2020-2021备战中考数学专题复习分类练习圆与相似综合解答题含答案

1、2020-2021备战中考数学专题复习分类练习圆与相似综合解答题含答案一、相似1.如图所示，4ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AD±BC,DELAC,ACDE沿直线BC翻折至iJCDF连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I.(1)求证：AF,BE;(2)求证：AD=3DI.【答案】(1)证明：二.在ABC中，AB=AC,/BAC=90,D是BC的中点,.AD=BD=CD,/ACB=45,°1 .在ADC中，AD=DC,DEXAC,.AE=CECDE沿直线BC翻折到CDF,.,.CDEACDF,2 .CF=CE/DCF=ZACB=45；3 .CF=AE

2、/ACF=ZDCF+/ACB=90,°AB*ACZBAE=ZACf在ABE与AACF中，.任C/',4 .ABEAACF(SAS,/ABE=ZFAC,5 /BAG+ZCAF=90,°6 /BAG+ZABE=90；/AGB=90；AFXBE(2)证明：作IC的中点M,连接EM,由(1)/DEC=ZECF4CFD=90四边形DECF是正方形，EC/DF,EC=DF/EAH=ZHFD,AE=DFZAHE-zrnlEAn=上HF&在AEH与4FDH中AEDi, .AEHAFDhl(AAS), .EH=DH, /BAG+/CAF=90,° /BAG+ZABE

3、=90；/AGB=90；AFXBE,.M是IC的中点，E是AC的中点，.EM/AI,DIM-/IM进,，.DI=IM,.CD=DI+IM+MC=3DI,.AD=3DI【解析】【分析】(1)根据翻折的性质和SAS证明AB®4ACF,利用全等三角形的性质得出/ABE=ZFAC再证明/AGB=90,可证得结论。(2)作IC的中点M,结合正方形的性质，可证得/EAH=/HFD,AE=DF利用AAS证明AEH与FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。2.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10,0),抛物线y=ax2+bx+4过点B,C两点，且与x轴的一个交点为

4、D(-2,0),点P是线段CB上的动点，设CP=t(0vtv10)(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;(2)过点P作PHBC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，/PBEOCD?(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM/BQ,交CQ于点M,作PN/CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.【答案】(1)解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4, C(0,4), 四边形OABC为矩形，且A(10,0), B(10,4),JOOn10b4=4把B、D坐标代入抛物线解析式可得九二为0口h=一/二IJ+2X7-6解得3,，抛物线解析式为y=1Z1Hl(2)解

5、：由题意可设P(t,4),则E(t,6t2+Jt+4),151A.PB=10-t,PE=t2+&t+4-4=启t2+t, /BPE=/COA90°,当/PBE=/OCD时，则PB上OCD,PEPB 必优，即BP?OD=CO?PE.2(10-t)=4(心t2+Jt),解得t=3或t=10(不合题意，舍去)， 当t=3时，ZPBE=/OCD;当/PBE=/CDO时，贝MPB&AODC,PEPB.%取即BP?OC=DO?PE,/3.4(10-t)=2(6t2+Jt),解得t=12或t=10(均不合题意，舍去)综上所述.,当t=3时，/PBE=/OCD(3)解：当四边形PMQ

6、N为正方形时，则ZPMC=ZPNB=ZCQB=90°,PM=PN, /CQO+/AQB=90°, /CQ8/OCQ=90°,/OCQ=/AQB, RtACOgRtAQAB,co.第AB,即OQ?AQ=CO?AB)设OQ=m,则AQ=10-m,1.m(10-m)=4x4解得m=2或m=8,当m=2时，CQ=8，子必=RI,BQ=叱/谓=小,sinZBCQ=BC=j,sin/CBQ=£=5,.PM=PC?sinZPCQ=厅t,PN=PB?sin/CBQ=$(10-1),-15t=5(10t),解得t=1,2G当m=8时，同理可求得t=3,1G26，当四边形P

7、MQN为正方形时，t的值为J或3【解析】【分析】(1)先求出抛物线与y轴的交点C的坐标，再根据矩形ABCO及点A的坐标为(10,0),求出点B的坐标，然后利用待定系数法，将点B、D的坐标分别代入函数解析式求出二次函数解析式。(2)设P(t,4),利用抛物线的解析式表示出点E的坐标，可求出PRPE的长，再分情况讨论：当/PBE=/OCD时，可证PB&4OCD,利用相似三角形的性质，的长BP?OD=CO?PE建立关于t的方程，求出符合题意的t的值；当/PBE=/CDO时，可得PBEAODC,利用相似三角形的性质得出BP?OC=DO?PE,建立关于t的方程，求出t的值，综上所述就可得出符合题

8、意的t的值。(3)当四边形PMQN为正方形时，贝UZPMC=ZPNB=ZCQB=90°,PM=PN,再证明RtACOQsRtAQAB,利用相似三角形的性质得出OQ?AQ=CO?AB,设OQ=m,贝UAQ=10-m,建立关于m的方程，求出m的值，再分别根据m的值求出COBQ的长，再利用解直角三角形用含t的代数式分别表示出PM、PN的长，由PM=PN可得出关于t的方程，再解方程，就可求出符合题意的t的值。3.如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作DEZ小C交边AC于点E,分另IJ取BC,DE的中点M,N,连接MN.33Cc图1图3SA/图2(1)发现:在图MM1中，BD(2)应用:如

9、图2,将/ADE绕点A旋转，请求出MNBD的值;(3)拓展:如图3,ABC和|/ADE是等腰三角形，且|/BAC二-DAE,M,N分别是底边BC,MXDE的中点，若比工CE,请直接写出而的值.AM、AN,【答案】(1):上BAD上MAN?：2ABC,AADE都是等边三角形，BYMC,帆%:媪1BC*土DE?AN-sinfit?AD-MAN?MNAM。j3BDAB-sin&O-r(3)解：如图3中，连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O,A图3ACADAE醐CM踹NEAM1K城1DE:'nBACjDAE,:JIBC/疝目，：siiijABYsin/ADY?AMAN-9&q

10、uot;ABAD.【解析】【解答】解：（1）如图1中，作DH工EC于H,连接am,ASi丁妞AC,网LM, AM1BC：*£ADE时等边三角形， ：-ADE="二*B|? :DE/吟:*AM1BC? AM工DE, ：W平分线段DE,:*DM-NE? ：A、N、M共线， ：/NMH=上MND=NDHM=如“?J四边形MNDH时矩形， :MNDH?MNDH，陋二一-sintft?-1BDBD2?也故答案为：J;【分析】(1)作DH，BC于H,连接AM.证四边形MNDH时矩形，所以MN=DH,则MN:BD=DH:BD=sin60；即可求解；(2)利用ABC,ADE都是等边三角形可

11、得AM:AB=AN:AD,易得/BAD=/MAN,从而得BADsman,贝UNM:BD=AM:AB=sin60；从而求解；(3)连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.先证明BADsman可得NM:BD=AM:AB=sin/ABC;再证明BADCAE,贝U/ABD=/ACE,进而可得/ABC=45,可求出答案.4.如图，在平面直角坐标系中，点A(5,0),以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结ACBC,并延长BC至点D,使CD=BC,过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F,点E为垂足，连结OF.D(1)当/BAC=30o时，求ABC的面积；(2)当DE=8时，

12、求线段EF的长；(3)在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与4ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)解：.AB是。的直径，/ACB=90；在RtABC中，AB=10,/BAC=30,(2)解：连接AD,D /ACB=90,°CD=BC.AD=AB=10, .DEXAB,.,AE=J"-怵=6,BE=AB-AE=4,.DE=2BE, /AFE+/FAE=90；DDBE+ZFAE=90,/AFE=ZDBE, /AEF=ZDEB=90；.AEDDEB,D=2,，EF=AE=X6=3（3）解：连接EC,设E（x,0）,团当班:的度

13、数为600时，点E恰好与原点O重合;的度数60°时，点E在O、B之间，/EOF/BAC=ZD,又/OEF=ZACB=90,由相似知/EOF=/EBD,此时有EODEBD,庭应，EC是RtABDE斜边的中线,.CE=CB/CEB=ZCBE, /EOF玄CEB .OF/CE, .AOFAAECAOOF族二一2x20LEE,即AO,15土为解得x=/,因为x0,一15十次/760°的度数90°时，点E在O点的左侧,若/EOF=ZB,贝UOF/BD,11.OF=BC=BD,OF-WOE解得x=若/EOF=ZBAC,则x=-二，综上点E的坐标为（【解析】【分析】（1）根据圆

14、周角定理求得/ACB=90,根据30。的直角三角形的性质求得BC,进而根据勾月定理求得AC,然后根据三角形面积公式即可求得；(2)连接AD,由垂直平分线的性质得AD=AB=10,又DE=8,在RtAODE中，由勾股定理求AE,依题意证明AED4DEB,利用相似比求EF;(3)当以点E、0、F为顶点的三角形与ABC相似时，分为两种情况：当交点E在0,B之间时；当点E在0点的左侧时；分别求E点坐标.5.如图，已知一次函数y=-Jx+4的图象是直线1,设直线l分别与y轴、x轴交于点A、(1)求线段AB的长度；(2)设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N,以点N为圆心，

15、NA的长为半径作ON.当。N与x轴相切时，求点M的坐标；在的条件下，设直线AN与x轴交于点C,与。N的另一个交点为D,连接MD交x轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线1交于点P、Q,当APQ与CDE相似时，求点P的坐标.【答案】(1)解：当x=0时，y=4,A(0,4),.OA=4,当y=0时，-Jx+4=0,x=3,.B(3,0),.OB=3,由勾股定理得：AB=5(2)解：如图1,过N作NHy轴于H,过M作MEy轴于E,OBEM3tanZOAB=OAAE4, 设EM=3x,AE=4x,贝UAM=5x,.M(3x,-4x+4),由旋转得：AM=AN,/MAN=90, /EAM+ZHAN=9

16、0； /EAM+ZAME=90;/HAN=ZAME, /AHN=ZAEM=90；.-.ahnamea,.AH=EM=3x,.ON与x轴相切，设切点为G,连接NG,则NG±x轴, .NG=OH,则5x=3x+4,2x=4,x=2,.M(6,-4);如图2,由知N(8,10), .AN=DN,A(0,4),.D(16,16),设直线DM：y=kx+b,把D(16,16)和M(6,-4)代入得：,b=16:能=-i,-k=2解得：， 直线DM的解析式为：y=2x-16, 直线DM交x轴于E, 当y=0时，2x-16=0,x=8, E(8,0),由知：ON与x轴相切，切点为G,且G(8,0)

17、,.E与切点G重合， /QAP=/OAB=ZDCE.APQ与CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，分两种情况：i)当DC上QAP时，如图2,/AQP=/NDE,/QNA=ZDNF,/NFD=ZQAN=90；1. AO/NE,.ACOANCE,AO_CGI：.-00=3|,连接BN,.AB=BE=5,ZBAN=ZBEN=90,ZANB=ZENB,.EN=ND,ZNDE=ZNED,ZCNE士NDE+ZNED,ZANB=ZNDE,.BNIIDE,JSi_寸RRABN中，BN八'/VAB_A7sinZANB=ZNDE=BN,5_凶一冗,NF=2', 1.DF=4'6，ZQNA=Z

18、DNF,tanZQNA=tanZDNF='川5AC，城二“ .AQ=20,34,.tanZQAH=tanZOAB=VA设QH=3x,AH=4x,则AQ=5x,5x=20,x=4, 1.QH=3x=12,AH=16, Q(-12,20),同理易得：直线NQ的解析式: P(0,14);y=-x+14,3,ii)当DC&PAQ时，如图/APN=/CDE,/ANB=ZCDE1. AP/NG,/APN=ZPNE,/APN=ZPNE=ZANB, .B与Q重合，.AN=AP=10, .OP=AP-OA=10-4=a P（0,-6）;综上所述，APQ与CDE相似时，点P的坐标的坐标（0,14）

19、或（0,-6）【解析】【分析】（1）由一次函数解析式容易求得A、B的坐标，利用勾股定理可求得AB0B闽J的长度；（2）根据同角的三角函数得：tan/OAB=R!AE也设EM=3x,AE=4x,则AM=5x,得M（3x,-4x+4）,证明AHNMEA,则AH=EM=3x,根据NG=OH,列式可得x的值，计算M的坐标即可；如图2,先计算E与G重合，易得/QAP=/OAB=ZDCE,所以4APQ与4CDE相似时，顶点C必与顶点A对应，可分两种情况进行讨论：i）当DCaQAP时，证明AC84NCE,列比例式可得CO=3,根据三角函数得：DF眼g磔tanZQNA=tanZDNF=4产心,AQ=20,则t

20、an/QAH=tan/OAB=41*,设QH=3x,AH=4x,贝UAQ=5x,求出x的值，得P（0,14）;ii）当DC上PAQ时，如图3,先证明B与Q重合，由AN=AP可得P（0,-6）.6.如图，在矩形ABCD中，AB=18cm,AD=9cm,点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动.如果点M、N同时出发，用t(s)表示移动时间(04令，求：/a/B(1)当t为何值时，/ANM=45?(2)计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；(3)当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与BCD相似？【答案】(1)解

21、：对于任何时刻t,AM=2t,DN=t,NA=9-t,当AN=AM时，AMAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t,解得：t=3(s),所以，当t=3s时，AMAN为等腰直角三角形(2)解：在4NAC中，NA=9-t,NA边上的高DC=12,.S.nac=NA?DC=：(9-t)?18=81-9t.在AMC中，AM=2t,BC=9,1 日/.Saamc=工AM?BC=-?2t?9=9t.二.S四边形namc=Sanac+Saamc=81(cm2).由计算结果发现：在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变.(也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变)(3)解：根据题意，

22、可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：当NA:AB=AM:BC时，NA24ABC,那么有：(9-t):18=2t:9,解得t=1.8(s),即当t=1.8s时，NA'ABC;当NA:BC=AM:AB时，MANsabc,那么有：(9-t):9=2t:18,解得t=4.5(s),即当t=4.5s时，MANsABC；所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与4ABC相似【解析】【分析】(1)根据题意可得：因为对于任何时刻t,AM=2t,DN=t,NA=9-t.当NA=AM时，AMAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。(2)根据(1)中.在4NAC中，NA=9-

23、t,NA边上的高DC=18,利用三角形的面积公式，可得Sanac=81-9t,SaAMc=9t.就可得出S四边形namc=81,因此在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变。(3)根据题意，在矩形ABCD中，可分为当NA:AB=AM:BC时，NA24ABC;当NA:BC=AM:AB时，MANsabc两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案。7.抛物线y=ax2+bx+3(aw。经过点A(-1,0),B(-,0),且与y轴相交于点C.I斗AAl0T1(1)求这条抛物线的表达式；(2)求/ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一-象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC

24、上，且DE±AC,当4DCE与4AOC相似时，求点D的坐标.【答案】(1)解：当x=0,y=3,.C(0,3)3设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-).J将c(0,3)代入得：-口a=3,解得a=2,.抛物线的解析式为y=-2x2+x+3(2)解：过点B作BMLAC,垂足为M,过点M作MN二 .OC=3,AO=1, tanZCAO=3, 直线AC的解析式为y=3x+3._OA,垂足为No.ACXBM,BM的一次项系数为设BM的解析式为y=1+b,将点B的坐标代入得:x=5一4=BM的解析式为y=芋二./1将丫=3*+3与丫=.十二联立解得:.?MCB为等腰直角三角形。/ACB=4

25、5o. /ACB=45o点D是第一象限抛物线上一点， /ECD>45o.又.？DCE与？AOC相似，ZAOC=ZDEC=90o,/CAO=ZECD.CF=AF.设点F的坐标为（a,0）,则（a+1）2=32+a2,解得a=4. F（4,0）.设CF的解析式为y=kx+3，将F（4,0）代入得4k+3=0,解得k=3，CF的解析式为y=）x+3.J/将y=Jx+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0（舍去）或x=5gng将x=占代入y=x+3得y=七”.D(6,33)【解析】【分析】(1)易求得C的坐标，利用交点式设出解析式，再把C的坐标代入可求出；(2)过点B作BMLAC,垂足为M,过

26、点M作MNLOA,垂足为N.由tan/CAO=3先求出直线AC的解析式，从而求出BM的解析式，两个解析式联立求出M的坐标，再由两点之间的距离求出MC=BM,进而得出？MCB的形状，求出答案；(3)延长CD,交x轴于点F,由？DCE与？AOC相似可得出CF=AF利用勾股定理求出F的坐标，由待定系数法求出CF的解析式，再与二次函数的解析式联立求出D的坐标.8.在RtABC中，/BAC=90°,过点B的直线MN/AC,D为BC边上一点，连接AD,作DE±AD交MN于点E,连接AE.(1)如图，当/ABC=45时，求证：AD=DE;理由；(2)如图，当/ABC=30时，线段AD与D

27、E有何数量关系？并请说明理由；(3)当/ABCw时，请直接写出线段AD与DE的数量关系.(用含a的三角函数表示)【答案】(1)解：如图1,过点D作DFLBC,交AB于点F,图1贝U/BDE+/FDE=90,.DEXAD,./FDE吆ADF=90,./BDE=/ADF,/BAC=90,ZABC=45；/C=45；MN/AC,/EBD=180-/C=135，。:/FBD=45；DF±BC,，/BFD=45；BD=DF,，/AFD=135:：.LEBD=ZAFD,在BDE和FDA中,./EBD=/AFD,BD=DF,/BDF=/ADF,.BDEFDA(ASA),.AD=DE(2)解：DE=

28、AD,理由：如图2,过点D作DG,BC,交AB于点G,贝U/BDE+/GDE=90,/DE±AD,/GDE+ZADG=90°,./BDE=ZADG,/BAC=90°,/ABC=30°,/C=60°,.MN/AC,ZEBD=180-/C=120；/ABC=30；DG±BC,/BGD=60°,ADD6M./AGD=120，/EBD=/AGD,BDEAGDA,.DE瓯,在RtABDG中，里，=tan30=3,/.DE=匕AD(3)解：AD=DE?tan”；理由:图2如图2,/BDE+/GDE=90,DE，AD,./GDE+/ADG

29、=90,/BDE=/ADG,ADDG./EBD=90°，+/AGD=90°,+*./EBD=/AGD,EBDAGD,：.距瓯,在D6也RtABDG中，=tanq则=tanq.AD=DE?tana【解析】【分析】(1)如图1,过点D作DF,BC,交AB于点F,根据同角的余角相等得出/BDE=/ADF,根据等腰直角三角形的性质得出/C=45,/BFD=45,BD=DF,进而根据平行线的性质邻补角的定义得出/EBD=180-/C=135,/AFD=135,从而利用ASA判断出BDEFDA,根据全等三角形的对应边相等得出AD=DE;(2) DE=AD,理由：如图2,过点D作DG,B

30、C,交AB于点G,根据等角的余角相等得出ZBDE=ZADG,根据三角形的内角和得出/C=60,/BGD=60,根据二直线平行同旁内角互补得出/EBD=120,根据邻补角的定义得出/AGD=120,故/EBD=ZAGD,根据两个角对应相等的两个三角形相似得出BD&GDA,利用相似三角形对应边成比例得出“1AD：DE=DG：BD,根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值得出DG：BD=tan30=3从而得出答案；(3) AD=DE?tanx;理由：如图2过点D作DG,BC,交AB于点G,根据等角的余角相等得出/BDE=ZADG,根据三角形的内角和得出根据二直线平行同旁内角互补得出ZEBD=9

31、0°,+五角形的外角定理得出ZAGD=90°,+故/EBD=/AGD,根据两个角对应相等的两个三角形相似得出BDEGDA,利用相似三角形对应边成比例得出AD：DE=DG：BD,根据正切函数的定义DG：BD=tan”从而得出答案。二、圆的综合9.已知？ABCD的周长为26,/ABC=120°,BD为一条对角线，。内切于ABD,E,F,G为切点，已知。的半径为J3.求？ABCD的面积.【答案】203【解析】【分析】首先利用三边及。的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13,然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.【详解】设。分别切4ABD的边AD、A

32、B、BD于点G、E、F;平行四边形ABCD的面积为S;贝US=2Sabd=2J(ABOE+BDOF+ADOG)=73(AB+AD+BQ；2 平行四边形ABCD的周长为26,.AB+AD=13,.S=,3(13+BD)；连接OA；由题意得：/OAE=30, .AG=AE=3;同理可证DF=DGBF=BE .DF+BF=DG+BE=133-3=7,即BD=7, .S=a/3(13+7)=2073.即平行四边形ABCD的面积为20J3.10.如图，在4ABP中,C是BP边上一点，/PAG/PBA。是ABC的外接圆，AD是。的直径，且交BP于点E.(1)求证：PA是。的切线；(2)过点C作C。AD,垂

33、足为点F,延长CF交AB于点G,若AG?AB=12,求AC的长.【答案】(1)证明见解析(2)2万【解析】试题分析：(1)根据圆周角定理得出/ACD=90以及利用/PAC=/PBA得出/CAD+ZPAC=90进而得出答案；(2)首先得出CA84BAC,进而得出ACAGAB,求出AC即可.试题解析：(1)连接CD,如图，.AD是。O的直径，/ACD=90; /CAD+ZD=90: /PAG/PBA,/D=ZPBA, /CAD+ZPAC=90;即/PAD=90°, PAXAD, .PA是。O的切线；(2) CF71AD, /ACF+ZCAF=90:ZCAC+ZD=90；/ACF=ZD,/

34、ACF=ZB,而/CAG=ZBAC,.ACGAABC, .AC：AB=AG：AC, .AC2=AG?AB=12, .AC=2百.11.如图，已知AB是。O的直径，点C,D在。O上，BC=6cm,AC=8cm/BAD=45°.点E在。O外，做直线AE,且/EAC玄D.(1)求证：直线AE是。的切线.(2)求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析;(2)25-504【解析】分析：(1)根据圆周角定理及推论证得/BAE=90,即可得到AE是。的切线;(2)连接OD,用扇形ODA的面积减去4AOD的面积即可.详解：证明：(1).AB是。的直径，/ACB=90,°即/BAC+/AB

35、C=90, ZEAC玄ADC,/ADC=/ABC, /EAC玄ABC，/BAC+/EAC=90,°即RBAE=90°，直线AE是。O的切线；(2)连接OD BC=6AC=8AB.628210OA=5又.OD=OA/ADO=/BAD=45SAOD/AOD=90°1-S山影=S扇形ODA9036015555225504(cm2)点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用12.如图，4ABC内接于OO,AB是直径,。的切线PC交BA的延长线于点P,OF/BC交

36、AC于点E,交PC于点F,连结AF.（1）判断AF与。O的位置关系并说明理由;(2)若AC=24,AF=15,求sinB.3【答案】（1）AF与。O相切理由见解析；（2）-5试题分析：(1)连接OC,先证/OCF=90°,再证明OAF04OCF,得出/OAF=/OCF=90°即可；OAAE(2)先求出AE、EF,再证明OAEAFE,得出比例式一一，可求出半径，进而AFEF求出直径，由三角函数的定义即可得出结论.试题解析：解：(1)AF与。相切.理由如下：连接OC.如图所示.PC是。的切线，OCXPC,ZOCF=90°.OF/BC,，/B=/AOF,/OC&

37、/COFOB=OC,./B=/OCB,./AOF=/COF.在OAF和OCF中，.OA=OC,/AOF=/COF,OF=OF,.OAFOCF(SAS,./OAF=/OCF=90；，AF与。O相切；(2).OAFOCF，/OAE=/COEOE±AC,AE=-AC=122，.OAAEOA12.EF=J1521229.ZOAF=90°,AOAEAAFE,.空任即义15129AFEF'159'AC243.OA=20,AB=40,sinB=一.AB405点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是

38、解题的关键.13.如图,已知RtABC中，ACB90°，AC8,AB10,点D是AC边上一点(不与C重合)，以AD为直径作eO,过C作CE切eO于E,交AB于F.(1)若eO的半径为2,求线段CE的长;(2)若AFBF,求eO的半径；(3)如图，若CECB，点B关于AC的对称点为点G,试求G、E两点之间的距离.【答案】(1)CE4J2；(2)eO的半径为3；(3)G、E两点之间的距离为9.6.【解析】【分析】(1)根据切线的性质得出/OEC=90,然后根据勾股定理即可求得；(2)由勾股定理求得BC,然后通过证得OE84BCA,得到OE=OC,即!=8-r,解BCBA610得即可；(3

39、)证得D和M重合，E和F重合后，通过证得GBEABC,GB型即ABAC12GE一一，解得即可.108【详解】(1)如图，连结OE.CE切eO于E,OEC90.AC8,eO半径为2,OC6,OE2.CEOC2OE242；(2)设eO半径为r.在RtABC中，ACB90,AB10,AC8,BCAB2AC26. AFBF,AFCFBF.ACFCAF.CE切eO于E,OEC90.OECACB, OECBCA.OEOCBCBAr8r ,610解得r3. eO的半径为3；连结EG、OE,设EG交AC于点M，由对称性可知，CBCG.又CECB,CECG.EGCGEC.CE切eO于E,GECOEG90.又EG

40、CGMC90, OEGGMC.又GMCOME, OEGOME. OEOM.，点M与点D重合.，G、D、E三点在同一条直线上.连结AE、BE, AD是直径，AED90,即AEG90.又CECBCG,BEG90. AEBAEGBEG180, A、E、B三点在同一条直线上. E、F两点重合.GEBACB90,BB,GBEABC.GBGE12GE,即.ABAC108GE9.6.故G、E两点之间的距离为9.6.【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关键.14.如图，AB是eO的直径，DF切eO于点D

41、,BFDF于F,过点A作AC/BF交BD的延长线于点C.(1)求证：ABCC;(2)设CA的延长线交eO于E,BF交eO于G,若DG的度数等于60o,试简要说明【解析】【分析】(1)作辅助线，连接OD,由DF为。的切线，可得OD，DF,又BF，DF,AC/BF,所以OD/AC,/ODB=ZC,由OB=OD得/ABD=ZODB,从而可证/ABC=ZC；(2)连接OG,OD,AD,由BF/OD,Gd=60,可求证?G=GdAd=60,由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出/OHD=90,由垂径定理便可得出结论.【详解】(1)连接OD,.DF为。O的切线， ODXDF. .BFXDF,AC/BF,

42、 .OD/AC/BF./ODB=ZC. .OB=OD,/ABD=ZODB./ABC=ZC.连接OG,OD,AD,DE,DE交AB于H,1. BF/OD,，/OBG=/AOD,/OGB=/DOG,GdAd=Bg-Gd=60,Bg=GdAd=60,/ ABC=ZC=/E=30；.OD/CE/ ODE=ZE=30:在ODH中,/ODE=30,/AOD=60,/OHD=90；ABIDE.点D和点E关于直线AB对称.【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答.15.已知RtAABC,/BAC=90°,点D是BC中点，AD=AC,BC=4内

43、，过A,D两点作OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是。上一动点，连接DM交AB于点N,求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心O不在AB上且动圆。与DB相交于点Q时，过D作DHLAB(垂足为H)并交。于点P,问：当。变动时DP-DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.刻)I蚯【答案】(1)2P(2)当ON等于1或，3-1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形(3)不变，理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；(2)连DEME,易得当ED和EM为

44、等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE±DM,易得到4ADC为等边三角形，得/CAD=60°,贝U/DAO=30°,/DON=60,然后1根据含30的直角三角形三边的关系得DN=,AD=J3,ON=?DN=1;当MD=ME,DE为底边，作DHLAE,由于AD=2Q,ZDAE=30°,得到DH=J3,/DEA=60；DE=2,于是OE=DE=2OH=1,又/M=/DAE=30,MD=ME,得到/MDE=75,贝U/ADM=90-75=15°,可得到/DNO=45；根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=V3,则ON=J3-1;(3)连A

45、P、AQ,DP,AB,彳导AC/DP,则/PDB=/C=6CT,再根据圆周角定理得/PAQ=/PDB,/AQC=/P,则/PAQ=60,°/CAQ=/PAD,易证得AQCAPD,得到DP=CQ贝UDP-DQ=CQ-DQ=CD而4ADC为等边三角形，CD=AD=2，3,即可得到DP-DQ的值.【详解】解：(1)ZBAC=90。，点D是BC中点，BC=4J3,.AD=1BC=273；2(2)连DE、ME,如图，DM>DE,当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，.OESM,又AD=AC,.ADC为等边三角形，/CAD=60；/DAO=30；/DON=60;1 在RtADN中，DN=AD=732 '在RtAODN中,ON=3DDN=1,3，当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；当MD=ME,DE为底边，如图3,作DHXAE,.AD=273,ZDAE=30。，.DH=73,/DEA=60°,DE=2,.ODE为等边三角形，.OE=D