概率统计和随机过程课件13事件的独立性

1、0,00,)(xxexfx其中0,则称X服从参数为的指数分布, X Exp().易知,其分布函数为)(xfx00,00,1)(xxexFx,0( )(0)0,0 xexXf xx0)()(xdxxfxF当x 0时,t0t0( )(t) tt|1xxxxF xfdedee 1,0( )0,0 xexF xx ( )()1( )(0).xS xP XxF xex 生存函数xxdexdxxedxxxfEX00)(000)(1|xdedxexexxx1|10 xexxdexdxexdxxfxEX020222)(20022.2|dxxeexxx22222112)(EXEXDXbabaxeedxebXaP

2、)(, 0003)(3xxexfx62332) 1 (edxeXpx363.531.533.5,1.5(2) 3.5|1.51.53xxedxP XXp XXeP Xedx指数分布的无后效性指数分布的无后效性定理定理：设X是连续型非负随机变量，则X服从指数分布P( X s+t | X s )=P( X t )的充分必要条件是对任何的s,t0,有无后效性是指数分布的特征.0,0;0,51)(5xxexfx510 52101(10).5tpP Xedtee. 5 , 1 , 0,)1 ()()(5225keeCkYPkkk)(tTPtF0)(tF)(tTPtF1tTP01tXPte1000)( )

3、(ttetFtft)()(exp)( xxxf22221 dteIt2,:222 dydxeIyx证 |0022002222rrredrerdrdeI则积分元为令作极坐标变换,sin,cos,rdrdryrx 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N212221)(xexx (x)0110)(limxxxdtexxt,)(22122221)(xexX bXaPxdxba )( abSS 因此对同一长度的区间因此对同一长度的区间, x0y-11)(xy 21若此区间越靠近点若此区间越靠近

4、点 x = 0, 则其则其 即即X 在该区间上取值的概率在该区间上取值的概率所以标准正态分布的分布规律是所以标准正态分布的分布规律是 “中间多中间多, 两头两头少少”.越大越大,对应的曲边梯形的面积越大对应的曲边梯形的面积越大, xtdxexEXx令令,)(2222dtdxtx ,则则 dtetEXt2221)( dtetde ttt2222212 xtdxexDXx令令,)()(22222dtdxtx ,则则 222222222tttdedtetDX 2222222 dtetett|(-x), )(1)(xx )0(,21)(22 xtdextx , 1)( x )0( 当当 时时,5 .

5、4 xx0y)(xy xS)(x 当当 时时,0 x则有则有5 . 0)(xy xx (x)(x)x0y. 0)( x (x) 的计算的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布分布函数表.(2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若若a 0, 则则 P(|X|a) = P( aX0可微，所以Y的密度是/211( )( )2 (),0.22yYYfyFyyeyyy对y0,分布函数1122 ( )( ) ( )( )p h yh yp h yh y 设 X N(0,1),求 Y= X2的密度函数.解：y=f(x)=x2,分段单调，( ),yy2在0, )中反

6、函数为x=h( ),yy 1在(- ,0)中反函数为x=h因此Y的密度函数为/2111( )()(),0.222yYfyyyeyyyy解：解： 25220200 )8 . 0( 200 XP)200(F )8 . 0(1 788. 01 ,212. 0 )(2AP 240200 XP 2522020025220240 )8 . 0()8 . 0( 1) 8 . 0 (2 ,576. 0 )200()240(FF 240200 X20220 X即即8025220.X 即即设设 B = “电子元件损坏电子元件损坏”, Ai = “三种电压三种电压” ( i=1,2,3 ) )(1AP且且或或:则则

7、 A1 , A2 , A3 是一完备事件组是一完备事件组,576. 0)(,212. 0)(21 APAP解：解： )(3AP 240 XP 2401 XP 252202401 ,212. 0 )(BP 31)()(iiiABPAP20212000105760102120. ,0642. 0 )(2BAP )()()(22BPABPAP0642. 0001. 0576. 0 .009. 0 )240(1F (1)(2)788. 01 8 . 01 0)(00)(1xexrxxfrxrrdxexrxr01)(。(函数)rEX 22)1(rrEX2222)(rEXEXDX0)(2100)(22212xexxxfxnnn221221)()(21)(xexxxxxfX02100)(221212xexxxfxX)(21注：00021)(222)(lnxxexxfx) 1(,22222eeDXeEXxxFxxf)()2(1)()1( 1 1、 一种电子元件的使用寿命一种电子元件的使用寿命X X（单位：小时）（单位：小时）服从参数为服从参数为1/101/10的指数分布，求其中一个的使用的指数分布，求其中一个的使用寿命在寿命在1010到到2020小时的概率小时的概率。P83 67例例 设设则则2221exp()22exp().22kk