第7次课-镜像法与电轴法

1、第第 一一 章章静静 电电 场场1.7 1.7 镜像法与电轴法镜像法与电轴法Image Method and Electric Axis Method镜像法与电轴法的基本思想镜像法与电轴法的基本思想 根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布电荷电场的问题。是唯一性定理的典型应用之例，可使某些电荷电场的问题。是唯一性定理的典型应用之例，可使某些问题化难为易。问题化难为易。 镜像法是一种求解边值问题的间接计算方法。用放置在镜像法是一种求解边

2、值问题的间接计算方法。用放置在所求场域之外的假想的镜像电荷等效替代导体表面感应电荷所求场域之外的假想的镜像电荷等效替代导体表面感应电荷或介质分界面极化电荷对电场分布的影响。或介质分界面极化电荷对电场分布的影响。 只要不改变求解区域的电荷分布，边界条件和边值关系，只要不改变求解区域的电荷分布，边界条件和边值关系，镜像电荷可以取代感应电荷，镜像电荷在所考虑区域产生的镜像电荷可以取代感应电荷，镜像电荷在所考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。电场就是感应电荷产生的电场。第第 一一 章章静静 电电 场场1.7.1 镜像法（Image Method)图1.7.1 平面导体的镜像 方程相同，边界条件相

3、同，解惟一。空气中除点电荷外0导板qSSD d，02a02上半场域除点电荷外b04400rqrqqSSD d1. 1. 点电荷对平面导体的镜像点电荷对平面导体的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场上半场域的电位和电场上半场域的电位和电场201044rqrqp - -q q 是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复杂分布的感应电荷的作用；上复杂分布的感应电荷的作用；注意注意镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的镜像。

4、作相应的镜像。pr1r22220121044rrperqerqE第第 一一 章章静静 电电 场场地面上感应电荷的总量为（方向指向地面）EEE204cos2rqE2/3220)(2xhqh2/3220)(2xhqhEDnpxxxhqhSSpd2)(2d02/322q例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。解：设点电荷 q 镜像后图1.7.2 地面电荷分布第第 一一 章章静静 电电 场场镜像法小结 镜像法的理论基础是： 镜像法的实质是：镜像法的关键是： 镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区 域。叠加时，要注意场的适用区域。 用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为

5、无限大均匀媒质；静电场惟一性定理；确定镜像电荷的个数、大小及位置；应用镜像法解题时，注意：第第 一一 章章静静 电电 场场点电荷位于接地导体球外的边值问题（除q点外的空间)002球面r0442010rqrqpcos2cos222222221RbRbrRdRdr 设镜像电荷 如图，球面电位 q图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像2. 2. 点电荷对球面导体的镜像点电荷对球面导体的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场0cos)(2)()(22222222bqdqRRdqRbq将 r1, r2 代入方程 ，得012rqrq00)()(22222222bqdqRdqRbq联立求解得到qdRqdbqd

6、Rb2镜像电荷位置镜像电荷大小第第 一一 章章静静 电电 场场球外任一点 P 的电位与电场为201044rqrqp2122021044rrPrdqRrqeeE图1.7.5 球外的电场分布镜像电荷放在当前求解的场域外。镜像电荷等于负的感应电荷总量。图1.7.4 球外的电场计算第第 一一 章章静静 电电 场场例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。 则dRbqdRq2 ,)dd1(421222120rrrrRrRrqeeeE任一点场强解： 边值问题0d const02SSSD（除q点外的空间)通量为零（ 大小相等） - , qq球面等位（ 位于球心） q思路图1.7.6 不接地金属球

7、的镜像第第 一一 章章静静 电电 场场图1.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图任一点电位)dd1(4210rRrRrqdq04球面电位第第 一一 章章静静 电电 场场3. 不同介质分界面的镜像t2t1EEn2n1DD根据惟一性定理图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像cos4 cos4cos4222121rqrqrqqq2121qq2122 和解得sin4 sin4sin4222rqrqrq第第 一一 章章静静 电电 场场图1.7.10 电场分布图试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置。思考题： 中的电场由 q 与 q 共同产生，q等效替代极化电荷的影响。 1 中的电场由 q” 决定

8、，q” 等效替代自由电荷与极化电荷的作用。 2图1.7.11 点电荷 q1 与 q2 分别置于 与 区域中12思考提示第第 一一 章章静静 电电 场场1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）(导线以外的空间)02constB导体S电荷分布不均,dSDS电荷分布不均匀,dSDconstA导体能否用高斯定律求解？思考边值问题1.7.12 长直平行双传输线第第 一一 章章静静 电电 场场1. 两根细导线产生的电位11001ln2d21CQ以 y 轴为参考电位， C=0， 则 ()lnln()Px byx by2222201022令： C， 等位线方程P22222)()(Kybx

9、ybxCP12021ln22202ln2C图1.7.13 两根带电细导线第第 一一 章章静静 电电 场场K 取不同值时，得到一族偏心圆。a、h、b满足关系22ba 222222)12()11(KbKybKKx整理后，等位线方程0, h圆心坐标圆半径122KbKa)(222bhbhbha图1.7.14 两根细导线的等位线bKKh1122222)12(bKbK222)11(bKK2h第第 一一 章章静静 电电 场场xyEExydd4)2(212212KbKyx 根据 ，得到 Ex 和 Ey 分量E图1.7.15 两细导线的场图E 线方程第第 一一 章章静静 电电 场场2. 电轴法)11(22102

10、1eeEP( 以 y 轴为参考电位)例1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。b) 圆柱导线间的电场与电位 解：a) 取圆柱坐标系120ln2p22ahb电轴位置图1.7.16 平行传输线电场的计算第第 一一 章章静静 电电 场场例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。212222221212hhdahbahb图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置解：daadhdaadh22212222222121Cp1202 ln第第 一一 章章静静 电电 场场1）参考电位的位置；2）有效区域。habhabhhd222112222221解：例1.7.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。注意：图1.7.18 偏心电缆电轴位置daadhdaadh22212222222121Cp1202 ln第第 一一 章章静静 电电 场场例1.7.6 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。22)2(adb)()(ln)()(ln200ahbahbahbahbUhdahb2222解： 确定电轴的位置120ln2120ln)()(ln2ahbahbU所以设电轴线电荷 ，任一点电位图1.7.19 电压为U0的传输线 第第 一一 章