第四节 行列式按行(列)展开

1、第四节第四节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一般说来，低阶行列式的计算要比高阶行列式的一般说来，低阶行列式的计算要比高阶行列式的计算要简便，于是我们自然地考虑到用低阶的行列式计算要简便，于是我们自然地考虑到用低阶的行列式来表示高阶的行列式的问题。为此，先引入余子式和来表示高阶的行列式的问题。为此，先引入余子式和代数余子式的概念。代数余子式的概念。 定义定义 在在n阶行列式阶行列式 中，把元素中，把元素 所在的所在的第第i行、第行、第j列划去，剩下的元素按原来的相对位置形列划去，剩下的元素按原来的相对位置形成的成的n-1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 ；称

2、；称 叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式。)(ijaDijaijaijMijjiijMA) 1(ija例如例如 四阶行列式四阶行列式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中元素中元素 的余子式和代数余子式分别为的余子式和代数余子式分别为 34a43424123222113121134aaaaaaaaaM34344334) 1(MMA 引理引理 设设 是是n阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第i行行)det(ijaD( (或第或第j j列列) )元素除元素除 外都为零，则外都为零，则ijaijijAaD 证证 ：先证明特殊

3、情况，设：先证明特殊情况，设nnnnnnaaaaaaaaaD321223222111000则则 nnnpppppptaaaD2122111 nppnpptnaaa2221111 nppnpptnaaa2221111这里这里t是排列是排列 的逆序数，当的逆序数，当p=1时，就是排时，就是排列的列的 逆序数，故逆序数，故nppp21npp 2 nppnpptnaaaD21122111111111111111) 1(MaMaMa 再证一般情况，设再证一般情况，设 nnnjnjnjnnijijijiiijnijijijiinjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11111111111111

4、11111111111110000 把把D的行列作如下调换：把的行列作如下调换：把D的第的第i行依次与第行依次与第i 1行、第行、第i 2行、行、第、第1行对调，这样行对调，这样 就调到原来就调到原来 的位置上，调换的次数为的位置上，调换的次数为i-1.再把第再把第j列依次与第列依次与第j 1列、第列、第j 2列、列、第第1列对调列对调,这样就调到了左上角这样就调到了左上角,调换调换ijaja1的次数为的次数为j-1j-1。总之，经过。总之，经过i+j-2i+j-2次调换，把次调换，把 调到了调到了左上角，所得的行列式左上角，所得的行列式ijaDDDjiji) 1() 1(21在在D1中的余子

5、式仍然是中的余子式仍然是 在在D中的余子式中的余子式 。，而元素，而元素ijaijaijM 于是于是利用前面结果，有利用前面结果，有ijijMaD 1ijijijijjijiAaMaDD) 1() 1(1 定理定理1 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其的各元素与其对应的代数余子式乘积之和对应的代数余子式乘积之和,即即 ), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii（按行展开式）（按行展开式）或或), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj（按列展开式）（按列展开式） 证：证：nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110000

6、00nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000nnnninnaaaaaaa211121100根据引理根据引理, ,即得即得), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii类似地类似地, ,若按列证明若按列证明, ,可得可得), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 该定理叫做行列式按行该定理叫做行列式按行( (列列) )展开法则。显然，行展开法则。显然，行列式按行列式按行( (列列) )展开法则提供了计算展开法则提供了计算n n阶行列式的一种阶行列式的一种方法：通过反复运用该法则，将一个方法：通过反复运用该法则，将

7、一个n n阶行列式归结阶行列式归结为为n!项的代数和，每一项是项的代数和，每一项是n个不同行不同列的元素个不同行不同列的元素的乘积。的乘积。 推论推论 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 )(02211jiAaAaAaDjninjiji或或)(02211jiAaAaAaDnjnijiji 证证: 把行列式把行列式 按第按第j行展开，有行展开，有 )(ijaDnnnjnjininaaaaaaaa111111jnjnj2j2j1j1A a A a A a在上式中把在上式中把 换成换成 ,可得可得ika), 1(nkajknnniniininaaaaaaaa111111jninj2i2j1i1A a A a A a故行列式为零，即得故行列式为零，即得当当i j时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，)(02211jiAaAaAajninjiji上述证法若按列进行，即可得上述证法若按列进行，即可得 )(02211jiAaAaAanjnijiji综合定理