比2221的置信区间的置信区间 ( 1 , 2 未知未知) 1, 1(/2221222122222121mnFSSSSF因此, 方差比2221的置信区间为) 1, 1(1,) 1, 1(121222122221mnFSSmnFSS)9(ch7-94取枢轴量),()()()(1)(122211221212212221121mnFYXnmYmXnFmjjniimjjnii(6) 方差比方差比2221的置信区间的置信区间 ( 1 , 2 已知已知)ch7-95因此,

5、 方差比2221的置信区间为),()()(,),()()(221122121122121mnFYXnmmnFYXnmmjjniimjjnii)10(ch7-96例例2 某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱. 现分别 从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个 相互独立的样本1321,XXX1721,YYY 与已知2222217 . 4,4 . 2,5 . 9,6 .10gsgsgygx假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布, 其均值分别为 1与 2(1) 若它们的方差相同,22221求均值差21的置信度为0.95 的置信区间;(2) 若不知它们的方差是否相同, 求它们的方差比 的置

6、信度为 0.95 的置信区间ch7-97) 2(2) 1() 1(11)()(222121mntmnSmSnmnYX解解查表得0484. 2)28(025. 0t21由公式(6) 的置信区间为)5545. 2,3545. 0(2) 1() 1(11)(22212mnSmSnmntYX(1) 取枢轴量ch7-98(2) 枢轴量为)16,12(/2221222122222121FSSSSF查表得16. 31)12,16(1)16,12(89. 2)16,12(025. 0975. 0025. 0FFF2221由公式(9)得方差比 的置信区间为)6136. 1,1767. 0() 1, 1(1,) 1, 1(1975. 02221025. 02221mnFSSmnFSSch7-99(三三) 单侧置信区间单侧置信区间定义定义 对于给定的 (0 50 ).) 1 , 0()1 ()(NpppXn(近似)222)1 ()(0zpppXn0)2()(222222XnpzXnpzn令222),2(),(22XnczXnbznach7-104aacbbpaacbbp24,242221所以参数 p 的置信区间为( p1, p2 )例如例如, 自一大批产品中抽取了100个样品, 其中有60个 一级品, 求这批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信区间.366 . 010