向量的数量积的定义与运算律

1、课题：向量数量积的物理背景与定义23.2向量数量积的运算律编者：张晓燕 审稿人： 邢桂明 （）月（）日 授课类型：新授课学习目标：1掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题1平面向量的数量积(重点)2平面向量的数量积的几何意义(难点)3向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)课堂内容展示自学指导：结合下列问题，请你用10分钟的时间独立阅读课本P107-P109完。1两个非零向量夹角的概念两个非零向量和，作 ，则 称作向量和的夹角。记作 ，并规定角的范围为 。 说明：（1）当0时，与的方向关系是 ；（2）当时，与方向关系

2、是 ；（3）当时，与方向关系是 ，记 ；2向量在轴上的正射影 定义：已知向量和轴，作=，过 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则 叫做向量在轴上的正射影。该射影在轴上的坐标，称作向量在轴上的 。OOAB1Ola作图qOOAB1OlaqOOA(B1)Olaq思考：由上述三个图形中，可知向量在轴上的射影为 ，其数量应该怎样计算？3.平面向量数量积（内积）的定义 叫做和的数量积（或内积）探究：两个向量的数量积的特征（1）两个向量的数量积是一个 ，正负号由 的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成·，书写时要严格区分，符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“&

3、#215;”代替.4向量的数量积的几何意义：数量积·等于的 与 的乘积。5.向量的数量积的性质：(1)如果e是单位向量，则a·ee·a ；(a0，b0)(2)ab 且a·b0 (a0，b0)；(3)a·a 或|a| ；(4)cosa，b (|a|b|0)；(5)|a·b| |a|b|.6数量积的运算律(1)a·b ；(2)(ab)·c ；(3)对任意实数，有(a·b) 【题型一平面向量数量积的基本概念】【例1】 判断正误，并简要说明理由a·00；0·a0；a与b是两个单位向量，则a2b

4、2.【变式1】 下列命题中正确的是()A|a·b|a|·|b| Ba·bb·a C(a)·ba·(b)D非零向量a与b的夹角余弦值为【题型二平面向量数量积的基本运算】【例2】 已知|a|3，|b|6，当ab，ab，a与b的夹角是60°时，分别求a·b.【变式2】 设正三角形ABC的边长为，c，a，b，求a·bb·cc·a.【题型三与向量的模有关的问题】【例3】 已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120°，求(1)a2b2；(2)|ab|.【变式3】 设向量a，b，c满足a

5、bc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_【题型四向量垂直与夹角问题】【例4】 已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？【变式4】 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a2mn与b2n3m的夹角误区警示混淆两向量的夹角为钝角与两向量的数量积为负之间的关系而出错【示例】 设两向量e1，e2满足：|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围 当堂检测1若a·b<0，则a与b的夹角的取值范围是(

6、)A. B. C. D.2已知|a|b|2，a·b2，则|ab|()A1 B. C2 D.或23若|a|4，|b|3，a·b6，则a与b夹角为()A150° B120° C60° D30°4已知|a|4，a与b的夹角为30 °，则a在b方向上的投影为_课后练习1若向量a与b的夹角为，|b|4，(a2b)·(a3b)72，则向量a的模为A2 B4 C6 D122已知|a|3，|b|2，a，b60°，如果(3a5b)(mab)，则m的值为 ()A. B. C. D.3.已知|a|3，|b|4，则(ab)·(ab)_.4已知ab2i8j，ab8i16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b_.5若向量|a|1，|b|2，|ab|2，则|ab|_.6已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab时，求a·b.7在ABC中，AB8，BC7，A