抽象函数的对称性

1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定 的运算性质等，它是高中函数部分的难点也是大学高等数学函数部分的一个衔接 点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难， 所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于f(x)定义域的每一个x,都存在非零常数 T,使得f(x T) f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT ( k Z,k 0)

2、也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f (x)的最小正周期。分段函数的周期： 设yf(x)是周期函数，在任意一个周期的图像为c：y f(x),x a,b,T b a。把yf(x)沿x轴平移KT K(b a)个单位即按向量a (kT,0)平移，即得y f(x)在其他周期的图像：y f (x kT), x kT a, kT b。f(x)f(x)a,bf (x kT)kT a,kT b2、奇偶函数：设 y f (x), x a,b 或x b, a a,b若f( x)f(x)，则称y f(x)为奇函数；若f( x) f(x)则称y f(x)为偶函数。分段函数的奇偶性3、函数的对称性：(1)中心对

3、称即点对称：点A(x, y)与B(2a x,2b y)关于点(a,b)对称；点A(a x,b y)与B(a x,b y)关于(a,b)对称；函数y f(x)与2b y f (2a x)关于点(a,b)成中心对称；函数b y f (a x)与b y f (a x)关于点(a,b)成中心对称;函数F (x, y) 0与F(2a x,2b y) 0关于点(a,b)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为:Ax By C 0。/ /2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、* 工点A(x, y)与B(x , y ) B(x ”一彳,y 一彳)关于A BA B直线Ax By C 0成轴对称;2B(A

4、x By C) - 2A(Ax By C)、函数y f (x)与y J-y-f f (x 一'一y一0关于直线 A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、 F(x, y) 0与F(x J%-,y -J一-) 0关于直线 A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数y f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a) f (x b),则f(x)具有周期性；若f (a x) f(b *),则£仪)具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性”。1、f(a x) f (b x) y f(x

5、)图象关于直线 x (a x) (b x) a- 对称 22推论1： f(a x) f (a x) y f(x)的图象关于直线x a对称推论2、f(x) f (2a x) y f(x)的图象关于直线 x a对称推论3、f (x) f(2ax)yf(x)的图象关于直线x a对称- 一 一一 一 a b ,一2、 f(a x)f (b x)2cyf(x)的图象关于点(，c)对称2推论1、f (a x) f (a x) 2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) f (2a x) 2byf(x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f ( x) f (2a x) 2by f(x)的图象

6、关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y”*)与丫 f ( x)图象关于Y轴对称2、奇函数y”*)与丫 f( x)图象关于原点对称函数3、函数y f(x)与yf(x)图象关于X轴对称4、互为反函数y f(x)与函数y f 1(x)图象关于直线y x对称一 ._ b a ，一，5.函数y f (ax)与y f (bx)图象关于直线x 乞对称推论1：函数yf (a x)与y f (a x)图象关于直线x 0对称推论2:函数y”*)与丫 f(2a x)图象关于直线x a对称推论3:函数y f ( x)与y f (2a x)图象关于

7、直线x a对称(三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y=f(x)关于直线x= a轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a + x)=f(a-x) (2) f(2a-x)= f(x) (3) f(2a+x)= f(x)性质2若函数y=f(x)关于点(a, 0)中心对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a + x)=- f(a-x) (2) f(2a x) = f(x) (3) f(2a +x)= f(x)易知，y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质 1 (或2)当a=0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域的任一变量x,均有fg( x) = fg

8、(x),则复数函数y= fg(x)为偶函数。定义2、若对于定义域的任一变量x,均有fg( x) = fg(x),则复合函数y=fg(x)为奇函数。说明:(1)复数函数fg(x)为偶函数，则fg(x) =fg(x)而不是fg(x)= fg(x),复合函数 y=fg(x)为奇函数,则 fg( x) = fg(x)而不是 fg(x) =fg(x)。(2)两个特例：y = f(x +a)为偶函数，则 f(x+ a) = f( x + a) ； y=f(x + a) 为奇函数，则 f( x+a) = f(a + x)(3) y = f(x + a)为偶(或奇)函数，等价于单层函数y = f(x)关于直线

9、x = a轴对称(或关于点(a, 0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3复合函数y = f(a + xy= f(b x)关于直线x= (b a) /2轴对称性质4、复合函数y= £但+ 乂)与y= f(b x)关于点(b a) /2 , 0)中心 对称推论1、复合函数丫=地+乂)与丫=皿乂)关于y轴轴对称推论2、复合函数丫=*2+乂)与y= f(a x)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y=f(x)定义域的任一变量x点有下列条件之一 成立，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 f(x + a)=f(x a) f(x+ a) = f(x)

10、f(x+ a)= 1/f(x) f(x+ a)= 1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y= f(x)同时关于直线乂=2与乂= b轴对称，则函数f(x)必为周 期函数，且T= 2|a-b|性质6、若函数y=f（x）同时关于点（a, 0）与点（b, 0）中心对称，则函数 f（x）必为周期函数，且T= 2|a-b|性质7、若函数y=f（x）既关于点（a, 0）中心对称，又关于直线x= b轴对称，则函数f（x）必为周期函数，且T= 4|a b|6、函数对称性的应用(1)若 y f(x)关于点(h,k)对称，则 x x/ 2h, y y/ 2k,即f(x) f(x/) f(x) f(2h x

11、) 2kf(xi) f(x2) f(xn) f(2h xn) f (2h 4 1) f (2h %) 2nk(2)例题ax, 1 1、1、f (x)0关于点(一，一)对称：f (x) f (1 x) 1;axa2 24x 1f(x) -27丁2x 1 关于(0,1)对称：f (x) f( x)f(x)1(、，一1 1 一1R,x 0)关于(,)对称：f (x) f(-) 12 2x2、奇函数的图像关于原点（0, 0)对称：f(x) f( x) 0。3、若f(x) f (2a x)或f(a x) f (a x),则y f(x)的图像关于直线 x a对称。设f (x) 0有n个不同的实数根，则x1

12、x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)xn(2axn)na.2，(当 n 2k 1时，必有 x1 2a x1，x1 a)（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、f(x T) f(x)( T 0) y f(x)的周期为T, kT(k Z)也是函数的周期2、f (x a) f (x b)3、 f(x a) f (x)y f(x)的周期为T b a4、f (x a)y f (x)的周期为T 2a5、f (x a)y f(x)的周期为T 2a6、f (x a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的周期为T 3a7、 f (x a)1f(x) 1y f(x)的周期为T 2a8、 f (x

13、 a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的周期为T 4a9、f (x 2a) f (x a) f (x)y f(x)的周期为T 6ay f(x)的周期为T 2a10、若 p Q f(px) f(px |),则T :11、y f(x)有两条对称轴x a和x b (b a) y f(x)周期T 2(b a)推论：偶函数y f(x)满足f (a x) f (a x) y f (x)周期T 2a12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) (b a) y f(x)周期 T 2(b a)推论：奇函数y f(x)满足f (a x) f (a x) y f (x)周期T 4a13、y f(x)有一

14、条对称轴 x a和一个对称中心(b,0) (b a) f (x)的T 4(b a)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1. ( 1996年高考题)设“*)是(，)上的奇函数，f (2 x) f(x)，当0 x 1 时，f(x) x ,则 f (7.5)等于(-0.5 )(A) 0.5;(B) -0.5;(C) 1.5;(D) -1.5.例2. ( 1989年市中学生数学竞赛题)已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x 2) 1

15、 f (x)1 f(x), f (1) 2 d3,求 f(1989)的值.f (1989)2、比较函数值大小例 3.若 f (x)(x8)、嗒)、解： f (x)(x116 1417 19 15R)是以2为周期的偶函数，当 x 0,1时，f (x)104、,f ()的大小.151x丽,试比较R)是以2为周期的偶函数，又 f (x)116141011,f(-) f(-) f(-),gPf(171915171x碱在0,1上是增函数，且f(98)f(104).1915例4. (1989年高考题)设f(x)是定义在区间()上且以2为周期的函数，对A.Z ,用鼠表示区间(2k1,2k 1),已知当I。时

16、,_2f (x) x .求f(x)在Ik上的解析解：设 x (2k 1,2k1), 2k2kx 2kx Io 时，有 f (x)x2,由2k1 得f (x2k) (x2k)2f (x)是以2为周期的函数,f (x2k)f(x),f (x) (x2k)2.3、求函数解析式例5.设f (x)是定义在()上以2为周期的周期函数，且f (x)是偶函数，在区、_ 2_一间 2,3 上，f(x) 2(x 3)2 4.求 x 1,2 时，f(x)的解析式.解：当 x 3, 2 ,即 x 2,3 ,-_ 2_一 2f (x)f (x) 2(x 3)42(x3)4又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当 x 1

17、,2 ,即 3x42时,有f (x)f(x 4)22f(x) 2(x 4) 342(x 1)2 4(1 x 2).f (x)2(x 1)2 4(1 x 2).4、判断函数奇偶性例6.已知f(x)的周期为4,且等式f (2 x) f(2 x)对任意x R均成立,判断函数f(x)的奇偶性.解：由f (x)的周期为4,得 f (x) f (4 x),由 f (2 x) f (2 x)得f( x) f(4 x),f ( x) f(x)，故f(x)为偶函数.5、确定函数图象与x轴交点的个数例7.设函数f (x)对任意实数x满足f (2x) f(2 x), f(7 x)f(7 x)且f(0) 0,判断函数

18、f(x)图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.解：由题设知函数 f(x)图象关于直线x2和x 7对称，又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间 0,10上,f(0) 0且f(x)不能恒为零，f (0) Qf(4) f (2 2) f (2 2)故f (x)图象与x轴至少有2个交点.而区间 30,30有6个周期，故在闭区间30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交点.6、在数列中的应用例8.在数列 an中,a13, anan 1 /(nan 12),求数列的通项公式,a1997 .分析：此题的思路与例2思路类似.1a11a1tg1 tg1a1 tg()a3产 4tg

19、(21 a21 tg(-)an1 tg(n 1) 7，于是 为an 11 an 1tg(n 1)4不难用归纳法证明数列的通项为：an tg(n )，且以4为周期.44于是有1, 5, 9 1997是以4为公差的等差数列，aia5a9a1997 ,由 1997 1 (n 1) 4 得总项数为 500 项,a a§ a§a1997500 a1 500，； 3.7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可92 92 0 92 1 91 90 2 91斛： 92(91 1) C9291

20、C92 91C92 91 C92 91 19292(7 13 1)92C2(7 13)92 C92(7 13)910990(7 13)2C92(7 13) 1因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为 1,即为余数，故9292天为星期四.8、复数中的应用例10.(市1994年高考题)设z1 上3i(i是虚数单位)，则满足等式znz,且22大于1的正整数n中最小的是(A) 3;(B) 4;(C) 6;(D) 7.-13、3 升 &,士分析：运用z i方哥的周期性求值即可.22nn 1n 1解：zz, z(z1) 0 z 1 ,z3 1, n 1必须是3的倍数，即n 1 3k(k N

21、),n 3k 1(k N).k 1时,n最小，(n)min4.故选择(B)9、解“立几”题例11.ABCDAB1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1A1D1，黑蚁爬行的路线是AB BB1.它们都遵循如下规则：所爬行的第i 2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中iN).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是(A) 1 ;(B) 22 ; (C) E ;(D) 0.解：依条件列出白蚁的路线AAiA1D1D1C1CiCCBBA AAi ，立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验

22、证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期1990=6 331 4,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是 <2.例题与应用例 1 : f(x)是 R 上的奇函数 f(x)= f(x+4) , xC 0, 2时 f(x)=x ,求 f(2007)的值例2:已知f(x)是定义在 R上的函数,且满足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x) , f(1)=2 ,求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(251 X8+1)=f(1)=2例3:已知f(x)是定义在 R上的偶函数，f(x)= f(4-x)

23、,且当x 2,0时，f(x)= 2x+1 ,则当x 4,6时求f(x)的解析式例4:已知f(x)是定义在 R上的函数，且满足 f(x+999)=- , f(999+x)=f(999 -x), 试f(x)判断函数f(x)的奇偶性.例5:已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x),且当x 2,0时，f(x)是减函数，求证当x 4,6时f(x)为增函数例 6: f(x)满足 f(x) =-f(6-x) , f(x)= f(2-x),若 f(a) =-f(2000) , aC5, 9且 f(x)在5, 9上 单调.求a的值.例 7:已知 f(x)是定义在 R上的函数，f(x)= f(4

24、 -x), f(7+x)= f(7 x),f(0)=0,求在区间 1000, 1000上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2, x=7对称，类比命题 2 (2)可知f(x)的一个周期是10故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0, 10上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，2000 一一因此万程f(x)=0在区间 1000, 1000上至少有1+2 =401个根.10例1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y=胞+ 4)与丫= f(6x)的图象之间(D )A.关于直线x= 5对称B.关于直线x=1对称C.关于点(5, 0)