第10章 能量法-2013-3

1、 10.110.1 杆件的应变能杆件的应变能 10.210.2 应变能密度应变能密度 10.310.3 互等定理互等定理 10.410.4 卡氏定理卡氏定理 10.510.5 虚功原理虚功原理 10.610.6 莫尔定理与图乘法莫尔定理与图乘法能量法能量法第第1010章章 10.610.6 莫尔定理与图乘法莫尔定理与图乘法-莫尔积分，即莫尔法，单位力法，莫尔积分，即莫尔法，单位力法，单位荷载法。单位荷载法。ANiNiiiiiiiiiiiiipiF FM MTTlllEAEIGINiNiiiiiiiiiiiiiiiipiF FM MTTlllEAEIGI NiNiiiiiiiiiiiiiiiip

2、iF FM MTTlllEAEIGI ABABAB11dxEIMMlBA11dxEIMMlBA例例: 用莫尔积分求图示悬臂梁用莫尔积分求图示悬臂梁A点处的竖直位移和转角。设梁的点处的竖直位移和转角。设梁的抗弯刚度为抗弯刚度为EI。解（解（1）荷载引起的弯矩方程荷载引起的弯矩方程 lqxxM6)(3（2）为求悬臂梁）为求悬臂梁A点处的竖直点处的竖直位移，在位移，在A点处加一单位力，由点处加一单位力，由单位力所引起的弯矩方程为：单位力所引起的弯矩方程为：xxM)(由莫尔积分得由莫尔积分得A点处的竖直位移为点处的竖直位移为 dxEIxMxMlA)()(EIql304 A为正，说明为正，说明 A的方向

3、与单位力的方向相同的方向与单位力的方向相同 dxxlqxEIl03)(6(1（3）为求悬臂梁）为求悬臂梁A点的转角，在点的转角，在A点处加一单位力偶矩，点处加一单位力偶矩，由单位力偶矩所引起的弯矩方程为：由单位力偶矩所引起的弯矩方程为：1)(xM由莫尔积分得由莫尔积分得A点的转角为：点的转角为： dxEIxMxMlA)()( A为负，说明为负，说明 A的转向与单位力偶矩的转向相反的转向与单位力偶矩的转向相反 dxlqxEIl031)6(1EIql243例：刚架例：刚架ABC的的C为固定端，为固定端，AB段作用均布载荷段作用均布载荷q，刚，刚架各段的抗弯刚度均为架各段的抗弯刚度均为EI，求自由端

4、，求自由端A点的垂直位移和点的垂直位移和B截面的转角。（不计轴力和剪力）截面的转角。（不计轴力和剪力）解：解：(1)建立图示坐标系，在均布载建立图示坐标系，在均布载荷荷q作用下刚架的弯矩为作用下刚架的弯矩为: )0(21)(12111axqxxM AB段：段：)0(21)(2222axqaxM BC段：段：(2) A点处的垂直位移：在点处的垂直位移：在A点处加一点处加一单位力单位力 )0()(222axaxMAB段：段：BC段：段：)0()(1111axxxMaaAdxEIxMxMdxEIxMxM002222211111)()()()(aadxaqaEIdxqaqxEI00221221)(21

5、(1)21)(21(1EIqa854 由莫尔积分得由莫尔积分得A点处的垂直位移为：点处的垂直位移为：(3) B截面点处的转角：截面点处的转角：在在B截面点处加一单位力偶矩截面点处加一单位力偶矩 )0(1)(222axxMAB段：段：BC段：段：)0(0)(111axxM由莫尔积分得由莫尔积分得B截面处的转角为：截面处的转角为：aaBdxEIxMxMdxEIxMxM002222211111)()()()(EIqadxqaEIdxqxEIaa2) 1)(21(1)0)(21(130022121杆长度例：图示桁架结构，各杆具有相同的抗拉例：图示桁架结构，各杆具有相同的抗拉(压压)刚度刚度EA，试求试

6、求A、D两点之间的相对位移。两点之间的相对位移。 解解( (1)1)求出求出载荷载荷P P和和2 2P P所引起的各杆内力所引起的各杆内力(2)在在A、D两点上沿且两点上沿且AD连线方向，连线方向，加一对单位力，加一对单位力，且求出由此所产生的且求出由此所产生的各杆轴力各杆轴力NxFNxFlFFNxNxP21Pl707. 0P221Pl414. 1P21Pl707. 021ABlAClBDlCDlCBl 2P2Pl2PllFFNxNx2001EAPllAEFFiiiiNiNiAD2杆长度NxFNxFlFFNxNxP21Pl707. 0P221Pl414. 1P21Pl707. 021ABlAC

7、lBDlCDlCBl 2P2Pl2PllFFNxNx2001 图示结构中，杆的弯曲刚度图示结构中，杆的弯曲刚度 均为均为EI，FP、 EI均已知。均已知。求：求：A、B两点的相对位移两点的相对位移(不考虑轴向力和剪力的影响不考虑轴向力和剪力的影响)ili zi zi ziABxEIMMd231ili zi zi ziABxEIMMd2312 53233PEIRFAB图乘法莫尔法应用于直杆时的图解解析法图乘法莫尔法应用于直杆时的图解解析法bM(x)dMAMACxcCMCM例例 题题 刚架受力如图示，已知：刚架受力如图示，已知：横杆弯曲刚度为横杆弯曲刚度为2EI，竖杆，竖杆弯曲刚度为弯曲刚度为EI

8、、拉伸刚度为、拉伸刚度为EA、载荷集度、载荷集度q、长度、长度l。求：求：B点的水平位移点的水平位移载荷系统载荷系统例例 题题求：求：B点的水平位移点的水平位移单位力系统单位力系统载荷系统载荷系统例例 题题载荷系统内力图载荷系统内力图例例 题题单位力系统内力图单位力系统内力图)(24174EIqlEIllql23221221iiciiIEMAMEIlql228322EIllql322122例例 题题图形互乘图形互乘EAlql12021NNiiCiiIEFAFEAql22例例 题题图形互乘图形互乘21iiCiiBIEMA21NiiCiiIEFAEIql42417EAql222N1712)()(A

9、lIMF22N1711712)()(lhAlIMF例例 题题例例 题题 平面结构空间受力，平面结构空间受力，AB和和BC两杆具有相同的刚度，且两杆具有相同的刚度，且EI、GIP、l、F等均为已知。等均为已知。求：求：1. A端的铅垂位移；端的铅垂位移； 2. A端绕端绕BC 轴线的轴线的 转角。转角。例例 题题单位力系统单位力系统确定确定A端绕端绕BC 轴线的转角轴线的转角 的单位力系统的单位力系统确定确定A端铅垂位移单位力系统端铅垂位移单位力系统载荷系统载荷系统例例 题题载荷系统内力图载荷系统内力图载荷系统引起的弯矩图载荷系统引起的弯矩图载荷系统引起的扭矩图载荷系统引起的扭矩图载荷系统载荷系

10、统例例 题题单位力系统内力图单位力系统内力图单位力系统引起的弯矩图单位力系统引起的弯矩图单位力系统引起的扭矩图单位力系统引起的扭矩图确定确定A端铅垂位移单位力系统端铅垂位移单位力系统例例 题题单位力系统内力图单位力系统内力图例例 题题单位力系统内力图单位力系统内力图单位力系统引起的弯矩图单位力系统引起的弯矩图单位力系统引起的扭矩图单位力系统引起的扭矩图确定确定A端绕端绕BC 轴线的转角轴线的转角 的单位力系统的单位力系统例例 题题图形互乘弯矩图互乘图形互乘弯矩图互乘EIFl33求求A端的铅垂位移端的铅垂位移21iiCiiIEMAEIllFl342221EIllFl3221例例 题题图形互乘扭矩图互乘图形互乘扭矩图互乘P33FlGIPFl2l ( l )GI P2ixCi1iiA MG I0求求A端的铅垂位移端的铅垂位移A端的铅垂位移端的铅垂位移例例 题题 3 3例例 题题图