定积分换元法和分部积分法讲义

1、定积分换元法和分部积分法讲义2在在。数数均均连连续续，故故定定积积分分存存由由条条件件，两两端端的的被被积积函函证证 而而)(tFdtd )()(ttF )()(ttf dtttf)()( )(tF )()( FF )()(aFbF 的的一一个个原原函函数数，且且是是)()()(ttftF badxxf)( dtttf)()()()()( )()()()( aFbFdxxfxfxFxfxFba 故故的的一一个个原原函函数数，即即是是设设3 )0( 1 022 adxxaa计算计算例例4在应用换元公式计算定积分时在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题应注意以下几个问题:条条件件；必必须

2、须满满足足定定理理中中的的两两个个所所选选择择的的代代换换式式)()1(tx ；限限上限换上限，下限换下上限换上限，下限换下记住记住换元积分的关键是换限换元积分的关键是换限 )2(.)( )( )()()()()3(然后相减即可然后相减即可上、下限代入上、下限代入的的的函数，而只须直接将的函数，而只须直接将还原成还原成求不定积分那样把求不定积分那样把后，不必象后，不必象的一个原函数的一个原函数求出求出ttxttFtttf 5:使用使用换元公式也可以反过来换元公式也可以反过来 babaxdxfdxxxf)()()( )( )(),( )()(badttfxt 6 edxxx1ln2 2计算计算例

3、例7可这样解：可这样解：出新变量，如上例也出新变量，如上例也此种方法可以不明显写此种方法可以不明显写不不变变更更。，定定积积分分的的上上、下下限限就就注注：当当不不引引入入新新变变量量时时25)49(21)ln2(21)ln2()ln2(ln2 1211 eeexxdxdxxx解解8 053.sinsin 3dxxx计计算算例例9 aaaaadxxfaaxfdxxfdxxfaaxf0)( ,)(2)(2)( ,)(1 40上连续且为奇函数，则上连续且为奇函数，则在在）若）若（上连续且为偶函数，则上连续且为偶函数，则在在）若）若（证明证明例例注注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的利用

4、此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算定积分的计算.10例例5dxxxxdxxxxx 1122222427)11()2( 52cos)(arctan)1(计算计算解：解：)1(. 0 原原式式被被积积函函数数为为奇奇函函数数，则则)2( 1122)11(dxxxx 11211211dxxdxxx奇函数奇函数偶函数偶函数 10212dxx四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积2 11,)(sin2)(sin 2; .)(cos)(sin 1,0,1)( 6002020 dxxfdxxxfdxxfdxxfxf）（）（证明证明上连续上连续在在若若例例.cos1sin02 dxxxx

5、并并由由此此计计算算12定积分的换元法小结定积分的换元法小结1. 基本换元规律与不定积分相同基本换元规律与不定积分相同.2. 定积分的换元法得到新变量的原函数后定积分的换元法得到新变量的原函数后,无须回代无须回代. 但必须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限.13二二 定积分的分部积分法定积分的分部积分法)( ,)(),(uvvuuvbaxvxu 上上具具有有连连续续导导数数，则则有有在在区区间间设设 bababadxuvvdxudxuv)( 于于是是 bababadxuvvdxuuv 即即 bababavduuvudv 所所以以或或 bababavdxuuvdxuv 分分部部积积分分公公式

6、式这这个个公公式式就就是是定定积积分分的的14注注 用分部积分法计算定积分用分部积分法计算定积分, ,因没有引入新的变量因没有引入新的变量, , 故在计算过程中自始至终均不变限故在计算过程中自始至终均不变限, ,u 、v的选择的选择 与不定积分的分部积分法相同与不定积分的分部积分法相同. .15 210arcsin 1xdx计算计算例例dxdvxdxduxvx u ,1,arcsin 2解解22102102101arcsinarcsinxdxxxxxdx 21022121621xdx )1()1(21122210212xdx 210212)1(12x 12312 16 10 2dxex计算计算例例，时时，；当当时时，当当，且且，则则令令解解11002 txtxtdtdxtx于是 10101022ttxtdedttedxe 1010)(2dtetett2 210 tee换元法换元法分分部部积积分分法法17)2( 20sin xdxex 20cos xdex 2200coscos xdxexexx 20sin1 xdexsin)sin( 12200 xdxexexx 202sin1 xdxeex故故 20sin xdxex)1(212 e18例例4 4.)(11 , 0)(10)( dxexfxxfx