《1.3.1函数的单调性与导数》教学案3

1、?1.3.1函数的单调性与导数?教学案3一、教材分析以前,我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数X1,X2CI,且当X1VX2时,都有f(Xi)vf(X2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数Xi,X2CI,且当X1VX2时,都有f(Xi)>f(X2),那么函数f(X)就是区间I上的减函数.在函数y=f(X)比拟复杂的情况下,比拟f(X1)与f(X2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比拟简单.根据课程标准,本节分为四课时,此为第一课时.二、教学目标1,知识目标：1)正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2)掌握利用导数判断函数单调性的步骤.

2、2,水平目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,提升创新水平.3,情感、态度与价值观目标：在愉悦的学习气氛中,学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂,从特殊到一般.三、教学重点难点教学重点：利用导数判断函数单调性.教学难点：利用导数判断函数单调性.四、教学方法:探究法五、课时安排：1课时六、教学过程【引例】1.确定函数y=x2-4x+3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：y=x24x+3=(x2)21,在(*,2)上是减函数,在(2,)上是增函数.问：1)、为什么y=x2-4x+3在(*,2)上是减函数,在(2,十必)上是增函数?2)、研究函数的单调区间

3、你有哪些方法?都是反映函数随自(1)观察图象的变化趋势；(函数的图象必须能画出的)变量的变化情况.(2)利用函数单调性的定义.(复习一下函数单调性的定义)2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？(1)能画出函数的图象吗？(2)能用单调性的定义吗？试一试,提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？(产生认知冲突)【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象白时候,如函数f(x)=2x3-6x2+7,这就需要我们寻求一个新的方法来解决.(研究的必要性)事实上用定义研究函数y=x2-4x+3的单调区间也不容易.

4、【探究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究.问：如何入手？(图象)从函数f(x)=2x36x2+7的图象吗？1、研究二次函数y=x24x+3的图象；(1)学生自己画图研究探索.(2)提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？(3)(开口方向,对称轴)既然要寻求一个新的方法,显然要换个角度分析.(4)提示：我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律？(5)学生继续探索,得出初步规律.几何画板演示,共同探究.得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系.(学生总结)：该函数在区间(口,2)上单调递减,切线斜率小于

5、0,即其导数为负；在区间(2,收)上单调递增,切线斜率大于0,即其导数为正；注：切线斜率等于0,即其导数为0;如何理解？就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象.(验证)(1)观察三次函数y=x3的图象；(几何画板演示)(2)观察某个函数的图象.(几何画板演示)这节课我们就来学习如何用指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系.导数研究函数的单调性(幻灯放映课题).【新课讲解】4、请同学们根据刚刚观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生答复.(幻灯放映)一般地,设函数y=f(x)在某个区间可导,

6、那么函数在该区间内如果在这个区间内f(x)A0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f(x)M0,那么y=f(x)为这个区间内的减函数.假设在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)为常函数.这个结论是我们通过观察图象得到的,只是一个猜测,正确吗？答案是肯定的.严格的证实需要用到中值定理,大学里才能学到.这儿我们可以直接用这个结论.小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般,从简单的复杂.结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其导数有关,因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性.下面举例说明：【例题讲解】例1、求证：y=x3+1在(3,0)上是增函数.由学生表

7、达过程老师板书：3,2一由于y=(x+1)=2x,x=(*,0),2'所以x>0,即y>0,所以函数y=x3+1在(3,0)上是增函数.注：我们知道y=x3+1在R上是增函数,课后试一试,看如何用导数法证实.学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论.例2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.由学生表达过程老师板书：解：f'(x)=(2x36x2+7)'=6x2-12x,令6x2-12x>0,解得x>2或x<0,当xC(oo,0)时,f'(x)>0,f(x)是增函数；当xC(2

8、,+8)时,f'(x)>0,f(x)是增函数.令6x2-12x<0,解得0vx<2.,当xC(0,2)时,f'(x)<0,f(x)是减函数.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求函数f(x)的导数f'(x).(3) 令f'(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间.令f'(x)v0解不等式,得x的范围,就是递减区间【课堂练习】1 .确定以下函数的单调区间(1) y=x3-9x2+24x(2)y=3x-x3(1)解：y'=(x39x2+24x)'=3x218x+24=

9、3(x2)(x4)令3(x-2)(x-4)>0,解得x>4或x<2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4,+8)和(oo,2)令3(x-2)(x-4)<0,解得2vxv4.1-y=x3-9x2+24x的单调减区间是(2,4)(2)解：V,=(3xx3)'=33x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1)令-3(x+1)(x-1)>0,解得1<x<1.y=3xx3的单调增区间是(一1,1).令3(x+1)(x1)v0,解得x>1或xv1.,y=3xx3的单调减区间是(一00,1)和(1,+oo)2、设y=f'(x)是函数y=

10、f(x)的导数,y=f'(x)的图象如下图,那么y=f(x)的图象最有可能是()小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？【课堂小结】1 .函数导数与单调性的关系：假设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)>0,那么f(x)为增函数；如果f(x)<0,那么f(x)为减函数.2 .本节课中,用导数去研究函数的单调性是中央,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3 .掌握研究数学问题的一般方法：从特殊到一般,从简单到复杂.【课后练习】1 .(2007年浙江卷)设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y="刈和y=f&

11、#39;(x)的图象2 .函数f(x)=xlnx,那么()A.在(0,)上递增B.在(0,收)上递减一Ji、.rnC.在0,-i上递增D.在0,-i上递减<e)eeJ3.函数f(x)=x3-3x2-5的单调递增区间是.【课堂作业】课本P42习题2.41,2【课后记】本节课是一节新授课,课本所提供的信息很简单,如果直接得出结论,学生也能接受,可学生只能进行简单的模仿应用.为了突出知识的发生过程,不把新授课上成习题课,设计思路如下,以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手,简单复习回忆以前的方法；1、 从不熟悉的三次函数入手,使学生体会到以前的知识已不能解决,必须寻求一个新的解决方法,产生认知冲突,熟悉到再次研究单调性的必要性；2、 从简单的、熟悉