轨迹方程的五种求法

1、轨迹方程的五种求法一、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例1：已知点，动点满足，则点的轨迹是（）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析：由题知，由，得，即，点轨迹为抛物线故选D二、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程例2：在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中所求的重心的轨迹方程为三、转代法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3：已知ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程解：设，由重心公式，得又在抛物线上，将，代入，得，即所求曲线方程是四

2、、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把，联系起来例4：已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使其满足，求直线与的交点的轨迹方程解：如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系设点，则由题意，得由点斜式得直线的方程分别为两式相乘，消去，得这就是所求点M的轨迹方程评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.五、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例5：已知A，B，D三点不在一条直线上，且，（1）求点轨迹方程；（2）过作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与

3、点的轨迹相切，求椭圆方程解：（1）设，由知为中点，易知又，则即点轨迹方程为；（2）设，中点由题意设椭圆方程为，直线方程为直线与点的轨迹相切，解得将代入椭圆方程并整理，得，又由题意知，即，解得故所求的椭圆方程为配套训练一、选择题1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线2. 设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A.B. C. D.二、填空题3. ABC中，A为动点，B、C为定点，B(

4、,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_.4. 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5. 已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6. 双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.7. 已知双曲线=1(m0,n0)的顶点为A1、A

5、2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.参考答案配套训练一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2

6、a,动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0=答案：C二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE

7、|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y0)6.解：设P(x0,y0）(x±a),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2，即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(x±a).7.解：(1)设P点的坐标为(x1,y

8、1)，则Q点坐标为(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),则A1P的方程为：y=A2Q的方程为：y=×得：y2=又因点P在双曲线上，故代入并整理得=1.此即为M的轨迹方程.(2)当mn时，M的轨迹方程是椭圆.()当mn时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；()当mn时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.8.解：(1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02