理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动

1、1第六章 理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动21 流体微团运动法分析2 速度环量和漩涡强度3 速度势和流函数5 基本的平面势流6 有势流动叠加7 理想流体的漩涡运动3理想流体的流动分有旋运动无旋运动位势流动：无旋运动由于存在速度势和流函数，故又称位势流。461 流体微团运动分析流体微团的运动：平移 转动 变形转动平移5变形角变形线变形6一.平移如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d ，经过dt时间后该四边形移到 a、b、c d，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。xabcddxdxdydybacdy7二.线变形在t时刻a、b、c、d各点

2、的速度如图，由于各点的速度不同，经过t时刻后由b点的 和d点 的作用下，会产生线变形。 udxxvdyyxabcdyuvu+ udx xv+ vdx xdy uudx+u xy+u+ udy ydx vvdy+v yx+v+vdyybacd udxdt x vdydt y8定义：单位长度、单位时间内线变形称为线变形率，用 表示。由定义有：xudxdtuxdxdtxyvyzwz三个方向的线变形9讨论b点的 和d点的 作用 ，经时间dt后，由于这两个速度增量，使原图形发生角变形。 三.角变形vdxxudyybacdudydtyvdxdtxabcdyuvu+ udx xv+ vdx xdy uudx

3、+u xy+u+udyydx vvdy+v yx+v+vdyy10定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度称角变形速度，用 表示。由定义有：()()1()222zuvdtuvyxdtdtyx1()21()2yxuwzxwvyz为三个平面内的角变形11四.转动：假设d点和c点的速度增量在x方向是负的，则经过dt时间后，a、b、c、d绕a点转过一个角度dbacvdxdtxudydtyabcduvu+ udx xv + vdx xdy uudx+u xy-u-udyydx vvdy+v yx+v+vdyy12udydtuydtdyyvdxdtvxdtdxx 图中定义：单位时间内转过的平均角度为旋转角

4、速度，以表示。()2zdt代入和131()21()21()2zyxvuxyuwzxwvyz有或xyzijk当 称无旋流或势流。0 0称有旋流或涡流。14流体运动是否有旋不能只看其运动轨迹，而要看它是否绕自身轴转动。例：15uxvy uyvx 流动是否存在？是否有旋？例：流动是否存在？是否有旋？16例：如图所示，流体各个微团以速度 ,0uky vw解：1()22zvuKxy 1()02xwvyz1()02yuwzx平行于x轴作直线流动，试确定流动是否有旋。有旋运动。172 速度环量和旋涡强度一.涡线、涡管1.涡线：与流线概念相似，涡线也是一条曲线，在给定瞬时 t，这条曲线每一点的切线与该点流体微

5、团的角速度 的方向重合。由涡线定义得涡线方程：xyzdxdydz182.涡管 在给定瞬时，在涡量场中取一不是涡线得封闭曲线，通过曲线上每点做涡线，这些涡线形成一个管状表面，称为涡管，涡管中充满着做旋转运动的流体。沿涡管长度方向旋转角速度 是变化的。19二.漩涡强度： 在涡量场中任取一微元面积 ， 上流体质点的旋转角速度向量为 ， 为 的法线方向，微元面积上的漩涡强度用 表示dAdAdAdIn定义：ndAnA2cos()2ndIn dAdA 对整个表面积A积分,总的漩涡强度为：202nAIdA当 在A上均布,则有：n2nIAnA称为涡通量漩涡强度 等于2倍的涡通量。I21三、速度环量定义：假定某

6、一瞬时，流场中每一点的速度是已知的，AB曲线上任一点的速度为 ，在该曲线上取一微元段为沿微元线段 上的环量。V V ds ds cosdVdsVdsds 与 之间的夹角为，则称ds ABcosVV 22曲线AB上的环量为： cosBBABAAVdsVds cosLLVdsVds若曲线AB是封闭曲线，则环量为：LV 23将矢量 、 分别 表示：V ds Vuiv jwkdsdxidy jdzk LLVdsudxvdywdz故对封闭周线 L的环量为：环量是一个标量，它的正负取决于速度方与线积分的方向。24当速度方向与线积分方向同向时取正，反向时取负。若是封闭周线，逆时针为正，顺时针为负。例：不可压

7、缩流体平面流动的速度分布为 ，求绕圆 的速度环量。6 ,8uy vx 221xy25解：68LLudxvdyydxxdy 积分路径在圆上，有cos ,sinxy220022220022006 sincos8 cossin6 sin8 cos116(sin 2 )8(sin 2 )242414dddd 26四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋涡强度 ，等于该面积的边界L上的速度环量。 2nLIdAudxvdywdzIStokes law 将对涡量的研究转化为对速度环量的研究。因为线积分比面积分要简单，且速度场比涡量场容易测得。271.微元面积的 stokes law 证明：BCDdx

8、dyAAuAvABuudxuxAABvvdxvxAcuuudxdyuxyAAAcvvvdxdyvxyADuudyuyAADvvdyvyxy取一微元矩形的封闭周线，各点速度大小如图：28 沿A、B、C、D的速度环量为 ABCDABBCCDDAddddd 由于各点速度不等，取各边始端点的速度的平均值计算环量：11()()2211()()22ABCDABBccDDAduudxvv dyuudxvvdy将各点速度代入整理，有：29 stokes 定理得证。()AAABCDvuddxdyxy（水平面）2zdA2zddAdI 2.有限单连域的 stokes law:将微元面积的结果推广到有限大面积中。把有

9、限大面积划分成无数个微元面积，1()2zvuxy30求出每条边 ，然后再求和，内周线上的环量相互抵消，只剩下沿外周界线 L的环量。dL31此式即为有限大单连域 stokes 定理。2LinAddA 2LnALdAIudxvdywdz 即：此定理也可用于复连域：122LLnAdA32L1L2AStokes law 说明，速度环量不仅可以决定漩涡的存在，还可衡量封闭周线所围区域中全部漩涡的总涡强。环量为零，即总涡强为零；环量不为零必然存在漩涡。反之，无旋，环量为零。33问题：沿封闭周线L的环量为零，是否在所围面积内流体各处都处于无旋状态？答：否 只有在区域内任一条封闭曲线上的速度环量皆为零，则区域

10、内的旋涡强度必为零，流动为无旋运动。34例1：证明平行流的环量为零。流体以定常速度 水平运动，在流场中任取一封闭周线1234，求0u0u0u1234?若封闭周线取为圆？123435例2：求有间断面的平行流的速度环量？1234Lbu1u236例3：龙卷风的速度分布为,0rVrV20,0rrVvr 试根据 stokes law 来判断是否为有旋流动。0rr0rr时时如图，当 ，流体以象刚体一样转动，称风眼或强迫涡（涡核）。0rr37在 区域，流体绕涡核转动，流体质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转称之为自由涡或势涡。0rr自由涡rr0强制涡复合涡38分别讨论自由涡和强制涡。0rr在 区域内任取一点p

11、，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量:ABCDr1r2r0p2211222100()2ABCDAABBCCDDAABVrCDVrrrA 1V2V强制涡：39式中 为扇形ABCD的面积2221()2Arr20ABCDAA即 有旋由于p是任取的，故这一结果可推广到强制涡中任一点，由此可见，强制涡是有旋流。讨论自由涡：0rr在 区域内任取一点p，过p点做任一封闭曲线ABCD，沿ABCD做环量40ABCDr1r2r0p221122002121000ABCDAABBCCDDAABVrCDVrrrrrrr 由于ABCD是任取的，故此结论可推广到自由涡中任一区域。结论：龙卷风的风眼是有旋的，风眼

12、外是无旋的。2V1V41例：设二元流的速度为：22222323uxyxyxvyxxyy问：1）流动是否存在？ 2）流动是否有旋？ 3）求沿 的和该周线所围面积内的漩涡强度 。222xyaI42例：已知速度场 求以236uxyvxyx 11xy 所围正方形的。111143例：设在（1，0）点置有0的涡，在（1，0）点置有0的旋涡，求沿下例路线的。001）2）3）4）224xy22(1)1xy22xy 0.50.5xy 443 速度势和流函数一、平面流动二、速度势函数1.势函数存在的条件：垂直与z轴的每个平面流动都相同，称平面流动。对无旋流0此条件可写成：450wvyz0uwzx0vuxy此条件称

13、柯西黎曼条件由高数知识可知，柯西黎曼条件是使udxvdywdz成为某一个函数( , , , )x y z t全微分的充要条件，即46而当 t 为参变量，uxvywz( , , )x y z的全微分为ddxdydzxyz比较两式有：柱坐标1rzVrVrVzdudxvdywdz47 无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有势函数存在。故理想流体无旋流也称势流。把 称为速度势函数简称势函数( , , )x y z用势函数表示速度矢量： Vuivjwkijkxyz482、势函数的性质1）流线与等势面垂直证：令 为等势面，在其上任取一微元线段 ， 上的速度为 ,求两者点积( , , )x

14、y zconst ds dsVV dsc() ()V dsuiv jwkdxidy jdzkudxvdywdzdxdydzxyzd 49在等势面上， 故 即 速度与等势面垂直，由于速度矢量与流线相切，故流线与等势面垂直。c0d0V ds 2）势函数对任意方向L的偏导数，等于速度矢量在该方向的的分量。lVl3）与之间的关系50 由此可知：在势流中，沿任意曲线AB的环量等于曲线两端点势函数的差，与曲线的形状无关。 BABABABBAAudxvdywdzdxdydzxyzd51若函数是单值的，则沿任一封闭周线 k 的速度环量等于零。0kkkudxvdywdzd4）在不可压流体中，势函数是调和函数0u

15、vwxyz由连续性方程：有： 2222220 xxyyzzxyz满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。52三、流函数1、流函数的定义：在不可压流体的平面流中，应满足 0uvuvxyxy即由高数知识可知，此式是使 成为某一个函数 全微分的充要条件，即vdxudy( , )x ydvdxudy 53ddxdyxy而 的全微分又可表示为：( , )x y比较两式有 uyvx 1rVrVr极坐标称为流函数。只要流动存在，无论而dvdxudy 54是否有旋，是否为理想流体，都必定存在流函数。2、流函数的特性：1）流函数 与流线的关系：const的等值线是平面上一条流线。证明：由流线方程： 0dxdyvdxu

16、dyuv55 uyvx而即0dxdyxy 0dc故 时 c 是流线方程的解,它是平面上一条流线。注意：有流动就有流线存在，而流函数仅存在于平面流动中。c2）流函数 与流量Q的关系： 流过任意曲线的流量等于曲线两端点流函数的函数值之差。56BAQ流线ABBAV由此结果可知： 两流线之间流量保持不变，与曲线AB的起始点无关，若AB本身就是一条流线，则通过AB的流量为零。若AB是一条封闭周线，通过AB的流量也为零。573）流函数与势函数的关系：对不可压平面势流，流函数和势函数同时存在，它们之间关系是a:uvxyyx b: 等线与等线垂直前已证明，流线与等势面垂直，而 的线是流线故等线与等线垂直。co

17、nstcc流网58代入 4）在不可压平面无旋流中，流函数也是调和函数。对平面无旋流00zvuxyuvyx 将有：22220 xy满足拉普拉斯方程，故 是调和函数。59例1： 不可压缩平面流动的速度势为 ，求在点（2，1.5）处速度的大小。22xy解 由速度势的定义求出 2224235uxxvyyVuv60例2：设二元流动的速度场为22222323uxyxyxvyxxyy求 1)流动是否存在？是否有旋？ 2）？ 3）？ 4）求沿 的和该周线所围面积内的漩涡强度 。222xyaI61例3：已知流场的流函数xy试问 1) 是否存在 ？ 2）求出通过 A(2,3)和 B(4,7)任意曲线的流量和沿曲线

18、的环量。62例4：已知uyvx 试问 1)流动是否存在？ 2）流动是否有势？ 3）？ ？ 4）求沿 的及通过此曲线的流量Q。222xyR636-4 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示一、复位势与流函数、势函数间的对应关系流函数与势函数的关系,xyyx 这正是柯西-黎曼条件。复变函数的理论， 和 可以组成以复变量 为自变量的一个复变函数。zxiy( )( , )( , )W zx yix y64它的导数为dWiuivdzxx 被称为流动的复位势，实部为势函数，虚部为流函数。 被称为复速度，实部为速度在x方向的分量，虚部为速度在y方向的分量的相反数。( , )W x ydWdz65二、复位势的

19、性质1. 两点的复位势之差是复势，其实部是两点连线上的速度环量，虚部是通过两点连线的流量。2. 复位势允许加任一复常数而不改变所代表的流动。3. 两个不可压缩流体的平面无旋流动的叠加，仍然为平面无旋流，其复势为原两个复势之和。lllldWdzdWdidiQdz 66三、势流叠加原理12322123222123()0 123V VV VV VV V势函数速度675 基本的平面有势流动势流叠加原理:123 由于函数和函数都是调和函数，由调和函数的性质可知，调和函数的线性组合仍是调和函数，故可用123来描述一个新的有势流动即函数和函数可叠加，叠加后仍是无旋流。68一、均匀直线流动 平行流有几种情况：

20、如图 xVyVyxVvuxyVc=c69讨论一般情况：1、速度场VcosuVsinvV可分解成2、与由cossinddxdyudxvdyxyVdxVdy积分有:703、求流线(cossin)(cossin)VxyVyx同理:令 有c(cossin)yxc解得:sincosyx流线是斜线斜率是sincos71pzcg点z相同，有 即全流场压力为常数pc如0，流线平行与x轴,如90流线平行与y轴，uVvo0uvV4、压力分布平行流中各点速度相等，任取两点写伯努利方程，都有在水平面上，各72二、平面点源和点汇73点源：单位时间内通过一半径为 的圆周流出流量 当 时保持Q不变，则这种流动称为点源流（若

21、流入，称点汇），Q称为点源（汇）强度。0r02rQrv00r1.点源的速度场10 ,rVVrr02rQrV由2rQVr与r 成反比。 为源， 为汇。rV0Q0Q只有径向流动742.点源势函数和流函数由2rrddrdV drrV drQV drdrr0积分22lnln22QQrxy 当const，即 r=const，等势线为一族同心圆。当 ， 故源点是奇点，不讨论。0rrV75流函数由22rrddrdV drrV drQQrV drddr 0积分22QQyarctgx const 为流线，即=const，流线是半射线。等线与等线正交。763.点源的压力分布2222rpVpVgggg在源上任取一点

22、与无穷远处写能量方程将 ， 代入 rV22218Qppr有0VP与r成抛物线正比。r p ; r p0,0rpprrp r0rpp77三、点涡点涡：无限长的直线涡束所形成的平面流动。除涡线本身有旋外涡线外的流体绕涡线做等速圆周运动且无旋。 I 0rV这种流动也称纯环流。若设点涡的强度为 则在半径r处由点涡所诱导的速度为 而 V781.速度分布：02rVVrVrdscc因为由环量定义202LLV dsV rdV rdrV 2Vr7922yarctgx2.势函数流函数：2rddrdV drrV drrV dd积分令const，即 const，等势线是半射线。0同理可求：802rddrdV drrV

23、 drV drdrr 积分22lnln22rxy 令const 为流线，即r const ，流线是圆周线。如图示。3.压力分布0此种流动是复合涡的情况，单独讨论。81四：二元涡所谓二元涡就是前面讨论的强迫涡加自由涡，也即复合涡的问题。rr0强制涡复合涡自由涡821.速度分布前面已讨论过涡核内外的速度分布： 与半径成正比如图。由于 这部分流体有旋。V0z与半径r成反比。V,0rVrV涡内：0rVVr涡外：02rVVr在 时0rr002Vrr0r当 不变 处的 为常数V83842、压力分布：自由涡：由于是无旋流动，在自由涡中任取一点与无穷远处写伯努利方程：2222VpVpgggg忽略位能若0V22

24、ppV则将 代入2Vr228ppr在自由涡中 p与r 成平方关系,(抛物线）85;,rprpp 越靠近涡核，压力越小，当 时0rr20022028Vppppr2002Vpp涡核边缘处与无穷远处的压力差为86涡核内的压力分布涡核内是有旋的，能量方程只对流线成立，故只能从原始的运动方程入手导出压力分布，其结论为：220022VVpp2002Vpp将代入22002VppV即在涡核内压力分布也是抛物线87此时 是常数，0VVr,rp若设涡核中心点为c，当00rV202002cppVVp漩涡中心点的压力涡核边缘与涡核中心的压降为2002cVpp与自由涡压降相等88由以上推导可知：涡核中心的压力低于无穷远

25、处的压力，差值为20cppV在漩涡区内，压力急剧下降，在漩涡中心产生一个很大的吸力，对涡外的物体具有抽吸作用。896 有势流动叠加一、点源流和直线流的叠加1、势函数流函数：12ln2QV xr122QV yV为新的有势流903、驻点：2、速度场222QxuVxxy222QyVyxy令00uv解得驻点 20QxVy在x负轴上4、流线： 令 c 得流线91sin222QQQV yV r0,2yQc2QV yc解得流线方程为：()2sinQrV当给出一个角，对应一个距离r，如图92驻点93过驻点的流线上几个特殊点的确定：由数学知识lim()1sin故2QrV过驻点 0r 24QrV此时 最大开口2Q

26、yV当当当上下对称()2sinQrV94由于流线不能相交，此条流线可以模拟有头无尾的半物体的固体边界线。二、点涡点汇（螺旋流）ln22Qr ln22Qr 势函数：流函数：/Qrc e流线方程：95 等势线族和流线族是两组互相正交的对数螺旋线族，故称为螺旋流。96三、偶极子流 将强度为Q的点汇放在坐标原点的右边，强度为Q的点源放在坐标原点的左边，lnln(lnln)222ABABABQQQrrrr()2ABQ97当两点无限靠近所形成的流动称偶极流。1、函数、函数222cos2 ()2MxMrxyr222sin2 ()2MyMrxyr式中 M 称为偶极矩，为常数.98分别令 c 和 =c 可得流线

27、和等势线。如令=c 有:222 ()Mycxy解得：222()()44MMxycc()4Mc(0,)4Mc(0,)4Mc这是圆心在y轴上，与原点相切，半径为 的圆，圆心在99=ccxy这种流动就好像流体在一个圆柱里面流动，故用偶极流来模拟圆柱表面。100四、均匀流绕圆柱体无环量流动将均匀直线流和偶极子叠加,可模拟平行流绕圆柱体的流动.零流线1011.流函数和势函数势函数流函数221(1)2MV xVxy221(1)2MV yVxy令 称为零流线，有0221(1)02MV yVxy解得：2202MyxyV102零流线是由x轴和以原点为圆心，半径为 的圆组成，由于流线不能相交，故可把零流线模拟圆柱

28、的固体表面。02rMV02rMV由有202MV r202cos (1)rV rr202sin (1)rV rr代入、表达式：1032、速度场202(1)cosrrVVrr2021(1)sinrVVrr 在圆柱面上0rr0rV 2sinVV 径向速度为零，说明流体没有脱离圆柱表面，紧贴在柱面上。切向速度满足正弦函数关系，与半径无关。104当 和 时，00rVV0,即 是驻点2 当 时，max02rVVVV柱面上的速度以 x 轴 y 和轴对称。3、环量2220200(1)sinrVdsV rdVrdr 在流场中围绕圆柱体任取一封闭周线做环量：10522020(1)sin0rVrdr 故称平行流绕圆柱的流动为无环流。4、压力分布在圆柱面上任取一点与无穷远点写能量方程：2222VppVgggg式中2sinVV 22(14sin)2ppV故106用压力系数 来表示压力分布pc221 4sin12pppcV pc与 r无关在柱面上，当 和 时，01pc maxminppVV当 时，2 3pc minmaxppVV压力按正弦函数分布，上下对称（x轴）107左右对称（y轴），在圆柱面上的合力为零。如图：0rddsrd0dFpr d 箭头朝外 为负，箭头朝里 为正。pcpc108在