电磁场与电磁波课件之分离变量法

1、3.63.6 分分 离离 变变 量量 法法 基本思想基本思想: :方方 式：式：所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。 把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数。知函数仅是一个坐标变量的函数。 代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程。常微分方程。 分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中的待定常数，从而得到位

2、函数的解。的待定常数，从而得到位函数的解。应应 用：用：求解二维拉普拉斯方程的边界问题。求解二维拉普拉斯方程的边界问题。 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。中的分离变量法。1. 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 02222yx在直角坐标系中的展开式为在直角坐标系中的展开式为 )()() ,(yYxXyx令令代入上式，得代入上式，得 0)()()()(2222dyyYdxXdxxXdxY无源区中电位满足的拉普拉斯方程为无源区中电位满足的拉普拉斯方程为020)()(1)()(122

3、22dyyYdyYdxxXdxX两边再除以两边再除以 X(x)Y(y)，得，得 只与只与x x有有关关只与只与y y有有关关此常数写成此常数写成 。 式中式中 k 称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有不同的形式。不同的形式。0)()(222xXkdxxXd yYkdyyYd0)()(222由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方程又具有同一结构，因此它们解也

4、一定具有相同的形式。程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。要使上式成立，式中每一项都必须为常数。要使上式成立，式中每一项都必须为常数。2k 当当 k = 0 时，二常微分方程的解为时，二常微分方程的解为00)(BxAxX00)(DyCyY) 1 ()(),(0000DyCBxAyx 当当 k 0 时，二常微分方程的解为时，二常微分方程的解为kxBkxAxXcossin)(kyDkyCyYcoshsinh)()2()coshsinh)(cossin(),(kyDkyCkxBkxAyx双曲函双曲函数数含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的常微分方程的

5、解具有完全相同的形式。这些解的线性组合线性组合仍然是方程的解。仍然是方程的解。式中式中 A, B, C, D 为待定常数。为待定常数。为满足给定的边界条件，分离变量为满足给定的边界条件，分离变量k 通常取一系列特定的值通常取一系列特定的值 kn （n=1 1，2 2，）。 )3()coshsinh)(cossin()(),(10000nnnnnnnnnykDykCxkBxkADyCBxAyx位函数位函数 的通解为的通解为),(yx若令若令 代替代替2k2k，可得另一形式通解，可得另一形式通解)4()cossin)(coshsinh()(),(10000nnnnnnnnnykDykCxkBxkA

6、DyCBxAyx解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。 例例 横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 的金的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试求此导体槽内的电位分布。试求此导体槽内的电位分布。解解: : 导体槽在导体槽在 方向为无限长，槽内方向为无限长，槽内电位满足直角坐标系中的二维拉普拉电位满足直角坐

7、标系中的二维拉普拉斯方程。斯方程。z0U)0(0),0(byy0Ub)0(0),(byya)0(0)0,(axx)0(),(0axUbx02（导体槽内（导体槽内D D域）域）由于槽内电位由于槽内电位 和和 ，则其通解形式为，则其通解形式为0ax00 x)3()coshsinh)(cossin()(),(10000nnnnnnnnnykDykCxkBxkADyCBxAyx)0(0),0(byy代入上式，得代入上式，得1000)coshsinh()(0nnnnnnykDykCBDyCB为使上式对为使上式对 在在 内成立，则内成立，则yb0), 2 , 1 , 0(0nBn则则1000)coshsi

8、nh(sin)(),(nnnnnnnykDykCxkADyCxAyx)0(0),(byya代入上式，得代入上式，得1000)coshsinh(sin)(0nnnnnnnykDykCakADyCaA为使上式对为使上式对 在在 内成立，则内成立，则yb000A则则1000)coshsinh(sin)(),(nnnnnnnykDykCxkADyCxAyx代入上式，得代入上式，得1000)coshsinh(sin)(0nnnnnnnykDykCakADyCaA), 2 , 1(0sinnakAnn其中其中 不能为零，否则不能为零，否则 ，故有，故有nA00sinakn得得), 2 , 1(nankn1

9、)coshsinh(sinnnnnaynDaynCaxnA)0(0)0,(axx1sin0nnnaxnDA为使上式对为使上式对 在在 内成立，且内成立，且 则则xa0), 2 , 1(0nDn1sin0nnnaxnDA0nA则则1)coshsinh(sin),(nnnnaynDaynCaxnAyx1sinhsinnnnaynaxnCA1sinhsinnnaynaxnAnnnCAA )0(),(0axUbx代入上式，得代入上式，得10sinhsinnnabnaxnAU10sinhsinnnabnaxnAU为确定常数为确定常数 ，将，将 在区间在区间 上按上按 展开为傅里叶级数，展开为傅里叶级数，

10、即即nA0U),0(aaxnsin10sinnnaxnfUdxaxnUafansin200, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 140nnnUabnfAnnsinh, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 1sinh40nnabnnU, 3 , 10sinhsinsinh14),(naynaxnabnnUyx导体槽内电位函数为导体槽内电位函数为导体槽内电位分布情况为导体槽内电位分布情况为（D D域内）域内）022222yx例例一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为为 ，金属槽截面为正方形（边长为，金属槽截面为正方形

11、（边长为a a），试求金属槽内电），试求金属槽内电位的分布。位的分布。解：选定直角坐标系解：选定直角坐标系0)0 , 0(ayx0)0 , 0(axy0)0 ,(ayaxxaaxaysin100)0 ,(xasin100例例 由四块沿轴方向放置的金属板围成的矩形长槽，四条棱线处由四块沿轴方向放置的金属板围成的矩形长槽，四条棱线处有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。解解: : 设金属板沿设金属板沿 方向为无限长，槽方向为无限长，槽内空间的电位函数满足直角坐标系中内空间的电位函数满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。的二维拉普拉斯方

12、程。zz)0(0)0 ,(axx)0(0),(axbx)0(0),0(byxy)0(),(0byUya02（矩形槽内）（矩形槽内）yOx00U0 x0ab2. 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 011222令其解为令其解为 )()(),( R0dd1dddd22RR代入上式求得代入上式求得上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项与的函数，而第一项与 无关，因此二项均无关，因此二项均应为常数，令应为常数，令 具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。具有圆柱面边界的问题，可

13、采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。),(2222dd1ddddkRR0dd222k即即00)(BA 0k0dddd12RkrR式中式中k为分离常数为分离常数ln)(00DCR)ln)(),(0000DCBAkBkAsincos)(0kkkDCR)()(sincos(),(kkDCkBkA通常变量通常变量 的变化范围为的变化范围为 ，那么位函数随，那么位函数随 的变化一定是以的变化一定是以 2 2 为周期的周期函数。因此分离常数为周期的周期函数。因此分离常数 k 一定是整数，以保证函数的一定是整数，以保证函数的周期为周期为2 2 。即。即 且且 ，则通解为，则通解为20), 2 , 1 , 0(

14、nnk00B)( )sincos(ln),(100nnnnnnnDCnBnADCxyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：3. 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为0sin1sinsin112222222rrrrrr)()()(),(rRr令令0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理， 的解应为的解应为mBmAcossin)( 具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量

15、法求解。具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 ) 1(dddd12nnrRrrR0) 1(dd2dd222RnnrRrrRr式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 1)(nnrDCrrR将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得0sinsin) 1(ddsindd2mnn令令 ，则上式变

16、为，则上式变为xcos01) 1(dd)1 (dd222xmnnxxx上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数 与与第二类连带勒让德函数第二类连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m n 。 )(Pxmn)(Qxmn 当当 n 是整数时，是整数时， 及及 为有限项多项式。因此，要求为有限项多项式。因此，要求 n 为整数。为整数。 )(Pxmn)(Qxmn 根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，时， 。因此，当场存在的区域包括因此，当场存在的区域包括 或或 时，时， ，此时只能取第一，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常令1x)(Qxmn01x)(cosP)(P)(mnmnx 那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合那么，电位微分方程的通解