定积分教学课件

1、江西师大附中江西师大附中 曾敏曾敏1.1.定积分的概念定积分的概念( (二二) ) 一、旧知回顾 练习：计算 )132(61) 12)(1(61111)(2312312nnnnnninnninini102dxx)12)(1(6112nnnini提示： niniinxnifxfSdxx11102)(31)132(61limlim2102nnSdxxnnn求极限作和近似替代分割分析：x xy y1 10 02xy （以直代曲、逼近） 定积分的定义： 一般地，如果f(x)在区间a,b上连续， 用分点 将区间等分成n个小区间，在每个小区间 上取一点 作和式 当 时，上述 和式无限接近于某个常数，这 个

2、常数叫函数f(x)在区间a,b上的定积分。我们 记作 bxxxxxxannii1110iixx,1), 3 ,2, 1(nii)()(11ininiifnabxfnbadxxf)( Sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线由连续曲线y f(x) (f(x) 0) ，直线，直线x a、x b及及x轴轴所围成的曲边梯形的面积为所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度设物体运动的速度v v(t)，则此物体在时间区间，则此物体在时间区间a, b内运动的距离内运动的距离s为为( );baSv t dt (3) 设物体在变力设物体在变力F F(r)的方向上

3、有位移的方向上有位移r，则，则F在在位移区间位移区间a, b内所做的功内所做的功W为为( ).baWF r dr112001( )3Sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1x yOf(x)=x213S baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值,它只与被积函数及积分它只与被积函数及积分 区间有关，而与积分变量的记法无关，即区间有关，而与积分变量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和 i的的取取法法是是任任意意的的. 二二. .定积分的几何意义：定积分的几何意义：Ox yab yf (x)baf (x

4、)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：定积分的几何意义：积分 b ba af f ( (x x) )dxdx 在几何上表在几何上表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f (

5、 (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 S S定积分的几何意义：定积分的几何意义： 在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).50(24)xdx计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx 例1 用定积分表示下列阴影部分面积。 （1） （2） 解（1）由图可知 （2）由图可知212dxxS1121dxxS0 0 1 12 22xy x xy y1 11 1-1-10 0y yx x122yx102的值：计算例xdx 解：由定积分几何意义 可知112110 xdx1 10 0 x xy yy=xy=x21 变

6、式练习：计算 的值。 解：由几何意义可得 222142222dxx2224dxx2 22 2-2-20 0y yx x422yx四四. . 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk由定积分的定义可知，定积分有以下性质：由定积分的定义可知，定积分有以下性质： 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx ya

7、b yf (x)四四. . 定积分的基本性质定积分的基本性质 课外探究：课外探究：你能用定义证明你能用定义证明 性质性质1 1、2 2、3 3吗？吗？ab yf (x)Ox y( )yg x探究探究: :根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx 2( )baSg x dx( )( )bbaaf x dxg x dx思考：的几何意义是什么？y yo o)(xfya ab b性质3的几何意义如图所示：c cx x

8、探究：探究：你能用定积分几何意义解释性质(3)吗？ bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 练习1 计算 解 由定积分的性质可知102)32(dxxx102)32(dxxx1010232dxxxdx1010232dxxxdx0313212 练习练习2：如果：如果1N能拉长弹簧能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉为了将弹簧拉长长6cm,需做功（需做功（ ） A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J所以做功就是求定积分所以做功就是求定积分0 060100 xdx0 18.kxF 则由题可得则由题可得k100。 解：解：设A 说明：物体在变力说明：物体在变力F(x)

9、的作用下做直线运动，并的作用下做直线运动，并且物体沿着与且物体沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x= b点，点，则变力则变力F(x) 所做的功为所做的功为: badxxFW)( 分析：分析：在弹性限度内，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧拉伸（或压缩）弹簧所需的力所需的力与弹簧拉与弹簧拉伸（或压缩）的长度伸（或压缩）的长度x x成正比成正比五、小结五、小结（1）定积分的几何意义： 在a,b上函数f(x)连续且恒有f(x)0,那么定积分 表示由直线x=a,x=b(ab), y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。（2）定积分的性质： baf(x)dx).()()(1为常数）（kdxxfkdxxkfbababababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(22121）（).()()()(3bcadxxf