二阶常微分方程解

1、第七节二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶 线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的 通解和非齐次方程的一个特解。 本节讨论二阶线性方程的一 个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先 讨论一阶常系数线性齐次方程的求解方法. 7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定-常系数二阶线性齐次方程为空 + pdy+ qy = 0(7.1)dx dx其中 p、q 是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通 解，只要求出其任意两个线性无关的特解 yi,y2就可以了，下 面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(7.1)可能具有什么

2、形式的特解，从方程的 形式上来看，它的特点是 Qg，史，y 各乘以常数因子后相dx2dx加等于零，如果能找到一个函数 y，其空，史，y 之间只相 dx dx差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在 初等函数中，指数函数 edrxy = e(其中 r 为待定常数)将 y =e,dy= rerx,空=r2erx代入方程1)dxdx2得r2erx+ prerx+ qerx= 0或erx(r2+ pr+ q)= 0因为 erx工 0,故得r2+ pr+ q = 0由此可见，若 r 是二次方程r2+ pr+ q = 0(7.2)的根，那么e就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的

3、求解 问题， 就转化为求代数方程(7.2)的根问题。 称(7.2)式为微分 方程(7.1)白特征方程(7.2)是一个以 r 为未知函数的一元二次代数方 程。特征方程的两个根 r1，r2，称为特征根，由代数知识， 特征根 r1，r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根 ri，r2,此时 er1x， er2x是方程(7.1)的两个特解。r1X因为 匚=e(r1-r2)xH 常数2Xe所以 er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为y = Cier1x+ C2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根 ri= O

4、 此时 P2 4q =0，即 卩有 ri=R =P，这样只能得到方程(7.1)的一个特解 yi= er21X，因此，我们还要设法找出另一个满足条工常数，的特解yiy2,故应是 x 的某个函数，设/ = u,其中 u = u(x)为待定y1y1函数，即y2= uy1= ue r1x对站如=叫1x+ riuer1x= (du+ riu)er1xdx dx dx咚=(r2iu + 2r1du+ 乌)尹dx2dx dx2将它们代入方程(7.1)笔du+d2U、r1x+(du+、r1x+r1x0+-2)e + p( +1u)e + que = 0dx dxdx-d_U+(2r1+p)du+(r21+ P

5、H +q)uerdx2dxer1xz0,且因 r1是特征方程的根，故有 r21+ pri+ q=0,又因 r1= P故有 2r1+ p= 0，/丿上上式成为2色=0(r2iu+2ri或r1x= 0因为dx2显然满足 判=0 的函数很多，我们取其中最简单的一个dx2u(x) = x则y =xerx是方程1)的另一个特解，且 yi,讨 2是两个线 性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是y = Cier1x+ C2xer1x= (Ci+ C2x)er1x若特征方程(7.2)有一对共轭复根n=a+i 卩，a=a iB此时方程(7.1)有两个特解(a +ip)x(ai3)xy1=ey2= e则通解为(

6、a +i3)x(a i3)xy = C1e+ C2e其中 C1, C2为任意常数，但是这种复数形式的解，在应用 上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此 利用欧拉公式ix一ix-e=cosx+isinx，e=cosxisinx1(eix+ej=cosx21ixix(ee )=si nx2i11aX/i3xi3xax(y1+y)=e (e+e )=e cos3x221(y_2)=丄 ex(exe ”x)=exsinpx2i2i由上节疋理一知，(yi+y2), (yiy2)是方程(7.1)的两22i个特解，也即 eaxcospx, eaxsinpx 是方程(7.1)的两个特解： 且它们

7、线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的逋解为y=C1excospx+C2e“xsinpx或y=ex(C1C0spx+C2sinpx)其中 C1, C2为任意常数， 至此我们已找到了实数形式的通 解，其中a,p分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须 先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通 解,现列表如下特征方程 r2+ pr+ q= 0 的 根微分方程理+P鱼+ qydx2dx=0 的通解有二个不相等的实根12y=C1er1x+C2er2x有二重根1=2y=(C1+C2x)er1x=a+ iP有一对共轭复根1r

8、2= -沖y=ex(C1Cospx+C2Sinpx)例 1.求下列阶常系数线性齐次方程的逋解(1)密+3 业10y=0 dx2dx2)空-4 虫 + 4y= 0dx2dx(3)dyy + 4dy+ 7y= 0dx2dx解(1)特征方程 r2+ 3r 10= 0 有两个不相等的实根ri=5，r2=2所求方程的通解y = Cie 5r +c?e 2x(2) 特征方程 r2 4r+ 4 = 0，有两贞根ri= D=2所求方程的通解 y = (Ci+ C2x)e 2x(3) 特征方程 r2+ 4r+ 7 = 0 有亠对共辄复根ri= 2 + , 3 i 2= 2 、3i所求方程的通解y = e2x(C

9、icos 3x+ C2sin 3x)7.2由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性 非齐次方程理 + pdy+ qy=f(x)(7.3)dx2dx的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其 一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的 齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的 问题是求方程(7.3)的个特解。方程(7.3)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x#一、f(x) = Pn(x)ex，具川 Pn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当a= 0 时，即当 f(X)= pn (X)时方程+ P 业 + qy= Pn(x)dx dx 的个

10、特解。(1)如果 qz0,我们总可以求得一 n 次多项式满足此方程，事实上，可设特解 y = Qn(x) =aoxn+ af1+ + an,其 中 ao, ai， an是待定常数，将y及其导数代入方程(7.4)，得 方程左右两边都是n 次多项式， 比较两边 x 的同次幂系数， 就可确定常数 ao, ai,an；例 1.求+dy+ 2y = x23 的个特解口dx2dx解 自由项 f(x) = x2 3 是一个二次多项式，又 q = 2 工 0, 则可设方程的特解为2y= aox + aix+ a2求导数y= 2aox + aiy= 2ao代入方程有 2aox2+ (2a+ 2ai)x +(2a

11、o+ ai+ 2a2)= x2 3 比较同次幕系数A1Z(7.4)1a = 22a0- 12I12a 2a 0解得 印;(2) 如果 q = 0,而 pH0,由于多项式求导一次，其次数要降低一次，此时y= Qn(x)不能满足方程，但它可以被一个(n +1)2n+1ny= xQn(x) = aox + ax + ax代入方程(7.4),比较两边系数，就可确定常数ao,印，an1：例 2.求方程乌+ 4dy= 3x2+ 2 的个特解dx2dx解 自由项 f(x) = 3x2+ 2 是一个二次多项式，又 q = 0, p=4H0,故设特解32y= a0 x + ax + a2x求导数y= 3ax2+

12、 2ax+ a2y=6a0X+2a1代入方程得-37a2 417x24如 +ai+ 2a2 :所以特解y=2x212sbx2+(8a1+6a0)x+(2a+4a2)=3x2+2,比较两边同次幂的系数一个(n + 2)次多项式，可设y= x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得卜面讨论当a0 时，即当 f(x) = Pn(x)eax时方程啤+pdy+qy=Pn(x)e dx dx的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自 由项中多了一个指数函数因子 eaJ 如果能通过变量代换将因 子 eax去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为 此设 y

13、= ueax,其中 u= u(x)是待定函数，对 y = ueax，求导得dyaxdu |ax=ex+ auexdx dx求二阶导数空=eaxdU + 2aeaxdu+a2ueaxdx2dx2dx12a 二3I8a6a 二0解得ai2161932所求方程的特解y Jx3- *+ 気41632器=pn(x)，此时特解是(7.5)(7.6)由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有：(1)如果a2+ pa+ qM0,即a不是特征方程 r2+ pr+ q= 0 的根，则可设(7.6)的特解 u=Qn(x)，从而可设 5)的特解为y= Qn(x)eax(2)如果a2+ pa+ q=

14、 0,而2 a+ pM0,即a是特征方 程r2+ pr+ q = 0 的单根，则可设(7.6)的特解 u = xQn(x)，从而 可设(7.5 卅_y=xQn(x)eax(3)如果 r2+ pa+ q = 0，且2 a+ p= 0，此时a是特征方 程r2+ pr+ q = 0 的重根，则可设(7.6)的特解 u = x2Qn(x)，从 而可设(7.5)的特解为y=x2Qn(x)eax代入方程(7.5)得厂 d2u |du |2_ -+ 2a +adx2dx=Pn(x)eax消去 eax得d2u,(2,p)du,(2+(2a +p)+(u+ pe_du+ au+que dxa2+pa +q)U=

15、pn(X)例 3.求下列方程具有什么样形式的特解空 + 5dy+ 6y = e 3x dx2dx(2)dl + 5dy+ 6y= 3xe -2xdx2dx(3) 乌+ ady+y= -(3x2+1)e-xdx2dx解(1)因口= 3 不是特征方程 r2+ 5r+ 6= 0 的根，故方程 具有形如y= aoe 3x 的特解(2)因a=-2 是特征方程 r2+ 5r+ 6 = 0 的单根，故方程 具有形如y= x(aox + ai)e 2x 的特解 (3)因a=1 是特征方程 r2+2r+1=0 的一重根，所以 方程具有形如y= x2(aox2+ aix + a?)e x 的特解 例 4.求方程d

16、_y+ y = (x 2)e3x的迪解门dx解特征方程 r2+ 1 = 0d2y特征根 r = i 得，对应的齐次方程+ y= 0 的通解 dx2为丫丫 = C1cos x+ C?sin x由于a= 3 不是特征方程的根，又 Pn(x) = x-2 为一次多项式， 令原方程的特解为y= (aox + ai)e 3x此时 u=aox + a1,a=3, p= 0, q= 1,求 u 关于 x 的导数du=ao,dx10aox + 10ai + 6 比=x 2比较两边 x 的同次帛的系数有于是，得到原方程的个特解为y=(丄 x 13)e3x1050所以原方程的通解是y = 丫丫 +y= C1cos

17、x+ C2Sinx +( x13)e3x10 50例 5.求方程啤2 业3y= (x2+ 1)ex的通解, dx2dx解特征方程 r2 2r 3= 0特征根1= 一 1,2= 3所以原方程对应的齐次方程 豊2 或3y= 0 的通解丫丫dx2dx=C1e % + C2e3x,由于a= 1 是特征方程的单根， 又 pn(x) = x2+ 1 d2udx2=0.代入马+(2 a+p)屯+(adx2dx2+ ap+q)u=(x2)得:10a 二 110a6a0= -2解得1a0=10a=13502y= x(ax + ax + a2)e32u =aox +aix +a2X,a= 1, p= 2, q=

18、3对 u 关于 x 求导du= 3aox2+ 2aix+ a2dx斗=6ax + 2aidx2代入空 + (2a+ p)du+ (a2+ pr+ q)u = x2+ 1 得 dx2dx12sbx2+ (6ao 8a)x+ 2ai 4a?= x2+ 1 比较 x 的同次幂的 系数有这两种方程的特解。由欧拉公式知道，Pn(x) excospx, pn(xje%inx 分别 是此时T2a。二1丄12解得6a0- 8可=01ai =1162可 -4a0= 09a?=232个特解为故所求的非齐次方程的2x /X 丄 x 丄 9、y= ( + - )e4348二、f(x) = pn(x)e“xcosBx

19、或 pn(x) esinpx,即求形如 啤+pdy+qy=Pn(X)e“xcospx dx dx2+pdy+qy=Pn(x)e“xsinpxdx dx(7.7)(7.8)函数 Pn(X)e(a+i3)X的实部和虚部门 我们先考虑方程啤 + pdy+ qy=Pn(x) e(+i3)xdx2dx方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的特解的求法 已在前面讨论。由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是方程(7.7) 的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程(7.8)的特解。因此， 只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可 得方程(7.7)或(7.8)的个

20、特解。注意到方程(7.9)的指数函数e(a+卩)x中的a+ ip(B工0) 是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以a+ iP最多只能是它的单根。因此方程(7.9)的特解形为 Qn(x)e(“+p)x或xQn(x)e(a+ip)x0例 6.求方程dy y = excos2x 的迪解二dx2解特征方程r2 1 = 0特征根 r1= 1，a= 1于是原方程对应的齐次方程的通解为丫丫 = Gex+ C2ex为求原方程的一个特解 yC先求方程祭y=汀2i)x特征方程的根，且 Pn(x)为零次多项式，故可设 U = ao，此时a =(1+2i),p=0,q=1 代入方程(7.9)的个特解，由于 1 +

21、 2i 不是马+(2a+p)虫+(a2+dx2dx得(1 +2i)21ao=111a0= (i +1)4(i -1)8这样得到乌y = e(1 +2i)xdx21y = 8 (i + 1)e由欧拉公式1y = (i + 1)e8=-(i+1)ex(cos2x+isin2x)81x=e8取其实部得原方程的一个特解1xy= e (cos2xsin2x)8故原方程的通解为y = 丫丫 +y= C1ex+ C2ex -ex(cos2x sin2x) 8例 7.求方程+ y = (x 2)e3x+ xsinx 的通解 dx解由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别求ap+ q)u= 1,即(4i 4)a

22、= 1 得的个特解(1 +2i)x(i +2i)x(cos2x sin2x) + i(cos2x+ sin2x)_y = 0 的特解丫！啤+ y = (x - 2)e3x的个特解ydx2啤+ y = x sin x 的个特解y2dx2然而相加即可得原方程的通解，由本节例4 有卜曲求y2，为求y2先求方程+y = xeixdx2由于i是特征方程的单根， 且 Pn(x)= x 为一次式，故可设 u = x(aox + a1)= aox2+ ax，此时 求导dud2u=2ax + a1,2= 2a0dxdx2代入方程d 目目+(2a +p) du+(a2+pa +q)u=x dx2dx得 2ao+

23、2i(2ax + a“ + 0=x4iax+ 2ia1+ 2a0= x比较 x 的同次幂的系数有：丫丫 = Cicosx+ C2si nx!yi=( (丄丄X - 31050a =i,p=0,q=1,对 u4ia。二 12ia12a0二 01a0=4i1盯盯4即方程 啤+ y = xeix的一个特解dx2(i2+1、ixy= ( ; x+-x)e44i21=(x +- )(cosx+isi nx)44=(】x2si nx +xcosx) + i( x2cosx+xsinx)4444丄1cos x + - x sin x413、3x12(1.)e x cosx+ xsinx 544综上所述， 对

24、于二阶常系数线性非齐次方程鸽+ pdy+ qy=f(x)dx dx当自由项 f(x)为上述所列三种特殊形式时，其特解y可用 待立系数法求得，其特解形式列表如下：自由项 f(x)形式特解形式f(x)=Pn(x)当 qM0 时y= Qn(x) 当 q=0,pM0 时y= Qn(x)当 q= 0,p= 0 时y=2x Qn(x)取其虚部，得12y2= ： x4所以，所求方程的通解 y=Y +yi+y21=Cicosx+ C2Si nx+ (10f(x)=Pn(x)eX当a不是特征方程根时y= Qn(x)eax当a是特征方程单根时y=xQn(x)e X当a是特征方程重根时y=X2Qn(x)e“Xf(x

25、)=Pn(X)e“xcOSBx 或f(x)=pn(x)e“Xsin3x利用欧拉公式 e3x= cos3x+ isin3x，化为 f(x)=Pn(x)e(a+i的形式求特解，再分别取其实部或虚 部以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于阶，也可以推广到高阶的情况例 8.求 y+3y+ 3y+ y = ex的通解解兀r3+ 3r2+ 3r+ 1 = 0r1= r2= r3= 1所求齐次方程的通解丫丫 = (Ci+ C2X+ C3X2)e x 由于a= 1彳 1因此方程的特解y= aoex代入方程可解得 ao=-8故所求方程的通解为 y = 丫丫 +y= (C1+ C2X+ C3X2

26、)ex+下述 n 怖nn -1aoxn+a1xn 11+ +an上+any=f(x) axdx dx 7.3欧拉方程称为欧拉方程，其中 ao, ai，an都是常数，f(x)是已知函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程。下面以 二阶为例说明。对丁二阶欧拉方程aox2dy2+ a1xdy+ a2y = f(x) dx2dx作变量替换令 x= e即 t 二 In x 引入新变量 t是有dy = dy _dl =dx dt dxdy 1 = 1 dydt x x dt2d y =d(1dy)= 1_d(dy) +dy_ddx2dx(x dt)= xdx(dt)十 dt dx=1 d2y dt _ 1 dy=x dt2dx x2dt =1 d2y _ 丄 dy =x2dt2x2dt代入方程(7.10)得ao($ _ 警