河南省三门峡市陕县第一高级中学高三数学文上学期摸底试题含解析

河南省三门峡市陕县第一高级中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点（﹣2，4）且在两坐标轴上截距相等的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条参考答案：B【考点】直线的截距式方程．【专题】分类讨论；方程思想；直线与圆．【分析】对直线截距分类讨论即可得出．【解答】解：当直线经过原点时，满足条件，其方程为：y=﹣2x．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为：x+y=a，代入点（﹣2，4）可得a=2，此时直线方程为x+y=2．综上可得：满足条件的直线有两条．故选：B．【点评】本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，若双曲线C上存在一点P，使得△PF1F2为等腰三角形，且cos∠F1PF2=，则双曲线C的离心率为(

) A． B． C．2 D．3参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的定义和等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到解答： 解：由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a，由△PF1F2为等腰三角形，则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|，即有|PF2|=2c﹣2a或|PF1|=2c﹣2a，即有cos∠F1PF2==∴e==2．故选：C．点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【

】.A.

B.

C.

D.参考答案：B易知=2c，所以由双曲线的定义知：，因为到直线的距离等于双曲线的实轴长,所以，即，两边同除以，得。4.若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）A．﹣2 B． C．1 D．2参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值．【解答】解：曲线y=的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得，并且t=，t=alns，即，解得lns=，解得s2=e．可得a=1．故选：C．5.是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(

)A．

B．

C

D．参考答案：D6.如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：—=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为

（

▲

）A．

B．5

C．

D．参考答案：A7.设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]参考答案：D【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．【解答】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}故选D．8.已知P是棱长为1的正方体的表面上的动点，且，则动点P的轨迹长度是

（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略9.某地2002年人均GDP(国内生产总值)为8000元,预计以后年增长率为10%,使该地区人均GDP超过16000元，至少要经过（）(A)4年(B)5年(C)8年(D)10年参考答案：A10.已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6参考答案：C【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】先求导数，然后分析发现导数是由一个奇函数和常数的和，然后利用函数的奇偶性容易解决问题．【解答】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C．【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将参数方程（为参数,）化成普通方程为

______．参考答案：略12.已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为

。参考答案：4略13.已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m的夹角为锐角，则m的取值范围为

．参考答案：m＞﹣且m≠0考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量与+m的夹角为锐角，列出不等式组，求出解集即可．解答： 解：∵=（1，2），=（1，1），∴+m=（1+m，2+m），又∵向量与+m的夹角为锐角，∴，即；解得m＞﹣且m≠0；∴m的取值范围是m＞﹣且m≠0．故答案为：m＞﹣且m≠0．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积进行分析判断，以便得出正确的结论，是基础题．14.函数在定义域内的零点的个数为

参考答案：2个15.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为___________.参考答案：

【知识点】由三视图求面积、体积G2由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故相当于棱长分别为，，2的长方体的外接球，故满足，所以，几何体的外接球的体积为，故答案为：．【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入体积公式，可得答案．16.已知△ABC三个顶点所表示的复数分别是1+3i,3+2i，4+4i,则△ABC的面积是_____________参考答案：317.已知数列{an}的首项为3，等比数列{bn}满足，且，则的值为

．参考答案：3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（Ⅱ）解法一：当a=4时，所以在点P处的切线方程为…若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）=0，…要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…∴，即．…②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…∴．…所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…下面加以证明：当时，…①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…19.（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通：基本畅通：轻度拥堵：中度拥堵：严重拥堵.在晚高峰时段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：（1）在这个路段中,轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这个路段中随机抽出个路段,用表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求的分布列及数学期望.参考答案：（1）9,（2）试题分析：（1）频率分布直方图中小长方形面积表示对应区间的概率，因此轻度拥堵的路段频率为，个数（频数）为，同理可得中度拥堵的路段个数是.（2）先确定随机变量取法，再利用组合数分别求各自概率，列表可得分布列，最后利用公式求数学期望考点：频率分布直方图，概率分布及数学期望

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20.设函数与的定义域是且,是偶函数,是奇函数,且（1）求和的解析式.（2）求的值参考答案：(1)∵

①

∴

1分∵是偶函数，是奇函数∴②

3分①②相加得，5分

进而

6分（2）∵

∴

9分

∴

10分∴

12分21.已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式．参考答案：解：法1设f(x)=ax2+bx+c，a=,b=,c=-1法2设f(x)=a(x+