概率论与数理统计论文之j

1、 概率论与数理统计论文之 关于随机变量数字特征的应用与意义的分析 【摘要】在这学期的的概率统计的知识的学习中，我们接触非常多的就是随机变量了，通过对随机变量的分布函数、概率密度和分布律的学习，我们已经能完整地随机变量。但是在某些实际或理论问题中，人们感兴趣与某些能描述随机变量某一种特征的常数，这些常数即我们即将要讨论的随机变量的数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。我们所要了解的几个重要的数字特征有：数学期望、方差、相关系数和矩，下面将结合理论与实例对其性质、应用和意义加以分析。【关键词】随机变量；离散型；连续型；期望；方差；协方差；相关系数；矩一.数学期望与方差1. 数学期望与方差的含义

2、数学期望简称期望，又称均值，,。 方差是实际值与期望值之差平方的期望值,求方差的通用公式，即D(X)=E(X2)-E(X)2 。2. 数学期望与方差的性质及应用 （1）设c是常数，则E(X)=C,D(c)=0;（2）设X是随机变量，c是常数，则E(CX)=CE(X),D(cX)=(c2)D(X)；（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y), D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y); (4)设X，Y是两个相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y), D(X+Y)=D(X)+D(Y)； （5）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取

3、常数值E(X)，即PX=c=1； （6）D（aX+bY）=a2DX+b2DY+2abEX-E(X)Y-E(Y)。 （7）对于二维随机变量，有，。例1经预测，国际市场每年对我国某种出口产品的需求量 （以吨计）在 上服从均匀分布，每出口一吨可获利3万元， 若积压一吨，则亏损2万元，现由某公司独家经营此出口业务，问该公司应储备多少吨该种产品，才能使所获利润的数学期望最大？解设该公司储备 吨该种产品，显然有 则该公司所获利润为 的概率密度为 于是    ， ，令 ，得 。故当 （吨）时，该公司所获利润的期望最大。 3. 几种重要分布的期望与方差 若X服从(01)分布，则E

4、(X)=p D(X)=p(1-p)； 若X服从泊松分布，即X (),则 E(X)= ，D(X)= ； 若X服从均匀分布，即XU(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12； 若X服从指数分布，即Xe(), E(X)= (-1)，D(X)= (-2)； 若X服从二项分布，即XB(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)； 若X 服从正态分布，即XN(，2), 则E(x)=， D(X)=2； 若X 服从标准正态分布，即XN(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1。 例2 设X服从泊松分布，且E(X2)=20，求随机变量X的期望。解：由泊松分布的性质知，E

5、(X)= ，D(X)= 又D(X)=E(X2)-E(X)2，即=20-2 所以 =4，即E(X)=4例3 设随机变量X和Y相互独立，且方差D(X)=2，D(Y)=1.5，求D(3X-2Y-1)解：由相互独立得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)， 则D(3X-2Y-1)=D(3X)+D(-2Y)+D(-1)=9×2+4×1.5+0=24.例4 按规定某车站每天8:00-9:00，9:00-10:00都恰有一辆客车到站，各车到站时刻是随机的，且各车到站的时间相互独立，其规律为:到站时刻8:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50概 率 现有一旅客8:20到站，试求他

6、候车时间的数学期望.解 设为旅客候车时间，则:10 30 50 70 90 .例5 已知某网站每天的登录人数服从参数为的泊松分布，而进入该网站的每个人打开某网页的概率为 ，试求访问该网页人数的分布律及其数学期望.解： 以表示登录网站的人数， 表示访问某网页的人数.依题意:由全概率公式得:可见仍服从泊松分布，参数为 ，因此其数学期望为 。4.切比雪夫不等式 对于任一随机变量X ,若E(X)与D(X)均存在，则对任意>0, 恒有P|X-E(X)D(X)/2或P|X-EX|<1-D(X)/2。 切比雪夫不等式说明，D(X)越小，则 P|X-EX|越小，P|X-EX|<越大， 也就是

7、说，随机变量X取值基本上集中在E(X)附近，这进一步说明了方差的意义。在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的几乎所有值都会接近平均。5.数学期望及方差的意义 数学期望的意义在于描述随机变量取值的平均特征。方差，通俗点讲，就是刻画随机变量与其数学期望的偏离程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小)， 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。通过学习期望与方差的知识，我们在实际生活中将会更加容易地去研究很多问题与现象，比如：一场篮球比赛的运动员的平均身高及高低的浮动情况；一个城市每个家庭拥有的汽车的平均数量；评价棉花质量要考虑其纤维长度与平均长度的偏

8、离程度，平均长度较大，偏离程度较小，质量就较好等等。二协方差及相关系数1.协方差及相关系数的定义 协方差，用于衡量两个变量的总体误差。期望值为E(X) = 与 E(Y) = 的两个实数随机变量X与Y，当X与Y不相互独立时，E(X-E(X)(Y-E(Y)称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X，Y)，即COV(X，Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)。 XY=COV(X，Y)/D(X)D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。若XY=0，则称X与Y不相关，即XY=0的充分必要条件是COV(X，Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。 2. 协方差及相关系数的性质及应用 (1)COV(X，X)=

9、D(X)，COV(Y，Y)=D(Y)，COV(X，Y)=COV(Y，X)； D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)，D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)， COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)（a，b是常数）； COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。 （3）设XY是随机变量X和Y的相关系数，则有 XY1； XY=1充分必要条件为存在常数a，b使PY=aX+b=1。 （4）相关系数可正可负，具有对称性，相关系数与原点和尺度无关。例6 设随机变量X与Y的方差分别为D(X)=25，D(Y)

10、=36，相关系数XY=0.4，试求D(X+Y)，D(X-Y)。解：因XY=COV(X，Y)/D(X)D(Y)=0.4×5×6=12， 则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X，Y)=25=36+2×12=85， D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X，Y)=25+36-2×12=37. 例7 已知随机变量和 服从正态分布 和 ，且 与 的相关系数 ，设 ， 试求 (1) ， ， ； (2) 与 是否相互独立?为什么?解 (1)由运算性质，有 ，故 ；3. 意义 从直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的方差，这与只表示一个变量误差的方

11、差不同。如果两个变量的变化趋势一致，那么两个变量之间的协方差就是正值；相反，则是负值。 相关系数的存在是为了描述这种同样的两个量因采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出的差异。三矩、协方差矩阵 1.含义与性质 设X和Y是随机变量，若E(Xk)，k=1，2，.存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。 若EX-E(X)k，k=1，2，.存在，则称它为X的k阶中心矩。 若E(XkYl)，k=1，2，.存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。 若EX-E(X)kY-E(Y)l，k、l=1，2，.存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。 显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差COV(X，Y)是X和Y的二阶混合中心矩。 2.意义及应用 协方差在农业上有所应用：农业科学实验中，经常会