第五章离散系统时域分析

1、第五章第五章 离散系统时域分析离散系统时域分析51 51 离散时间信号离散时间信号序列序列 一、离散时间信号一、离散时间信号1 1定义定义: :仅在一些离散时刻仅在一些离散时刻k(0,1,2,)上有定义上有定义(值值)的信号，用的信号，用f(k)表示表示2序列序列：f(k)的函数值构成一个有序的排列，的函数值构成一个有序的排列，记为记为 f(k)。f(k)既代表一个序列，既代表一个序列，又代表序列又代表序列中第中第k个元素的值（个元素的值（称为样值称为样值）。）。 0 1 2 3 4-1-2k1e-1e-2e-3)()(1kekfk 01234-1-2k11)1()()(2 kkkf f1(k

2、)+ f2(k)01234-1-2k21+e-1e-1e-2e-3二、常用的离散时间信号二、常用的离散时间信号( (即典型序列即典型序列) )1单位序列单位序列 0 , 00 , 1)(kkk (k)0123-1-2k1抽样性质抽样性质 )()()()()()()()()()0()()(mkmfmkkfmkmfmkkfkfkkf 2单位阶跃序列单位阶跃序列 0 , 00 , 1)(kkk (k)0123-1-2k1111与与 (k)的关系的关系: : 0)()()( ) 1()()(mmkkkkkk 3单位门序列单位门序列 其其余余 , 010 , 1)(NkkGNGN(k )0 1 2N-1

3、-1-2k11 1 1NN+1门宽为门宽为NGN(k)= (k)- (k-N )4 4单边实指数序列单边实指数序列 0 , 0 0 , )(kkakfk(a为实数为实数)f(k)=ak (k)0 1 2 3-1-2k1|a| 1发散发散f(k)=ak (k)0 1 2 3-1-2k1|a| 0的整数，的整数，+ +时左时左移，移，-时右移时右移) ) 6折叠：折叠：y(k)= f(-k)：( (将将f(k)图形沿纵轴翻转图形沿纵轴翻转) ) 7倒相倒相：y(k)=- f(k)：( (将将f(k)图形沿横轴翻转图形沿横轴翻转) ) 8展缩：展缩： y(k)= f(ak)：( (a 0的实数）的实

4、数）注意：注意：（1）展缩时要舍去产生的非整数离散点展缩时要舍去产生的非整数离散点。（2 2）离散信号展缩后再缩展不能恢复原序列！离散信号展缩后再缩展不能恢复原序列！ 其中：其中：0a 1时，时间上压缩为原来的时，时间上压缩为原来的1/a倍；倍；9差分差分(即特定形式的移位与加减运算即特定形式的移位与加减运算)： 后向差分后向差分： 2f(k)= f(k)- f(k-1)= f(k)-2 f(k-1) + f(k-2)（二阶二阶) )前向差分前向差分： 2f(k)= f(k+1)- f(k) =f(k+2)-2 f(k+1)+f(k)( (二阶二阶) ) f(k)= f(k+1)- f(k)

5、( (一阶一阶) ) f(k)= f(k)- f(k-1) ( (一阶一阶) )52 52 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型 一、线性时不变离散时间系统一、线性时不变离散时间系统 离散时间系统离散时间系统f(k)y(k)1离散系统离散系统：激励和响应都是离散信号的系统：激励和响应都是离散信号的系统 2分类：分类：亦可分为线性与非线性；亦可分为线性与非线性；时不变时不变与与时变；时变；因果因果与非因果等。与非因果等。时不变时不变： f(k) y(k) f(k-m) y(k-m) 因果系统因果系统：响应总是出现在激励之后。即：响应总是出现在激励之后。即： 当当k k0 ，f(k) =

6、0当当k 0； )()()()()12211kkfkykkfky ；)()()(21kbfkafkf 若若：)()()()( )()()()(212121kbykaykbkfkakfkbfkafkkkfky 则则：解：解： 满足满足线性线性特性特性)( )()()()()()()2NkyNkfNkNkkfkyNkfkf 则则，若若：0)()(,0 0)(,0)3 kkfkykkfk时时则则时时若若：时变时变的的 因果因果的的 二、离散时间系统的数学模型二、离散时间系统的数学模型 差分方程差分方程 连续时间系统中的激励与响应是连续信号，连续时间系统中的激励与响应是连续信号，描述它们之间的关系的是

7、描述它们之间的关系的是微分方程微分方程数学模型数学模型。 离散时间系统中的激励与响应是离散信号，离散时间系统中的激励与响应是离散信号，描述它们之间关系的方程称为描述它们之间关系的方程称为差分方程差分方程数学数学模型模型。 差分方程差分方程可以由连续系统数学模型离散化可以由连续系统数学模型离散化后得到，也可以直接从离散系统自身规律中得后得到，也可以直接从离散系统自身规律中得到。到。例：例： R+ +f(t)- -+ +y(t)- -C试列写图示一阶电路离散化后试列写图示一阶电路离散化后的差分方程。的差分方程。)()(d)(d tftyttyRC 解：解：不难得到连续系统的微分方程：不难得到连续系

8、统的微分方程： y(t)等间隔离散化，等间隔离散化，T很小时，很小时，y(t)的导数近似为的导数近似为TtyTtydttdy)()()( )()()()(tftyTtyTtyRC 微微分分方方程程变变为为：用离散时间变量用离散时间变量kT代替代替连续时间变量连续时间变量t)()()()1(kfkyTkykyRC 微微分分方方程程变变为为：)()()1()1(kfkyTRCkyTRC 整整理理得得：则则有有，令令TRCaTRCa 101)()()1(01kfkyakya 一阶差分方程一阶差分方程例：例：某储户每月月初定期在银行存款。设第某储户每月月初定期在银行存款。设第k个月个月存款额为存款额为

9、f(k)，银行支付的月息为，银行支付的月息为 ，每月利息按，每月利息按复利结算，计算第复利结算，计算第k月初的本息总额月初的本息总额y(k)解：解：每月本息总额包括：本月存款、上一月本息每月本息总额包括：本月存款、上一月本息总额和上一月本息总额产生利息。总额和上一月本息总额产生利息。)1()1()()( kykykfky )()1()1()(kfkyky 差分方程中差分方程中离散自变量离散自变量k不仅局限于时间，对不仅局限于时间，对于不同的系统含义不同可为温度、长度等。所称于不同的系统含义不同可为温度、长度等。所称的离散时间系统中的离散时间系统中“时间时间”是一个广义概念。是一个广义概念。an

10、y(k)+an-1y(k-1)+a1y(k-n+1)+a0y(k-n) =bmf(k)+bm-1f(k-1)+b1f(k-m+1)+b0f(k-m)n阶差分方程一般可表示为阶差分方程一般可表示为 差分方程由差分方程由激励序列项（右边）和响应序激励序列项（右边）和响应序列项（左边）组成列项（左边）组成。响应序列的变量。响应序列的变量最高序号最高序号和最低序号的差数和最低序号的差数称为差分方程的称为差分方程的阶数阶数。变量。变量序号以序号以递减递减方式排列称为方式排列称为后向差分方程后向差分方程，变量，变量序号以序号以递增递增方式排列称为方式排列称为前向差分方程前向差分方程。三、离散时间系统的传输

11、算子三、离散时间系统的传输算子在在离散时间系统中引入离散时间系统中引入差分算子差分算子E E 有有);1()( kfkfE) 1()(1 kfkfE E E 也称为也称为位移算子位移算子，是将序列向前移动一，是将序列向前移动一个时间单位的运算。个时间单位的运算。)()()()()()(011011kfEbkfEbkfbkyEakyEakyammmnnn nnnmmmEaEaaEbEbbkfkyEH 011011)()()(传输算子传输算子 四、离散时间系统的模拟：四、离散时间系统的模拟：1基本运算单元基本运算单元 加法器加法器 f1(k)f2(k)fn(k)y(k) = f1(k) + f2(

12、k)+ + fn(k)f1(k)f2(k)fn(k)y(k) = f1(k) + f2(k)+ + fn(k)111f(k)y(k) = af(k)a数乘数乘器器f(k)y(k) = af(k)a单位延迟器单位延迟器f(k)E-1y(k) = f(k-1)f(k)y(k) = f(k-1)E-12 2系统的模拟系统的模拟离散系统的模拟图离散系统的模拟图 差分方程（方法同前）差分方程（方法同前）同样有同样有直接直接、级联级联、并联并联、混联混联等形式等形式例：例：已知某系统模拟图如图所示，试写出其差已知某系统模拟图如图所示，试写出其差分方程。分方程。 aE-1f(k)y(k)y(k-1)ay(k

13、-1)整理：整理：y(k)-ay(k-1)=f(k)解：解：y(k)=ay(k-1)+f(k)是一阶差分方程是一阶差分方程 E-1f(k)y(k)E-1- - -a0a1b0E-1b1y(k)+a1y(k-1)+a0y(k-2)=b1f(k)+b0f(k-1)53 53 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解对于因果系统响应必滞后于激励，故对于因果系统响应必滞后于激励，故mn . any(k)+an-1y(k-1)+a1y(k-n+1)+a0y(k-n) =bmf(k)+bm-1f(k-1)+b1f(k-m+1)+b0f(k-m)一、常系数线性差分方程的求解方法一、常系数线性差分方程

14、的求解方法1迭代法迭代法由系统的由系统的初始状态初始状态及及递推式递推式不断迭不断迭代代(难以得到闭合的解析式难以得到闭合的解析式)。2时域经典法时域经典法分别求分别求齐次解齐次解与与特解特解，再代入，再代入边界条件求待定常数。边界条件求待定常数。3yx(k)用求用求齐次解齐次解的方法；的方法；yf(k)用求用求卷卷积和积和的方法的方法(*)4z变换法变换法类似于连续系统中的拉氏变换法类似于连续系统中的拉氏变换法二、齐次差分方程的通解二、齐次差分方程的通解 yo(k) (零输入响应零输入响应) ) any(k)+an-1y(k-1)+a1y(k-n+1)+a0y(k-n)=0特征方程特征方程为

15、：为：an n+an-1 n-1 + +a1 + a0=01特征根均为单根：特征根均为单根： 1 2 n则则齐次通解齐次通解为：为： yo(k)=C1 1k+C2 2k+Cn nk ，k02特征根含有特征根含有r重根重根 1，其余为单根：其余为单根：y0(k)=(C1+C2k+C3k2+Crkr-1) 1k +Cr+1 r+1 k+Cn nk , k0 Ci (i=1, 2, n)为待定常数，通过与外施激励为待定常数，通过与外施激励无关的无关的初始值初始值齐次通解来确定齐次通解来确定例：例：)(1)1(, 2)2( , 0)2(2)1(3)(kyyykykyky，求求已已知知： 2, 1, 0

16、23212 解：解：kkCCky) 2() 1()(21 原方程激励为零，初始条件与激励无关，任原方程激励为零，初始条件与激励无关，任意初始条件都可用来确定待定系数。意初始条件都可用来确定待定系数。2) 2() 1() 2(2221 CCy1) 2() 1() 1(1211 CCy解解得得 12521CC( )5( 1)12( 2) kky k k -2三、非齐次差分方程的解三、非齐次差分方程的解 (全响应全响应)any(k)+an-1y(k-1)+a1y(k-n+1)+a0y(k-n)=bmf(k)+bm-1f(k-1)+b1f(k-m+1)+b0f(k-m)非齐次差分方程方程非齐次差分方程

17、方程完全解完全解： y(k) = yo(k) + yd(k)(1)(1)特解特解yd(k)的形式的形式通常与通常与激励激励一致一致 (2) (2) 初始条件初始条件y(0), y(1), y(n-1)(与外施激励有与外施激励有关关)代入完全解，可确定代入完全解，可确定待定常数待定常数Ci 。 (对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解) (特解特解)IDf(k)yd(k)的形式的形式1CA02Ck(A1k+A0)3Ckm(Amkm+Am-1km-1+A1k+A0)4CakAak ，当，当a不是特征根时不是特征根时(A1k+A0)ak ，当，当a是特征单根时是特征单根时(Arkr+Ar-1kr-1+

18、A1k+A0)ak 当当a是是r重特征根重特征根 5CeakAeak （ a为实数）为实数）6Cej kAej k7 Acos dk+k0(A1cos dk+A2sin dk)例例：设设 y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=2k (k)，y(0)=0， y(1)=2，求，求y(k)。解：特征方程解：特征方程 2+3 +2=0 1=-1, 2=-2yo(k)=C1(-1)k+C2(-2)ki) 确定确定yd(k)的形式为的形式为A2k方程两边同乘方程两边同乘2-k得得A+3A2-1+2A2-2=1 解得解得 A=1/ /3 得得 yd(k)=(1/ /3) 2ky(k)=C1(-1)k+C

19、2(-2)k +(1/ /3) 2kii) 将将y(0)=0，y(1)=2代入代入 21( ) ( 1)( 2)(2 )33kkky k 注意注意此例初始值是此例初始值是k=0和和1的值即外施激励接的值即外施激励接入以后的值，所求解入以后的值，所求解是全响应。是全响应。 1323222310212121CCCCCCk0四、离散时间四、离散时间( (因果因果) )系统全响应的分解形式系统全响应的分解形式y(k)=yx(k)+yf(k)i)yx(k) 形式与形式与yo(k)相同，但相同，但Ci要通过要通过零输入下零输入下初初始条件始条件yx(-1), yx(-2), yx(-n)来确定。来确定。若

20、给出若给出y (0), y (1), y (n-1) 则要导到则要导到零输入下。零输入下。ii) yf(k)与全响应形式相同，但与全响应形式相同，但Ci要通过要通过零状态下零状态下初始条件初始条件yf (-1)=yf (-2)=yf (-n)=0确定确定例例：设：设y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=2k (k)，y(0)=0，y(1)=2，求，求yx(k)、yf(k)、y(k) 。解：解：i) 求求yx(k) yx(k)=C1(-1)k+C2(-2)k 给定给定y(0) ，y(1)的值不能用来来确定的值不能用来来确定C1，C2将将y(0) ，y(1)的值代入原方程的值代入原方程0+3y

21、(-1)+2y(-2)=12+30+2y(-1)=2解解得得 21)2()2(0)1()1(xxyyyyyx(k)=(-1)k-2(-2)k，k -2确定确定C1 = 1，C2 = -2ii) ii) 求求y yf( (k k) ) y yf( (k k) ) =C1(-1)k+C2(-2)k +(1/ /3) 2k代入代入y yf(-1)(-1) = y yf(-2)=0(-2)=0 确定确定C1，C2 0231) 2() 1() 2(0231) 2() 1() 1(2222111211CCyCCyff解解得得 13121CC0 ),2(31) 2() 1(31)( kkykkkf11( )

22、 ( 1)2( 2) ( 1)( 2)(2 )3321 ( 1)( 2)(2 )33kkkkkkkky k k054 54 离散系统的单位序列响应离散系统的单位序列响应一、离散时间信号的时域分解一、离散时间信号的时域分解 mkmkmfmkmfmkkf , 0 , )()()()()( iiikifkfkfkfkfkfkf)()() 2() 2( ) 1() 1 ()() 0 () 1() 1()()( 有限长序列有限长序列 10)()()(Niikifkf H(E)(k )(kh 10)()()(Nifikhifky（1）求）求h(k)（2）求卷积和）求卷积和离散时间系统的零状态响应：离散时间

23、系统的零状态响应：H(E)(ik )(ikh H(E)()(ikif )()(ikhif H(E)(kf单位序列响应的求解单位序列响应的求解一、迭代法一、迭代法( (递推法递推法) )递推式递推式h(k)+a0h(k-1)=(k) (零状态零状态h(k)=0, k0)例例: : 已知离散系统的传输算子已知离散系统的传输算子y(k)+a0y(k-1)=f(k)解：系统的解：系统的后向差分方程为：后向差分方程为：h(k)= (k)-a0h(k-1) h(0)=1-a0h(-1)=1；h(1)=0-a0h(0)=-a0 ；h(2)=0-a0h(1)=(-a0)2； h(3)=0-a0h(2)=(-a

24、0)3； 0)(aEEEH 单位序列响应方程单位序列响应方程1011)( EaEHh(k)=(-a0)k (k)求其单位序列响应：求其单位序列响应：二、等效初值法二、等效初值法 (k)仅在仅在0时作用于零状态系统，相当于时作用于零状态系统，相当于 (k)给系统赋了一定的初始值，可由迭代法求得给系统赋了一定的初始值，可由迭代法求得n 阶阶系统的系统的n个初始值个初始值h(0), h(1), h(n-1)。例例：二阶系统：二阶系统h(k)+a1h(k-1)+a0h(k-2)= (k)解：解：迭代法可得初始值：迭代法可得初始值：h(0)=1-a10-a0 0=1，h(1)=0-a1 1-a0 0=-

25、a1k 1时求时求h(k)的问题变为的问题变为零输入零输入响应响应h(k)+a1h(k-1)+a0h(k-2)=0，h(0)=1， h(1)=-a1 h(k)=C1 1k+C2 2k ，确定，确定C1和和C2得得h(k)三、传输算子法三、传输算子法 1基本算子分式对应的基本算子分式对应的h(k)： 10011)()()( EaaEEkfkyEH h(k)+a0h(k-1)= (k) h(k)=(-a0)k (k) 1）101011)()()( EaEaEkfkyEH2）h(k)+a0h(k-1)= (k-1) h(k)=(-a0)k-1 (k-1) 210202)1(1)()()()( Eaa

26、EEkfkyEH3）h(k)+2a0h(k-1)+a02h(k-2)= (k) h(k)=(k+1)(-a0)k (k) 20)(aEE h(k)=k(-a0)k-1 (k-1)=k(-a0)k-1 (k) 4）5） (k-1) a0 k-2 (k-1) 20)(1aE laEE)(0 6）)()(2( )2)(1(! )1(110kalkkkkllk 2一般传输算子：将一般传输算子：将H(E)/E部分分式展开部分分式展开 基本算子分式基本算子分式Hi (E) hi(k)例例: : 已知某系统的已知某系统的 651)(2 EEEH求求h(k) 解解： 方法一方法一 2131)( EEEH) 1

27、()23()( 11 kkhkk 方法二方法二 22133161)( EEEEEH22133161)( EEEEEH )()2(21)()3(31)(61)(kkkkhkk 0) 0( ) 1()23(11 hkkk h(k)可能有可能有不同的表示形式不同的表示形式，但本质是一致的，但本质是一致的 55 55 卷积和卷积和 全响应全响应=零输入响应零输入响应+ +零状态响应：零状态响应：y(k)=yx(k)+yf(k) yx(k) 可用求齐次解的方法可用求齐次解的方法, ,注意其系数的确定；注意其系数的确定； 1定义：定义： iikfifkfkf)()()()(2121* 卷积和的卷积和的上下

28、限的确定与卷积积分的上下限上下限的确定与卷积积分的上下限的确定相同的确定相同，f1为因果信号，则下界从为因果信号，则下界从0开始；开始；f2为因果信号，则上界到为因果信号，则上界到k为止。为止。yf(k) 可用求可用求f(k) 与与h(k) 的卷积和得到。的卷积和得到。 2性质：性质： 1 1、基本运算规律、基本运算规律： 交换律交换律 ：分配律：分配律：结合律：结合律：f1(k)* * f2(k) = f2(k)* * f1(k)f1(k)* * f2(k)+ f3(k) = f1(k)* * f2(k)+ f1(k)* * f3(k)f1(k)* * f2(k)* * f3(k) = f1

29、(k)* * f2(k) * * f3(k) 位移性质位移性质：y(k)= f1(k)* * f2(k)f1(k-m1)* * f2(k-m2) = y(k-m1-m2) 特例特例：f(k)* *(k) = f(k)，f(k)* *(k m) = f(k m) 2求卷积和的常用方法：求卷积和的常用方法：1) 按定义直接求和法按定义直接求和法 iv)左移左移k , 求求f1(i)与与f2(k-i)对应位置的乘积和对应位置的乘积和y(k)(k= -1, -2,)；2) 图解法图解法i) 画出画出f1(i)和和f2(i) ；ii) 折叠折叠f2(-i) ；iii)右移右移k , 求求f1(i)与与f

30、2(k-i)对应位置的乘积和对应位置的乘积和y(k)(k=0, 1, 2,) ；3) 3) 单位序列卷积法单位序列卷积法将其中一个信号分解将其中一个信号分解为加权的单位序列和，再利用为加权的单位序列和，再利用f(k-m1)*(k-m2) = f(k-m1-m2)等性质。等性质。4) 对位相乘求和法对位相乘求和法5)排表法排表法6) 解析法解析法借助于借助于“卷积和卷积和”表表)2()1()()( kkkkf 例例：已已知知h(k)0123-1-2k312f(k)0123-1-2k111)3(3)2(2)1()( kkkkh )(*)(khkf求求： kiikhifkhkf0)()()()(*解

31、：解：1）直接求解：）直接求解：0)(:0 kyk1)0()1()1()0( )1()()1(:110 hfhfihifyki3)0()2()1()1()2()0( )2()()2(:220 hfhfhfihifyki0)0()0()0()()0(:000 hfihifyki6)0()3()1()2()2()1()3()0( )3()()3(:330 hfhfhfhfihifyki5)0()4()1()3()2()2()3()1( )4()0()4()()4(:440 hfhfhfhfhfihifyki3)0()5()1()4()2()3()3()2( )4()1()5()0()5()()5(

32、:550 hfhfhfhfhfhfihifyki0)(:6 kyky(k)0123-1k1353645) 5(3) 4(5 ) 3(6) 2(3) 1()( kkkkkky 2）图解法：）图解法：h(-i)0123-1-2k312f(i)0123-1-2k1110)(:0 kykk=0h(1-i)0123-1-2k312k=1111)1(:1 ykh(2-i)0123-1-2k312k=431121)2(:2 yk6112131)3(:3 yk52131)4(:4 yk331)5(:5 yk0)(:0 kykh(4-i)0123-1k31201 23-1k312h(5-i)k=5k=23）解析

33、法：）解析法：)3(3)2(2)1( )2()1()()( kkkkkkky )5(3)4(3)3(3 )4(2)3(2)2(2 )3()2()1( kkkkkkkkk ) 5(3) 4(5 ) 3(6) 2(3) 1( kkkkk 4 4）对位相乘求和法）对位相乘求和法: : 1 1 1)( kf 6 4 1 0)( kh 将序列按序号将序列按序号排列，右端对齐，排列，右端对齐，不进位不进位相乘相乘 6 10 11 5 1 0_0 0 01 1 1 4 4 4 6 6 6 _ 6 4 1 0 )( 1 1 1 )( khkf 6 10 11 3 1 0)( ky序号从序号从0开始开始) 5(6) 4(10) 3(11) 2(3) 1()( kkkkkky 卷积和的起始序号为两原被卷积序卷积和的起始序号为两原被卷积序列的起始序号之和。列的起始序号之和。21032102222333311110000111kh(k)kf(k)0) 0 ( y101)1( y3012)2( y6123)3( y523)4( y3)5( y) 5(3) 4(5) 3(6) 2(3) 1()( kkkkkky 表中第一个对角线对应序号和为卷积和的起表中第一个对角线对应序号和为卷积和的起始序号始序号IDf1(k)f2(k)f1(k)*