离散型随机变量及其分布律

1、一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布三三、小结小结2.1 2.1 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律(2)(2)定义定义1 1 若随机变量若随机变量 X X 的全部可能取值是有限个或的全部可能取值是有限个或可列无限多个可列无限多个, ,则称这种随机变量为离散型随机则称这种随机变量为离散型随机变量。变量。一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律., 2 , 1,), 2 , 1(的的分分布布律律量量称称此此式式为为离离散散型型随随机机变变为为的的概概率率即即事事件件取取各各个个可可能能值值的的概

2、概率率所所有有可可能能取取的的值值为为设设离离散散型型随随机机变变量量XkpxXPxXXkxXkkkk 定义定义2离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或其中其中 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数分布律分布律kkxXPp 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数离散型随机变量分布函数离散型随机变量分布函数演示演示离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系. )()( xxxxkkkkxXPpxXPxF例例

3、 1 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x0)(0)( PxXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为2.两点分布两点分布1.退化分布退化分布若随机变量若随

4、机变量X取常数值取常数值C的概率为的概率为1,即即1 )(CXP则称则称X服从退化分布服从退化分布.实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (0-1) 分布分布., 1)(eXX , 0,正正面面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为则称则称 X 服从服从 (0-1) 分布分布或或两点分布两点分布.记为记为Xb(1,p)Xkp0p 11p 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男

5、还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明3.均匀分布均匀分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,Xkp161234566161616161则有则有 ., )(),(服从均匀分布服从均匀分布则称则称其中其中Xjiaaji Xkpnaaa21nnn111均匀分布随机数均匀分布随机数演示演示4.二项分布二项分布若若X的分布律为：的分布律为：则则nkqpCkXPknkkn0,1,2, 称随机变量称随机变量X X服从参数为服从参数为n,pn,

6、p的二项分布。的二项分布。记为记为 ),(pnBX, ,其中其中q q1 1p p二项分布二项分布1 n两点分布两点分布二项分布的图形二项分布的图形图形演示图形演示例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 B (5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345二项分布随机数二项分布随机数演示演示

7、4. 泊松分布泊松分布 ).(,!,PXX.kkekXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取0210210 泊松资料泊松资料图形演示图形演示泊松分布的图形泊松分布的图形泊松分布随机数泊松分布随机数演示演示泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察( (每次时间为每

8、次时间为7.5 7.5 秒秒) )发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子其放射的粒子数数X X 服从泊松分布服从泊松分布. . 地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水 呼唤次数呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、

9、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.泊松定理泊松定理 ekkXPknpppCkXPpnBXknnnknnknknn!lim,lim)(),(有有则则对对任任意意非非负负整整数数且且满满足足设设01证明证明)(),(111111onnponnpnn 由由knnknppknknkXP )()()!( !1knknononnknkn )()()!( !1111kknk

10、nonnknnnnonko)()()()(!)(1111111 knknnknonnonko)()()()(!)(1111111111 ekkXPnkn!lim,时时当当二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为9991000999900001011000999901. .0047. 0! 11 . 0!011 . 01 .

11、 0 ee解解2 XP1012 XPXPXP),.,(000101000BX例例2 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?6. 几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从几何分布服从几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽

12、样检查放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品那么所抽到的产品数目数目 X 是一个随机变量是一个随机变量 , 求求X 的分布律的分布律., 1, qpXkpk21pqppqk 1 几何分布随机数几何分布随机数演示演示图形演示图形演示)(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ), 2 , 1( k所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首

13、次成功”的概率模型的概率模型.解解., 3, 2, 1所所取取的的可可能能值值是是X,个个产产品品是是正正品品抽抽到到的的第第表表示示设设iAi7.超几何分布超几何分布设设X的分布律为的分布律为),min, 2 , 1 , 0(nMmCCCmXPnNmnMNmM .,服从超几何分布服从超几何分布则称则称这里这里XNMMmNn 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到到.说明说明图形演示图形演示离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.

14、p,n 两点分布两点分布1 n三、小结三、小结超几何分布超几何分布退化分布退化分布几种分布比较演示几种分布比较演示).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(. 2泊泊松松分分布布之之间间的的关关系系分分布布二二项项分分布布与与、 )., 2 , 1 ,

15、0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 例例 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次品的产品中一件、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时, 所面对的各件所面对的各件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下, 分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品这批产

16、品中去在取下一件产品;(2)每每次取出的产品都不放回这批产品中次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中品放回这批产品中.备份题备份题,13101 XP,13101332 XP,131013332 XP13101331 k故故 X 的分布律为的分布律为Xpk32113101310133 13101332 解解,(1) X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3,13101331 kkXP., (2) 若每次取出的产品都不放回这批产品中时若每次取出的产品都不放回这批产品中时,13101 XP,12101332 XP,11

17、101221333 XP,10101111221334 XPXp故故 X 的分布律为的分布律为432113101210133 1110122133 111122133 X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3. 4 (3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中产品中.,13101 XP,12111332 XPXP,13131311321334 XP故故 X 的分布律为的分布律为Xp432113101311133 1312132133 131132133 X 所取的可能值是所取的可能值是, 1, 2, 3. 4例

18、例 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人 (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设

19、需配备 N设设备备记记同同一一时时刻刻发发生生故故障障的的,X台台数数为为).,(,010300BX那那末末所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理得由泊松定理得,!303 NkkkeNXP故有故有,99. 0!303 Nkkke即即 Nkkke03!31 13!3Nkkke,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8.99. 0 NXP例例6 (人寿保险

20、问题人寿保险问题)在保险公司里在保险公司里 有有2500个同年个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里在每一年里每个人死亡的概率为每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日付日付12元保险费元保险费,而在死亡时而在死亡时,家属可在公司里家属可在公司里领取领取200元元.问问 (1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 保险公司在保险公司在1月月1日的收入是日的收入是 2500 12=30000元元解解 设设X表示这一年内的死亡

21、人数表示这一年内的死亡人数,则则)002. 0 ,2500( BX保险公司这一年里付出保险公司这一年里付出200X元元.假定假定 200X 30000,即即X 15人时公司亏本人时公司亏本.于是于是,P公司亏本公司亏本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得由泊松定理得, 5002. 02500P公司亏本公司亏本0002. 0!511405kkke(2) 获利不少于一万元获利不少于一万元,即即 30000 -200X 10000即即X 10P获利不少于一万元获利不少于一万元=PX 109864. 0!51005kkke?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的