第1章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

1、第第1章章 矢量矢量与张量与张量2022年年3月月23日日张量的两种表达形式张量的两种表达形式分量形式分量形式实体形式实体形式代数代数形式形式计算计算式式几何几何形式形式 定义式定义式概念的内涵和外概念的内涵和外延（定量）延（定量）怎样计算？怎样计算？主要内容主要内容矢量及其代数运算矢量及其代数运算斜角斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量直线坐标系的基矢量与矢量分量曲线坐标系及坐标曲线坐标系及坐标转换关系转换关系并矢与并矢式并矢与并矢式张量的基本概念张量的基本概念张量的代数张量的代数运算运算张量的矢积张量的矢积矢量及其代数运算矢量及其代数运算矢量矢量和和矢量矢量的的模模 、 、 、 、矢量的加法矢

2、量的加法: 平行四边形法则平行四边形法则 uuvvu vuvwuvwuvvu()()uvwuvw()uvuv ()0uu ()uuuabab()uvuvaaa()()uuaba b平行四边形法则平行四边形法则矢量及其代数运算矢量及其代数运算直线直线坐标系与矢径坐标系与矢径 笛卡尔坐标系：直角直线笛卡尔坐标系：直角直线 费马坐标系：斜角直线费马坐标系：斜角直线xyzijkrur：矢径矢径矢径矢径 确定了确定了基矢量基矢量：、：、 、矢量矢量 可可表示为：表示为： rijkxyzrijkuxyzuijkuuu笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系矢量及其代数运算矢量及其代数运算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的内积矢

3、量的内积 定义式（实体形式，几何表达）：定义式（实体形式，几何表达）： (可交换性可交换性) 计算式（分量形式，代数表达）：计算式（分量形式，代数表达）： cosu cosv uv 物理意义：物理意义：计算计算功功(功功率率)可交换性可交换性：运算运算次序的无关性次序的无关性对称性对称性不变性不变性cosu vu vu vv uu vu vxyzuijkuuuxyzvijkvvvxxyyz zu v u vu vu v(许瓦兹不等式许瓦兹不等式)矢量及其代数运算矢量及其代数运算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的外积矢量的外积 定义式（实体形式，几何表达）定义式（实体形式，几何表达） ： (反交换性反

4、交换性) 计算式（分量形式，代数表达）计算式（分量形式，代数表达） ： 计算计算 时时换行。换行。 物理意义：物理意义：计算计算面积面积 xyzxyzwuvijk uuuvvvvuwu vsinuvu vuvvu vu wu v 矢量及其代数运算矢量及其代数运算矢量的乘法矢量的乘法 三个矢量三个矢量 、 、 之间的运算之间的运算 如何计算如何计算 ？ 观察右图，可知观察右图，可知 正交于正交于 、 构成的平面，而构成的平面，而 正交于正交于 ，因此，因此， 一定在一定在 、 构成构成的平面的平面()()()()uvwvwu w vu v wuvw()uv wuvw()uv wwvuv wv w

5、vw()uv wv w数形结合数形结合()uv wvw矢量及其代数运算矢量及其代数运算矢量的乘法矢量的乘法 矢量的矢量的混合混合积积 物理意义：物理意义：计算计算体体积积 xyzxxxxyzyyzxyzzzzu v wu vwu v wuuuuvwvvvuvwwwwuvwwvu2 xyzxxxxyzyyzxyzzzzu uu vu wu v wv uv vv ww uw vw w uuuuvwvvvuvwwwwuvw u v wv w uw u vu w vv u ww v u 群论的轮换次序不变性群论的轮换次序不变性 顺时针轮换顺时针轮换 wuv斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系

6、的基矢量与矢量分量从直角直线坐标系到斜角直线坐标系从直角直线坐标系到斜角直线坐标系( (平面内平面内) ) 费费马马坐标系坐标系rP1g1x2x2g 12( ,)x xr2x1x12( ,)x xij 笛卡尔笛卡尔坐标系坐标系斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系和矢径平面内斜角直线坐标系和矢径矢径矢径 确定了基矢量：确定了基矢量： 、其中其中 、 不一定是单位矢量。不一定是单位矢量。矢量矢量 可可表示为表示为： 1212rggxxrP121221 PggggPPPP 费费马马坐标系坐标系rP1g1x2x2g 12( ,)x x2g1g2g1g斜角

7、直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量Pg P 费费马马坐标系坐标系rP1g1x2x2g 12( ,)x xg：协变基矢量：协变基矢量：哑指标：哑指标Einstein求和约定求和约定 基于基于简化简化的思想，的思想，引入逆变基矢量引入逆变基矢量 g0 1 gg存在对偶关系：存在对偶关系：斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量平面内斜角直线坐标系下矢量的平面内斜角直线坐标系下矢量的协变协变分量与逆变分量分量与逆变分量PggPPP gP称为矢量称为矢量P的逆的逆变

8、分量变分量22gPP gP称为矢量称为矢量P的协的协变分量变分量22gP2xP11gP11gP1x2222gP2xP22gP11gP1x11gP2222斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量123123rggggiixxxx 三维空间中的三维空间中的斜角直线坐标系斜角直线坐标系rO1x2x22gxrgiixgi3x11gx33gxdddiiiixxxrrg由由 可定可定义义协变协变基矢量基矢量 为为123123 g g gggggg是正实数（右手系）是正实数（右手系）斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜

9、角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量ggjjiigj定义定义逆逆变变基矢量基矢量 ，满足对偶条件：，满足对偶条件：( ,1,2,3)i j=问题：已知问题：已知 ，如何求，如何求 ？gigj 根据几何图形直接确定根据几何图形直接确定1g2g3g1g由对偶条件可知，由对偶条件可知， 与与 、 均正交，因此正交于均正交，因此正交于 与与 所所确定的平面；其模的大小等于确定的平面；其模的大小等于 1g2g3g2g3g111cosgg22斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空

10、间中的斜角直线坐标系和基矢量问题：已知问题：已知 ，如何求，如何求 ？gigj 由协变基由协变基矢量求逆变基矢量矢量求逆变基矢量112311()gggggg由于由于 正交于正交于 与与 ，则，则 必定平行于必定平行于 ，可，可设设 ，利用下式：，利用下式：1g2g3g23gg123ggg1g可计算出：可计算出：1231()gggg3121()gggg2311()gggg1g2g3g1g22转化为转化为矩阵乘法矩阵乘法 是什么？是什么？斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量问题：已知问题：已知 ，如何求

11、，如何求 ？gigj 由协变基由协变基矢量求逆变基矢量矢量求逆变基矢量将将 在在 标架下分解：标架下分解：1g123,g gg11112131123gggggjjgggggk进而进而可得到统一代数式：可得到统一代数式：ggiijjg将上式等号左右两端均点乘将上式等号左右两端均点乘 ，得到：，得到：ggggiiijijkkjkjkgg gijg1g1g2g3g111gg133gg122gg张量分析的起张量分析的起点点斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量可证明：可证明：称称 为为度量张量度量张量的协变分

12、量的协变分量称称 为为度量张量度量张量的逆变分量的逆变分量因此，得到：因此，得到：ggijijgggijijgijjiggijjiggijgijg协变基协变基矢量在逆变基矢量下分解矢量在逆变基矢量下分解逆变逆变基基矢量在协变基矢量下分解矢量在协变基矢量下分解ggiijj= gggjiijg斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量可知可知 与与 均为对称矩阵，协变分量的行列式为：均为对称矩阵，协变分量的行列式为：2123det() g g gijggijgijg写成矩阵形式，得到：写成矩阵形式，得到： 1

13、ijijgg由对偶关系可知逆变分量的行列式为：由对偶关系可知逆变分量的行列式为：2123det() 1g g gijgg1231231= det() 1ggg g gg g gjigg因此可因此可得到：得到： Euclid几何几何的的 1、勾股定理勾股定理两大基本定理：两大基本定理：2、三角形内角和定理、三角形内角和定理二二次微分形式次微分形式Euclid几何的基础几何的基础斜角直线坐标系的基矢量与矢量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量度量度量的重要性的重要性 刻画两点间距离刻画两点间距离ddsr 2ddddd d diji

14、jijijsxxgx xrrgg1x2x3xrdrrdr笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系中，有中，有2222ddddsxyz斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量PggijijPPP gggiikikikkPPP gP gggkkjjkjkjPPP gl矢量矢量 可在协变基矢量和逆变基矢量下进行分解：可在协变基矢量和逆变基矢量下进行分解：P 的协变分量可利用度量张量的的协变分量可利用度量张量的逆变逆变分量分量升升指标指标P 的逆变分量可利用度量张量的的逆变分量可利用度量张量的协变协变分量分量降降指标指标P斜角

15、直线坐标系的基矢量与矢量分量斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量ggiijjggl基矢量基矢量 的协（逆）变分量可利用度量张量的的协（逆）变分量可利用度量张量的逆逆（协协）变变分量分量升升（降降）指标：）指标：l利用指标升降关系表示斜角直线坐标系中两个矢量的利用指标升降关系表示斜角直线坐标系中两个矢量的点积：点积：u viiijijiiijiju vu vu v gu v gggjiijg2uiijijiijiju ug u ug uucos()iijkjku vu uv vu vu vu vxyzijkrrijkxyz曲线坐标系

16、：斜角直线坐标系的延伸曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸自然自然基矢量概念基矢量概念：直角坐标的启示：直角坐标的启示dddddddxyzxyzxyzrijkrrr立即得到：立即得到：xriyrjzrk123,x ,xxxirrr曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸自然自然基矢量概念基矢量概念：向一般曲线坐标系的推广：向一般曲线坐标系的推广dddiiiixxxrrg立即得到：立即得到：ixirg重要启示：决定空间点的位置和矢径！重要启示：决定空间点的位置和矢径！曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸平面极坐标系平面极坐标系11222112222

17、121()()cosarctansinxxxxxxxxxxxx12xxrij矢径：矢径：平面极坐标系平面极坐标系xyrijgrg2211121222cossin 1sincos xxxxxxr gijggijg12( ,)(,)x yxx12( ,)(,)rxxixirgiiix= xx曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸三维球坐标系三维球坐标系11232123312sincossincossinsinsinsincoscosxrxxxxrxxxxrxx 2x1x3xrgrgg三维球坐标系三维球坐标系123( , )(,)x y zxxx123( ,)(,)rxxx

18、 123iixxxxrijkgiiix= xx曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸三维球坐标系三维球坐标系232321112323212212331233sincossinsincos 1(coscoscossinsin) sin( sincos) sinxxxxxxxxxxxxxxxxxxgijkggijkggijg正交曲线坐标系与正交曲线坐标系与Lam常数常数定义定义正交坐标系中正交坐标系中Lam常数常数Ai (i = 1,2,3):111Ag222Ag333 ( )AgAi 的物理意义是坐标的物理意义是坐标 xi有单位增量时弧长的增量，有有单位增量时弧长的增量

19、，有 21 2223 2123(d )(d)(d)(d) ( )sA xA xA x注注: : ( )式只对正交曲线坐标系成立，式只对正交曲线坐标系成立，可作为求正交系中度量张量的一种可作为求正交系中度量张量的一种方法方法。ixirg曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换新、老坐标之间的变换和逆变换：新、老坐标之间的变换和逆变换：iiix= xxiiix = xx新、老基矢量之间的变换（注：重中之重）：新、老基矢量之间的变换（注：重中之重）：xxiirrr两边同取增量：两边同取增量：ddxxiirrddxxxxiiiirrddiiixxigg曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换新、老坐标

20、之间的变换和逆变换：新、老坐标之间的变换和逆变换：iiix= xxiiix = xxddiiixxiggdddiiiiiiixx =xxxddiiiiixxiggiiiigg再由：再由：ddiiixxiggdddiiiiiiixx=xxxddiiiiiixxggiiiigg曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换新、老坐标之间的变换和逆变换：新、老坐标之间的变换和逆变换：iiix= xxiiix = xxiiiiggiiiigg请自己证明：请自己证明：iijjggiijjgg曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换jjiixxiijjxx二者之间的关系：二者之间的关系：iiiiggiiiigg

21、iijiiijii gggjijijiji ggijjiii 曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换对比两大关系：对比两大关系：iiiiggiiiiggijjiii jiijgggiijjgggjkkijig g指标升降关系：指标升降关系：坐标变换关系：坐标变换关系：曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换基矢量的坐标变换：基矢量的坐标变换：基矢量本质上是曲线的切线矢量。基矢量本质上是曲线的切线矢量。由所有切线构成的切空间很重要！由所有切线构成的切空间很重要！陈省身陈省身非线性变换，非线性变换，一一定定存在存在Jacobi矩矩阵或逆矩阵阵或逆矩阵jiijgg(Jacobi矩阵矩阵)(Jaco

22、bi逆矩阵逆矩阵)jjiixxiijjxxiijjgg 协变转换系数协变转换系数 逆变转换系数逆变转换系数曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换矢量矢量分量分量的坐标变换：的坐标变换：jjiigg jiijjijiijjiijjijijivvvvvvand vvvggggiijjgg 与与 的性质：的性质：jiijkjjkjikkii jiijjijiijjijijijiijvvvvvvand vvvgggg曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换jijivvvggjjiijjiivv gvvgggjiijv gviijjvg vjiijjiijvvv gvgggijijvv gijjivg

23、 v曲线坐标系的坐标变换曲线坐标系的坐标变换= ( ,=1,2,3)kli jijijklggij gg度量张量度量张量分量分量的坐标变换：的坐标变换：= ( ,=1,2,3)i jijijklklggij gg= ( ,=1,2,3)klijijijk lggi j gg= ( ,=1,2,3)ijijijk lklggi j gg小注：对于矢径小注：对于矢径r，只有在直角和斜角直线坐标系下才，只有在直角和斜角直线坐标系下才可写作可写作 ，而在大多数曲线坐标系下不成立。，而在大多数曲线坐标系下不成立。iixrg并矢与并矢式并矢与并矢式并矢，又称张量积，形式为两个矢量并矢，又称张量积，形式为两

24、个矢量a与与b并写并写在一起，在一起，写作写作ab，一般来说，一般来说， ab ba 。并矢是从抽象的角度提出的，在许多物理和力并矢是从抽象的角度提出的，在许多物理和力学问题中都需要用到并矢。例如：应力张量学问题中都需要用到并矢。例如：应力张量 在在直角坐标系下写成分量形式：直角坐标系下写成分量形式： ，式中的，式中的 即是并矢。即是并矢。ij ijee ijee并矢还包括多于两个矢量的并矢，称为多并矢，并矢还包括多于两个矢量的并矢，称为多并矢，如如abc，abcd等。等。并矢与并矢式并矢与并矢式并矢的初等代数运算规律并矢的初等代数运算规律结合律：结合律：()()()mmmmaba babab

25、()()ab ca bcabc()()()()mnmnabab分配律：分配律：()a bcabac()ab cacbc()mmmabcdabcd()()ab cdacadbcbd求和求和：()mnmnababab并矢与并矢式并矢与并矢式缩并缩并缩并，即并矢中两个矢量进行点积。每缩并一次，缩并，即并矢中两个矢量进行点积。每缩并一次，并矢的阶数降低两阶。例如并矢并矢的阶数降低两阶。例如并矢ab和和cd之间的缩并：之间的缩并：()ab cdb c ad:()()ab cda c b d顺序缩并顺序缩并()()ab cdb c a d邻近优先邻近优先缩并缩并* * 弹性力学中的本构方程，就是张量之间的

26、缩并。弹性力学中的本构方程，就是张量之间的缩并。:E ijijklklE本构是客观的本构是客观的直角坐标系下分量形式直角坐标系下分量形式张量的基本概念张量的基本概念张量张量T一组有序数，满足一组有序数，满足坐标变换坐标变换和和指标升降指标升降下的下的不变不变性。性。* * 零阶张量即为标量，一阶张量即为矢量，二零阶张量即为标量，一阶张量即为矢量，二者均满足坐标变换下的不变性。者均满足坐标变换下的不变性。 ijijijjiijijjiijiji jijjii jijjiijTTTTTTTT Tg gg gg gg gg gg gg gg g其中，其中，iji jijijTT i jijijijT

27、T iijijijjTT jijjiijiTT 张量的基本概念张量的基本概念张量张量T一组有序数，满足一组有序数，满足坐标变换坐标变换和和指标升降指标升降下的下的不变不变性。性。 ijijijjiijijjiijiji jijjii jijjiijTTTTTTTT Tg gg gg gg gg gg gg gg g看指标升降的一个例子：看指标升降的一个例子：ijmnmnijmnijijmnmimjimjnTTTggg g TTg gg gggg gmnijimjnTg g TijmnimjnminjijmnijmnijmnTTTggg g TTg gg gggg gmnminjijTg g T

28、mnijimnjTg TgmnmijnijTg T g空间维数空间维数张量的基本概念张量的基本概念度量张量度量张量G* * 度量张量度量张量G的的缩并缩并 ijijjiijijijijijjiijiji jjii jijijijijjiijgggg Gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gijiijigGg gg g缩并后得到：缩并后得到：3ii张量的代数运算张量的代数运算张量的相等张量的相等若张量若张量T与与S在同一个坐标系中的逆变（或协变，或在同一个坐标系中的逆变（或协变，或混变）分量一一相等，即：混变）分量一一相等，即： ( , ,1,2,3)ijijT

29、Si j则此两个张量的其它一切则此两个张量的其它一切分量均一一相等：分量均一一相等：ijijTSjjiiTS( , ,1,2,3)i j且任意坐标系中的一切且任意坐标系中的一切分量均一一相等：分量均一一相等： ( , ,1,2,3)k lk lTSk l 张量的代数运算张量的代数运算张量的相等张量的相等张量张量T与与S相等的实体写法为：相等的实体写法为：TS张量的加法张量的加法若将两个张量若将两个张量T与与S在同一个坐标系中的逆变（或协在同一个坐标系中的逆变（或协变，或混变）分量一一相加，则得到一组数，它们变，或混变）分量一一相加，则得到一组数，它们是新张量是新张量U的逆变（或协变，或混变）分

30、量：的逆变（或协变，或混变）分量： ( , ,1,2,3)ijijijTSUi j实体写法为：实体写法为：TSU张量的代数运算张量的代数运算张量的乘法张量的乘法* *标量与张量相乘标量与张量相乘 ( , ,1,2,3)ijijkTUi jkTU分量形式分量形式实体实体形式形式* *张张量与张量并乘量与张量并乘 ( , , ,1,2,3)ijlij lkkT SUi j k lTSU分量形式分量形式实体实体形式形式()TSST* *张量的缩并张量的缩并许多许多张量的张量的不变量不变量是由是由缩并缩并而得到的！而得到的！第一主不变量第一主不变量张量的代数运算张量的代数运算张量的乘法张量的乘法* *

31、张量的缩并张量的缩并例如四阶张量例如四阶张量 对对j、k缩并得到：缩并得到：ijklklijTTg g g gijklijlklijjliTTSggg g二阶张量的二阶张量的缩并：缩并：空间维数空间维数ijiijigGg gg g3ii缩并缩并ijjiTTg g缩并缩并ijijiifTT张量的代数运算张量的代数运算张量的张量的点积点积张量的点积是指两个张量张量的点积是指两个张量T与与S先并乘后先并乘后缩并的运算缩并的运算例如四阶张量例如四阶张量T与三阶张量与三阶张量S的点的点积：积：ijklklijTTg g g grsttrsSSg g g并并乘得到七阶张量乘得到七阶张量：ijrskltkl

32、tijrsT STSg g g g g g g缩并一次得到缩并一次得到五五阶张量阶张量：ijrskltijrkltkltijrskltijrT ST STSg g g g g g gg g g g g张量的代数运算张量的代数运算张量的张量的双双点点积积张量的双点积是指两个张量张量的双点积是指两个张量T与与S先并乘后再进行两先并乘后再进行两次次缩并的运算缩并的运算例如四阶张量例如四阶张量T与三阶张量与三阶张量S的两种双点积：的两种双点积：并联式并联式: ijrskltkltijrsijkltijtkltijtijT ST SWWT Sg g g g g g gg g gg g g串串联式联式 i

33、jrskltkltijrsijlktijtkltijtijT ST SZZT Sg g g g g g gg g gg g g张量的代数运算张量的代数运算张量的张量的转置转置四阶张量四阶张量T对第对第1，2指标的转置张量为：指标的转置张量为：ijklklijTTg g g gjiklklijSSg g g g对第对第1，3指标的转置张量为：指标的转置张量为：jiklk lijRRg g g g一般来说一般来说TSR张量的张量的转置转置调换指标，变换形式调换指标，变换形式只调只调前后，不调上下前后，不调上下张量的代数运算张量的代数运算张量的张量的对称对称化与反对称化化与反对称化 若四阶张量若四阶

34、张量 满足满足ijklklijTTg g g gTjiklklijTTg g g g则称张量则称张量T对其对其1，2指标是对称张量，用指标是对称张量，用 来表示来表示其转置张量其转置张量 ，则，则 。ijjiklklTT 若四阶张量若四阶张量 满足满足ijklklijTTg g g g则称张量则称张量T对其对其1，2指标是反对称张量，用指标是反对称张量，用 来表来表示其转置张量示其转置张量 ，则，则 。ijjiklklTT TTTTTTTTjiklklijTTg g g gT TT张量的代数运算张量的代数运算张量的张量的对称对称化与反对称化化与反对称化可立即得出反对称张量的对角分量均为零（同为

35、可立即得出反对称张量的对角分量均为零（同为协变或逆变指标）协变或逆变指标） 对称化运算对称化运算T1()2STT 反对称化运算反对称化运算T1()2ATT对称对称结构加任意载荷，均结构加任意载荷，均可分为对称和反对称。可分为对称和反对称。两种两种运算对任意张量均成立运算对任意张量均成立pF2pF2pF2pF2pF对称对称反对称反对称张量的代数运算张量的代数运算张量的商法则（判断是否为张量）张量的商法则（判断是否为张量）若张量若张量TR S，已知，已知 为张量，则为张量，则 必为张量。必为张量。SR具体具体例子请见例子请见张量分析张量分析中中33 35页。页。张量的张量的矢积矢积置换符号与行列式

36、的展开式置换符号与行列式的展开式置换符号，又称置换符号，又称Ricci符号，是把有序符号，是把有序变换群表达到最简单的排列（置换）符号。变换群表达到最简单的排列（置换）符号。1 , ,1 , ,0 , ,ijkijki j keei j ki j k 顺顺序序排排列列逆逆序序排排列列非非序序排排列列对于二阶对于二阶张量而言，其混变分量与矩阵代数、行列张量而言，其混变分量与矩阵代数、行列式运算相关式运算相关。111123222123333123det()mnaaaaaaaaaaa转下页转下页顺序排列顺序排列123123张量的张量的矢积矢积置换符号与行列式的展开式置换符号与行列式的展开式12323

37、1312123123123132213321123123123a a aa a aa a aa a aa a aa a a顺序排列顺序排列123逆序排列逆序排列123利用置换利用置换符号可写成符号可写成123ijkijkaa a a e进一步可写成进一步可写成 iiilmnijklmnjjjlmn ijklmnkkklmnlmnijkaaaaa a a e eaaaaaaa置换置换张量张量 的分量的分量 注：注： 和和 都不都不是标量，但是是标量，但是是置换张量的分量是置换张量的分量张量的张量的矢积矢积置换张量置换张量（Eddington张量）张量）与与 等式等式对于三维空间中对于三维空间中正交正交标准化基标准化基 ，有，有,ijke e e ( , ,1,2,3)ijkij