高中数学推理与证明 213 推理案例赏析习题 苏教版选修22

1、2.1.3推理案例赏析明目标、知重点1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力1数学活动与探索数学活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程2合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据情境导学合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差别？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发展活动的？下面通过几个案例进一步来熟悉探究点一运用归纳推

2、理探求结论思考1在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？答(1)实验、观察：列举几个特别的例子，并推演出相应的结论(2)概括、推广：分析上述实验的共性，如位置关系、数量关系及变化规律，找出通性(3)猜测一般性结论：由上述概括出的通性，推广出一般情形下的结论，此结论就涵盖所有特例的结论思考2归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向例1已知数列的前4项为，1，试写出这个数列的一个通项公式解把已知4项改写为，记此数列的第n项为an，则有a1；a2；a3，a4，.据此猜测an.反思与感悟运用归纳推理猜测一般结论

3、，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化跟踪训练1下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为_答案n2解析前4个图中小三角形个数分别为1,4,9,16.猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.探究点二运用类比推理探求结论思考1在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？答(1)观察、比较：对比两类对象，挖掘它们之间的相似(同)点和不同点(2)联想、类推：提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质(3)猜测新的结论：把猜测的某种结论用相关语言确切地表述出来思

4、考2类比推理的结论是否一定正确？答从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证例2RtABC中，C90°，CDAB于D，则BC2BD·BA.(如图甲)类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥PABC(如图乙)中，可得到什么结论？解如图在三棱锥PABC中，作PO平面ABC，连结OB、OC猜想下列结论：SSOBC·SABC.证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.PAPB，PAPCPA平面PBC.PD平面PBC，BC平面PBC，PAPD，PABC.PO平面ABC，

5、AD平面ABC，BC平面ABC，POAD，POBC.BC平面PAD.BCAD，BCPD.S2BC2·PD2SOBC·SABCBC·OD·BC·ADBC2·OD·AD.PD2OD·AD，SSOBC·SABC.反思与感悟在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠跟踪训练2如图，设ABC中，BCa，ACb，ABc，BC边上的高ADh.扇形A1B1C1中，l，半径为R，ABC的面积可通过下列公式计算：(1)Sah；(2)SbcsinBAC.运用类比的方法，猜想扇形A1

6、B1C1的面积公式，并指出其真假(1)_；(2)_答案(1)SlR真命题(2)SR2sin A1假命题探究点三运用演绎推理证明结论的正确性思考1合情推理与演绎推理有何异同之处？答合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程思考2应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？答在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式前一个

7、三段论的结论往往作为下一个三段论的前提例3在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)求证数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)求证不等式Sn14Sn恒成立(nN*)(1)证明由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.4 (nN*)数列ann是以a11，即211为首项，以4为公比的等比数列(2)解由(1)可知ann4n1，ann4n1.Sna1a2an(140)(241)(n4n1)(12n)(144n1)·4n.(3)证明由(2)知，Sn14Sn·4n142n(n1)10，Sn14Sn恒成立(nN*)反思与感悟演绎推理的

8、一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提跟踪训练3已知函数f(x)对任意的x，yR都有f(xy)f(x)f(y)求证：f(x)是奇函数证明对任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)当xy0时，f(0)2f(0)，f(0)0.又令yx，则f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)，f(x)为奇函数1一个数列的第2项到第4项分别是3，据此可以猜想这个数列的第一项是_答案解析a2，a3，a4，猜想a1.2在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形运用类比，可猜想在空间有如下命题：_.答案球内接平行六面体一定是长方体3设xi>0 (iN*)，有下列不

9、等式成立，x1x22；x1x2x33，类比上述结论，对于n个正数x1，x2，xn，猜想有下述结论_答案x1x2xnn4已知a、bN*，f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则_.答案4 024解析令b1，则f(a1)f(a)f(1)，f(1)2.2222×2 0124 024.呈重点、现规律1数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程2合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.一、基础过关1有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是_答案31解析有底纹的正六边形的个数组成等

10、差数列a16，d5，a66(61)×531.2观察下列不等式：1>，1>1,1>，1>2,1>，由此猜测第n个等式为_(nN*)答案1>3已知数列an的前n项和为Sn，且Snn21.则此数列的前4项分别为a1_，a2_，a3_，a4_.据此猜测，数列an的通项公式为an_.答案23574正方形ABCD中，对角线ACBD.运用类比的方法，猜想正方体ABCDA1B1C1D1中，相关结论：_.答案对角面AA1C1CBB1D1D5如果函数f(x)是奇函数，那么f(0)0.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)0.这段演绎推理错误的原因是_答案大前提错误6已

11、知ABC中，ADBC于D，三边是a，b，c，则有accos Bbcos C；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体PABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角PABC，PBCA，PACB的度数分别是，则S_.答案S1cos S2cos S3cos 7已知等式：(tan 5°1)(tan 40°1)2；(tan 15°1)(tan 30°1)2；(tan 25°1)(tan 20°1)2；据此可猜想出一个一般性命题：_.答案(tan 1)tan(45°)12二、能力提升8仔细观察下

12、面和的排列规律： 若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_答案14解析进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.9设M是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意s>0，t>0，都有f(s)f(t)<f(st)给出函数f1(x)log2x，f2(x)2x1.下列判断正确的是_f1(x)M；f1(x)M；f2(x)M；f2(x)M.答案解析对于f1(x)log2x；log22log24>log2(24)，所以f1(x)M.对于f2(x)2x1：2s12t1(2st1)(2s1)(

13、2t1)<0，f2(x)M.10已知命题：平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p,0)和C(p,0)，顶点B在椭圆1 (m>n>0，p)上，椭圆的离心率是e，则.将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：_.答案平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线1 (m，n>0，p)上，双曲线的离心率为e，则11已知命题：“若数列an是等比数列，且an>0，则数列bn(nN*)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，则数列bn

14、也是等差数列证明：设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列12在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论解猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高证明如下：设P为正三棱锥ABCD底面上任一点，点P到平面ABC、ACD、ABD的距离分别为h1、h2、h3，以侧面ABC为底时对应的高为h，则：VPABCVPACDVPABDVDABC.即：SABC·h1SACD·h2SABD·h3SABC·h.SABCSACDSABDh1h2h3h，此即要证的结论三、探究与拓展13记Sn为数列an的前n项和，给出两个数列：()5,3,1，1，3，5，7，()14，10，6，2,2,6,10,14,18，(1)对于数列()，计算S1，S2，S4，S5；对于数列()，计算S1，S3，S5，S7；(2)根据上述结果，对于