2018版高中数学第三章空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示学案新人教A版

1、3.1.5空间向量运算的坐标表示【学习目标】1.理解空间向量坐标的概念， 会确定一些简单几何体的顶点坐标 .2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题ET问题导学 知识点一空间向量的坐标运算思考 设 m= (xi, yi) , n=(x2, y2),那么 m n, m- n,入 m m- n 如何运算？答案n = (xi + x2, yi + y2), m- n=(X1-X2, yi-y2),入 m=(入 xi,入 yi), m- n = xiX2 +yiy2.梳理 空间向量a, b,其坐标形

2、式为 a=(ai, a2, a3), b=(bi, E, b).向量运算向里表小坐标表小加法a+ b(ai+bi, a2+b2, a3+b3)减法a b(aibi, a2b2, a3b3)数乘入a(入 ai,入 a2,入 a?)数量积a baibi+ a2b2+a3b3知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a=(ai, a2, a3), b=(bi, b2, b3),则21题型探究名称满足条件向里表小形式坐标表小形式a / ba=入 b(入 R)ai =入 bi, a2 =入 b2, a3 =入 b3(入 e R)a±ba , b= 0aibi+ a2b2 +a3b3 = 0模

3、|a| =7a_a.i 2 .2 ,"2| a| =ai + a2+ a3夹角a - bai bi + a2b2 + a3 b3cos a b)一|a| b|cos a,b/J 222 1.2 .2 .2V ai + a2+ aR bi + b2+ b3类型一空间向量的坐标运算例 i 已知 a=(i , -2, i) , a-b=(-i, 2, - i),则 b 等于(A.(2 , -4, 2)B.( 2, 4, 2)C.( -2, 0, 2)D.(2 ,1,-3)答案 A解析 依题意，得 b= a ( 1, 2, - 1) = a+ (1 , 2, 1) = 2(1 , 2, 1)

4、=(2, 4, 2).反思与感悟关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标跟踪训练1 若向量a= (1 , 1,x),b= (1 ,2,1) ,c=(1 , 1, 1),且满足条件(ca) (2b)=一2,贝U x=.答案 2解析据题意，有 c-a=(0 , 0, 1x), 2b= (2, 4, 2),故(ca) - 2 b= 2(1 x) = 2,解得 x = 2.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例 2 已知空间三点 N2, 0

5、, 2) , B( 1, 1, 2) , Q 3, 0, 4),设 a = A目 b=XC若| c| =3, c/的求c;(2)若ka + b与ka2b互相垂直，求 k.解(1)因为 B> ( -2, - 1, 2),且 c/ BC所以设c=入BC= (2入，一入，2入)，得 | c| = y(-2 入 2+(-入 2+(2 入 2 = 3| X | =3,解得 入=±1.即 c=(-2, 1, 2)或 c = (2, 1, -2).(2)因为 a=AB= (1 ,1,0), b = XC= ( -1, 0, 2),所以 ka+b = (k1, k, 2) , ka 2b=(k

6、+2, k, - 4).又因为(ka+b) ±( ka 2b),所以(ka+b) ( ka2b) = 0.即(k1, k, 2) ( k+2, k, -4) =2k2 + k-10=0.解得k=2或k=-5.引申探究若将本例(2)中改为“若ka b与ka+2b互相垂直”，求 k的值.解 由题意知 ka-b = (k+1, k, 2), ka+2b=(k-2, k, 4),.(ka-b)±(ka+2b),(ka-b) (ka+ 2b) = 0,一25即(k+1)( k2) + k 8=0,解得 k= 2或 k=2,一， ，,5故所求k的值为2或/.反思与感悟(1)平行与垂直的

7、判断应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用适当引入参数(比如向量a, b平行，可设a=Xb),建立关于参数的方程.选择坐标形式，以达到简化运算的目的.跟踪训练2 在正方体 AC中，已知E、F、G H分别是CC、BC CDB AC的中点.证明：(1) AB/ GE ABLEH(2) AG，平面 EFD证明 如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1,则A(0, 0, 0), R1 , 0, 0), Q1 , 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0

8、, 0, 1), B1(1 , 0, 1), G(1 , 1, 1), D(0, 1, 1),由 中点性质得 e1, 1, 1 I； FH, 2, 0 ；, G, 1, 0 I； H2, 2, 1j AB=(1 , 0, 1), Ge= g 0, 2EH= 1 2, 2, 1 i1 . AB=2GE AB - EH= 1X I-1 ,!+0+1x 1=0, ,222 .AB/ GE ABIEH. IP AB/ GE ABXEH(2) Afe= ¥，1, - 1 I； Df=2, 0 I-DE=0, 2 ；,- AG- Df= 2 1+0=0, AG- DE= 2 + 0-2=0,.

9、AG! DF, AG! DE又 DFA DE= D, AG,平面 EFD类型三空间向量的夹角与长度的计算例3 棱长为1的正方体 ABCDABGD中，E, F, G分别是DD, BD BB的中点.求证：EF± CF;(2)求EFWCG刑或角的余弦值；求CE的长.Dxyz,则 口0 , 0, 0) , E0, 0, 2Q0 , 1, 0),(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系所以EF= g，2, -2j CF= g，0> CG= ，0，2j，CE=(0， 1, 2j 因为 EF. CF= 2*2 + 2* 2 ,2 !：x 0=0，所以揖乐 即 EF所以 cos <EF,

10、CG =生应=1=里.|EF|CG 亚x亚 15 CF“i d a 11111(2)解 因为 EF- C&-X1 + 2X0+ ( -2) ><2=4,求四棱锥P ABCD勺体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的余弦值 解(1)二.四边形ABCD1边长为2的菱形，且/ DAB= 60。， .OA= OG= & BO= OD= 1, S菱形abca；X2X2#=2*.在 RtAPOB, / PBO= 60 ,1Vp1 ABCD= S 菱形 ABCD3 -P0= OB- tan 60= J3.1 一 一一PO=-X 2 3j3X 43= 2. 3(

11、2)如图，以0为原点,OB OC OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1, 0, 0),Q0,小,0),D(-1, 0, 0),A(0,一m,0),P(0, 0,73).,度 0, 1")'0, - 73,一呵.D0,* j PA=(- De- PA= 0+ 0+ 乎x ( V3) 1丽=嫄，1南=m.3> >一二厂二3DE- PA 2 山 cos DE PQ =-(=t= 一 .ideipA v3xV64异面直线所成的角为锐角或直角，异面直线DE与PA所成角的余弦值为；当堂训练1 .已知向量 a=(3 , 2, 1) , b=( 2, 4, 0)

12、,则 4a+2b 等于()A.(16 , 0, 4)B.(8 , 16, 4)C.(8 , 16, 4)D.(8 , 0, 4)答案 D解析4a+2b=4(3, 2, 1)+2(2, 4, 0) = (12, 8, 4) + ( 4, 8, 0)=(8, 0, 4).2 .若 a=(2, 3, 1), b=(2, 0, 3), c=(0, 2, 2),则 a(b+c)的值为()A.4 B.15 C.3 D.7答案 C解析 . b+c=(2, 2, 5) , a ( b+c) =4-6+ 5= 3.3 .已知a=(2, 3, 1),则下列向量中与 a平行的是()A.(1 ,1,1)B.( -4,

13、 6, 2)C.(2 , - 3, 5)D.( -2, - 3, 5)答案 B解析 若 b = ( 4, 6, 2),则 b=- 2(2 , 3, 1) = 2a,所以 a/ b.4 .已知向量a=(1 , 1, 0) , b=( 1, 0, 2),且ka+ b与2a-b互相垂直，贝U k的值是(A.1 B.-C.-D.答案 D解析依题意得(ka+b) (2 a-b) =0,所以 2k| a|2- ka b+ 2a b- | b| 2= 0,而| a| 2= 2, | b| 2= 5, a - b= - 1,所以 4k+k25=0,解得 k=7.5 .已知 A(2 , 5, 1), B(2 ,

14、 2, 4), C(1 , 4, 1),则向量 AEBfAC勺夹角为 解析-.AE (0, 3, 3), AC> ( 1, 1, 0),.|丽=3隹|丽=隹ABB- AC= 0X( 1) +3X1+ 3X0= 3,.cos < AEB Ab12'AB Ac I ABI AC又 Ah Ab e 0 ,兀,陌 Xb =学L规律与方法-1 .在空间直角坐标系中，已知点A(xi, yi, zi) , B(X2, y2, Z2),则曲=(X2xi,乎一“ zzi). 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去 它的起点坐标.2 .两点间的距离公式：若A(

15、xi, yi, zi) , B(X2, y2, Z2),则 | AB = | AB| = /XB= d(X2 Xi(y2 yi 2+ 仔2 zi 2.3 .空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围1)40分钟课时作业一、选择题1 .已知a=(2, 4, 5), b=(3, X, y)分别是直线li,匕的方向向量.若li/以 则()i5A.X=6, y= i5B.X=3, y=i5C.X=3, y= i5D.X=6, y=答案 D解析

16、由 l i/12,= _ = 解得 X=6, y=.3 X y22 .已知直线i的方向向量为a,平面“内两共点向量OA Ob下列关系中能表示l / “的 是()A.a=OAB.a=kOBC.a= pOA入OBD.以上均不能答案 D3 .已知 a=(i , 5, 2), b=(m 2,2),若 a±b,则 m的值为()A.0 B.6 C. -6 D. ±6答案 B解析 a±b,，ix5X22( m2)=0,解得 m= 6.4 .已知 a=(i, 0, i), b=(-2, - i, i), c=(3, i, 0),则 |ab+2c| 等于()A.3 10 B.210

17、 C. 10 D.5答案 A解析 ab +2c=(9, 3, 0) , |a-b+2c| = 3/10 .则 ABC的5 .若 ABC勺三个顶点坐标分别为 A(1 , 2, 1), B(4, 2, 3), C(6 , 1, 4), 形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形答案 A解析 AB= (3, 4, 2), AC= (5, 1, 3),鼠(2, 3, 1).由AB-ac>0,得a为锐角；由CA-Cb>0,得C为锐角；由BA-bc>0,得b为锐角.所以ABC锐角三角形.6.已知向量a=(2x, 1,A.x= 1, y= 13) , b = (1

18、, 2y, 9),若a与b为共线向量，则(r11B.x = 2, y=- 2y=八 1C.x=6, V=答案 C解析 . a=(2x, 1, 3)与 b=(1, 2y, 9)共线,2x 13 r= _z-=不(y w 0),1 2y 9 ,13- x=6，y=-2.二、填空题7.若 A(1, n- 1, 3), B(2 m n,m-2n) , C( m 3, n- 3, 9)三点共线，则答案 0解析因为 A B= (mi- 1, 1, mi- 2n- 3) , AC= (2 , -2, 6),由题意得AB/ AC所以m- 121m- 2n- 3«=7-26所以 m= 0, n=0,所

19、以n= 0.8.已知空间三点 A(1 , 1, 1), B( -1, 0, 4), Q2, 2, 3),则ABfCAl勺夹角0的大小是12'解析ABB= ( 2, 1, 3), CAA= ( -1, 3, 2), Xb5- CAa= -7, | 丽=小，|斗=产,.八一7 cos 0 = =又。e 0 , % ,0 = - % .39 .已知点 A(1 , 0, 0) , B(0 , 1, 0), Q0, 0, 2),则满足 DB/ AC DC/ AB的点 D的坐标为答案(一1, 1, 2)解析设点D(x, y, z),一 ，一则 DBB= (x, 1 -y, - z) , AC= (

20、 - 1, 0, 2),DG= (-x, -y, 2-z), AB= (-1, 1, 0), 因为 DB/ AC DC/ AB 所以 DB/ AC DC/ Ahx z'x= 1,1-y=0,则解得Sy=1,-x -y丁 丁”，'2-z=0,所以口 一1, 1, 2).一，一.210 .已知向量a=(5, 3, 1), b=(2, t, 5),若a与b的夹角为钝角，则实数 t的取值范围为66 52答案10°, 5)u15,旬252解析 由已知得 a - b = 5X( - 2) + 3t +1 x -3t ,55因为a与b的夹角为钝角，所以 a - b<0,525

21、2即 3t一 3<°，所以 t<-若a与b的夹角为180° ,则存在 入<0,使a=入b(入<0),口.，c ，2即(5 , 3, 1)=入2, t , 5 ,5= 2 入所以2.1 = 5 入所以5,故t的取值范围是三、解答题66 52515，15/11 .已知空间三点 A(0, 2, 3), B(-2, 1, 6), C(1 , 1, 5),求以危 氏为邻边的平行四 边形的面积S.解.XB- (-2, - 1, 3) , AC> (1 , - 3, 2),.cos < AB XbAB- AC-2+3+61| 俞 | AC *+ 1+9

22、 , M1+ 9 + 4 2，sin AB A。= 2, " S= | AB , I AC ' sin AB AC = 743,以AB AC为邻边的平行四边形的面积为7,5.12.如图，在棱长为1的正方体 ABCDABGD中，E, F分别为AB和BC的中点，试在棱 BB上找一点M使得DM1平面EFR解建立如图所示的空间直角坐标系，0, 1) , E'1, 1, 0 j 设 M1 , 1, m).则 A(1 , 0, 0) , B(1 , 1, 1), Q0 , 1, 0), D(0,连接 AC 则AC= (-1, 1, 0).而E, F分别为AB BC的中点, 一1.11. -1所以 EF= 2AO ( 2， 2， 0).又因为 BiE= |0, 2， 1 I,DM= (1 , 1, m- 1),而DML平面EFB,所以DM! EF,且 DM! BE,即DM- Ef= 0,且 DM- BE= 0.1 12+2 + W1 )X 0= 0,所以110-+ 1 - m= 0, 2_1 _解得m 2,即M为BB的中点.13.在长方体