第9讲 角-华东师大版七年级数学上册讲义（机构专用）

1、第9讲 角知识点整合1. 认识角 定义：角是由两条有公共端点的射线组成的图形； 角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形；射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。 角度：1周角=360° 1平角=180° 1°=60 1=602. 角的比较和运算角的大小比较方法：1，直接根据角度大小比较； 2，使两个角一条边重合，根据另一条边的位置比较；角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。3. 余角和补角 余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余

2、。 补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。重点讲解重点1：认识角 下列关于角的说法正确的个数是()角是由两条射线组成的图形；角的边越长，角越大；在角一边延长线上取一点D；角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形A1个 B2个 C3个 D4个解析：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，错误；角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，错误；角的边是射线，不能延长，错误；角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确所以只有正确故选A.方法总结：本题主要是对角的定义的考查，正确理解角的定义是解题的关键：有公共端点的两条射线组成的

3、图形叫做角，需要熟练掌握 下列四个图形中，能用1、AOB、O三种方法表示同一个角的图形是() AB CD解析：在角的顶点处有多个角时，用一个字母表示这个角，这种方法是错误的所以A、C、D错误，故选B.方法总结：角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间重点2：角的比较和运算 如图，射线OC，OD分别在AOB的内部，外部，下列各式错误的是()AAOB<AOD BBOC<AOBCCOD<AOD DAOB<AOC解析：A.AOB与AOD的边OA重合

4、，OB在AOD内，所以AOB<AOD，A正确；同理B、C正确；D.AOB和AOC的边AO重合，OC在AOB内，所以AOB>AOC.D错误，故选D.方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法探究点二：角度的有关计算 如图，AOB120°，OD平分BOC，OE平分AOC.(1)求EOD的度数；(2)若BOC90°，求AOE的度数解析：(1)根据OD平分BOC，OE平分AOC可知DOEDOCEOC(BOCAOC)AOB，由此即可得出结论；(2)先根据BOC90°求出AOC的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论解：(1)AOB12

5、0°，OD平分BOC，OE平分AOC，EODDOCEOC(BOCAOC)AOB×120°60°；(2)AOB120°，BOC90°，AOC120°90°30°，OE平分AOC，AOEAOC×30°15°.方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则AOCDOB()A120° B180° C150° D135°解析：由图可得AOCDOBAOBCO

6、D90°90°180°.故选B.方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系重点3：余角和补角 如果与互为余角，则()A180° B180°C90° D90°解析：如果与互为余角，则90°.故选D.方法总结：正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键 已知A与B互余，且A的度数比B度数的3倍还多30°，求B的度数解析：根据A与B互余，得出AB90°，再由A的度数比B度数的3倍还多30°，从而得到A3B30°，再把两个算

7、式联立即可求出2的值解：A与B互余，AB90°，又A的度数比B度数的3倍还多30°，A3B30°，3B30°B90°，解得B15°.故B的度数为15°.方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决 如图，已知AOB在AOC内部，BOC90°，OM、ON分别是AOB，AOC的平分线，AOB与COM互补，求BON的度数解析：根据补角的性质，可得AOBCOM180°，根据角的和差，可得AOBBOM90°，根据角平分线的性质，可得BOMAOB，根据解方

8、程，可得AOB的度数，根据角的和差，可得答案解：由AOB与COM互补，得AOBCOM180°.由角的和差，得AOBBOMCOB180°，AOBBOM90°.由OM是AOB的平分线，得BOMAOB，即AOBAOB90°.解得AOB60°.由角的和差，得AOCBOCAOB90°60°150°.由ON平分AOC得AONAOC×150°75°.由角的和差，得BONAONAOB75°60°15°.方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，

9、角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合探究点二：方位角巩固练习1， 如图所示，在AOB的内部有3条射线，则图中角的个数为()A10 B15 C5 D20解析：可以根据图形依次数出组成角的个数；或者根据公式求图中角的个数是：×5×(51)10.故选A.方法总结：若从一点发出n条射线，则构成n(n1)个角2， (1)用度、分、秒表示48.26°；(2)用度表示37°2436.解析：(1)度、分、秒是常用的角的度量单位根据1度60分，即1°60，1分60秒，即160把大单位化成小单位乘以60即可；(2)根据度分

10、秒之间60进制的关系计算解：(1)48.26°48°0.26×6048°150.6×6048°1536；(2)根据1°60，160得36÷600.6，24.6÷600.41°，所以37°2436用度来表示为37.41°.3， 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C，D点落在D处若EFC119°，则BFC为()A58° B45° C60° D42°解析：将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C，D点落在D处，EFC119

11、6;，EFCEFC119°，EFB180°EFC61°，BFCEFCEFB119°61°58°，故选A.方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变4， 计算：(1)153°294226°4032；(2)110°3690°3728；(3)62°2417×4；(4)102°4321÷3.解析：(1)相同单位相加，超过60向上一位进1即可；(2)先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；(3)每一个

12、单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；(4)从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解解：(1)153°294226°4032179°6974180°1014；(2)110°3690°3728109°956090°372819°5832；(3)62°2417×4248°9668249°378；(4)102°4321÷3102°4281÷334°1427.方法总结：角度的运算规律为：(1)

13、加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；(3)除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入5， M地是海上观测站，从M地发现两艘船A、B的方位如图所示，下列说法中正确的是()A船A在M的南偏东30°方向B船A在M的南偏西30°方向C船B在M的北偏东40°方向D船B在M的北偏东50°方向解析：船A在M的南偏西90°30°60°方向，

14、故A、B选项错误；船B在M的北偏东90°50°40°方向，故C正确，D错误故选C.方法总结：用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西6， 如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A、B、C处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向(1)求BOC的度数；(2)求AOB的度数解析：(1)根据方向角的表示方法，可得EOB，EOC的度数，根据角的和差，可得答案；(2)根据方向角的

15、表示方法，可得EOB，EOA的度数，根据角的和差，可得答案解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得EOB76°，EOC45°.由角的和差，得BOCEOBEOC76°45°121°；(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得EOB76°，EOA44°.由角的和差，得AOBEOBEOA76°44°32°.方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算提升练习1.下列说法正确的是( )A两条射线组成的图形叫做角B有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形D角可以看成是由一条线段绕着它的端点旋转而成的图形答案：选c本题考查角2.下列说法正确的是( )A平角就是一条直线B周角就是一条射线C平角的两条边在同一条直线上D周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°。答案：C； 本题考查角3，钟表从1：15到1：45，时针转过了