现代数值计算方法公式的总结

1、现代数值计算方法公式甫值法1. 拉格朗日（Lagrange ）插值法a）两点一次:?- ?(?=?冷+ 1? - ?3?)(?- ?)(? < ?< ?)?(? = ?- ?(? = ?(.?)(？.*-?3)(?_ ?)-?3)(?-?2)小b）三点二次:(?- ?)(x- ?) “(?3- ?)(?3 - ?2) 0+ (?- ?3)(?7 ?) ?+ (? - ?)(?- ?) ?2?(?(? = ? - ?(? = (?- ?)(?- ?)(? ?) (? < ?< ?)3!2. 牛顿（Newton ）插值a)n次牛顿法多项式：?(? = ?) + ?3,?(?

2、- ?3) + ? + ?,?,?(?- ?3) (? -? 1)?)(？?緘？ =?- ?鎖？=心久 小？站(？ (?3 < ?< ?(/什1丿！其中?和1(?= (?- ?3)(? ?) (?- ?1)?別阶差二阶差商三阶差商四阶差商商?)?3，?)?,?,?)?,?狗?,?,?,?,?3,?，?，? ? ? ? ? ? ?3 ?, ?，?1 4?- ?3?) - ?3)?，? = ?_?； 0?,?,? = ?，?- ?，?b）向前差分:?(?3 + ? = ?)+ ?私?？ + ? + ? 1)(?- 2 (?- ?+ 1) A ?(?3 + ?)= ?- 1)(：?+2)

3、!(?-?1?+i)(? (?<?<?.? ? ? ?池？? ?幻？?"? = ?7 ?-?"? ?- ?下减上C）向后差分:?(?+ ?) = ?+ ?+ ? +?+ )(?+ ?- ?1)?%?(?+ ?蛋)=严?+1)(;爲?"?？?+冷1)(? (?<?<?)? ? ? ? ?%? ?= ?- ? ?2?= ?- ? ?上减下3. 三次埃米尔特（Hermite ）插值?'?4?= ?：?+ ?+ ?4?+ ?怒?？?- ?2?- ?(? = (?+?)(?)?F? ?3? ?- ?需?詆？=?- ?3?？?- ?'?

4、- ?詆？= (?- ?引(?-?«?= (?- ?(?(? = (?+?- ? ? ? ? ? ?7? ? ?7 9:?(?- ? ?豹？? (? < ?< ?)拟合曲线（最小二乘）©(x) = a0 + a1x + a2?'2? ?S(a0,a1 ,a2) = E ©(? - ?2 =刀(a0 + a1?+ a2?j) - ?2?= i?= i?=0?0?=0?1?=0?2三、数值积分1. 牛顿-柯特思（Newton-Cotes ）公式梯形求积公式（2节点）RT1(?-?-(?- ?312?(?复化梯形求积公式? 1+ 2 刀？+ ?三?

5、1?2 ? ， 2 2 RT? = - ?( ? = ?)-2【？?辛普生求积公式（3节点）?_ ?+ ?I S1 =?+ 4?()+?6 2RS1=80?4)(? 12 刀? + ? 1复化辛普生求积公式? ? 1I -? + 4 刀？?/) +6?升2?=0?- ? 4 丄4)4R?=-? ?丿(？ = ?)2880 ' ' ( ' ) 丿2. 高斯(Gauss )公式高斯-勒让德求积公式1. 先用勒让德公式求解Xi;?1 ； 2;怒；=方?;(;? - 1);2 ；2. 利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将Xi带入求Ai?3. 将xi、Ai带入公式求取积分

6、、并计算误差。1/ ?刀？?-1?= 0?紳=(2?；+；(?2?+)2；!3?尸 2)(?普通积分化标准形式:?= ？J 7?积分区间a,b变换?_ ?+ ?= ?_?f ?=_- f ? 2 -12 2?. ? 1?. ?+ ?+) ?22八3代数精度若求积公式对f(x)=1,x,x 2xm时精确成立，而对f(x)=x m+1时不成立，则称此求积公式具有m次代数精确度四、解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解？?= ?先将A分解为?= ?则原式变为？?= ?那么问题就变为了求解?= ?r ?= ?五、解线性代数方程的迭代法1. 范数向量范数定义：设？其中R为实数域、C为复数域，若某实值

7、函数N (x)三|x|满足条件1）非负性 |x| > 0 , |x|=0当且仅当x=0成立2）其次行 |?= I? ?3）三角不等式 x+y <x+ y称N （x）三x为？叭？?？?域上的一个向量范数常见范数：x= max ?OO1 <?c?xl =刀 ? 1?1凶|2=刀 I?2"22? 1矩阵范数定义：设？孑? 其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数N (A)三 |A|满足条件1）非负性 |A| > 0 , |A|=0当且仅当A=0成立2）其次行 |?=|? |?|3）三角不等式 |A+ B| < |A|+ |B|4）乘积性质|AB| < |

8、A|?|称N （A）三|A|为？并?域上的一个矩阵范数常见范数:?|A|= max 刀 |?（行范数）OO1吕空?？ "?*= 1?|A|1 =宾慾?刀|?加?（列范数）f ?2 1?|A|2 = S?,?为？?？勺最大按模特征值?|A|?=刀？钿2?字 12. 谱半径3. 雅可比迭代向量：用第i个方程解出xi的方程，分量通式如下:?刀？?;?)?*= 1?客？对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L,再减去上三角 矩阵U。?1) = ? + ?其中-1 - 1?= ? (?+ ?,?= ? ?4. 高斯-塞德尔迭代向量:用第i个方程解出xi的方程，并将上式得到的孑?？

9、1)带入下边的公式，分量通式如下：?2 ?7多.?3.? ? ?<?矩阵:对于Ax=b，先将A拆分成对角线矩阵D减去下三角矩阵L,再减去上三角 矩阵U。?*1)= ? + ?其中?=(?. ?-1?=(?. ?- 1?5. 松弛迭代雅可比松弛(JOR)：?1 = (?- ?1 ? ? + ?-?1 ?注：当0 < ?<岂时，收敛/ ?雅可比方法收敛时,< ?< 1收敛逐次超松弛(SOR)：?/(6-?3.9.?|(-? (?-?9-”一9.9.注：系数矩阵A对称正定，0 < ?< 2时收敛六、方程求根1. 大范围收敛定理a) (x)在a,b上连续；b) 当 x a,b时，(x)a,b；c) ' (x)存在，且对任意x a,b有M(x)| < L< 12. 牛顿迭代法?各1 :=仔?翔?(?牛顿下山法？孙1 =:?- ?m，其中?< 1? ?3. 割线法x?- ? ? 1?-?豹七、矩阵特征问题求解1.规范化乘幂法? = ?/max (?)(？+1)(? = ?'2.原点位移乘幂法取一个0,用B=A-I*