二阶线性微分方程的解法

1、二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如ypyqy=f(x)(1)(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p、q均为实数,f(x)为已知的连续函数.如果f(x)三0,则方程式变成ypyqy-0(2)(2)我们把方程(2)(2)叫做二阶常系数齐次线性方程，把方程式(1)(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1 1 . .解的叠加性定理 1 1 如果函数yi与、2是式(2)(2)的两个解，则y=Ci%i%+C2V2也是式(2)(2)的解淇中C1,C2是任意常数. .证明因为与、2是方程(2)(2)的解,所以有y；py；qyi=

2、0y2py2qy2=0将y=Gyi+C2y2代入方程(2)(2)的左边，得(Gy；C2y2)pGyiC2y2)q(GyiC2y2)= =Ci(y；pyiqyi)Cz(y2py2qy2)=0所以y=C1yi+C2y2是方程(2)(2)的解.定理 i i 说明齐次线性方程白解具有叠加性. .叠加起来的解从形式看含有G,C2两个任意常数，但它不一定是方程式(2)(2)的通解.2 2 .线性相关、线性无关的概念设yi,y2，yn,为定义在区间I内的 n n 个函数，若存在不全为零的常数心*2,，kn,使得当在该区间内有kiyi+k2y2+k0yn三0, ,则称这 n n个函数在区间 I I 内线性相关

3、，否则称线性无关. .例如1,cos2x,sin2x在实数范围内是线性相关的，因为221 -cosx-sinx三0又如1,x,x2在任何区间（a,ba,b）内是线性无关的，因为在该区间内要使k1k2xk3x2三0必须k1=k2=k3=0.=0.对两个函数的情形，若丛=常数，则y, ,y2线性相关，若近#常数，则y2y2y1,V2线性无关.3 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 2 如果必与y2是方程式（2 2）的两个线性无关的特解，则y=Gy1+C2y2（C1,C2为任意常数）是方程式（2 2）的通解. .例如，y+y=0是二阶齐次线性方程，y1=sinx,y2=cosx是它的V1两个解

4、，且=tanx=常数，即必，y2线性无关，所以y2y=C1ylC2y2=C1sinxC2cosx（C,，C2是任意常数）是方程y*+y=0的通解.rx由于指数函数y=e（r r 为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，根据指数函数的这个特点，我们用y=erx来试着看能否选取适当的常数r, ,rx使y=e=e 满足万程（2 2）. .将y=erx求导，得rx2rxy=re,y=re把y,y：y代入方程得（r2prq）erx=0因为erx=0, ,所以只有r2+pr+q=0（3 3）只要r满足方程式（3 3）, ,y=erx就是方程式（2 2）的解. .我们把方程式（3 3）叫做方程式（2 2）

5、的特征方程，特征方程是一个代数方程：其中r2,r的系数及常数项恰好依次是方程（2 2）y：y,y的系数. .-p二p2-4q特征方程（3 3）的两个根为1,2=”，因此方程式化）的通解有下列三种不同的情形.2（1 1）当p4q0时，Jr?是两个不相等的实根. .-p.p2-4q-p-p2-4qri二，r2=-22y1=erix,y2=er2X是方程（2 2）的两个特解，并且丛=e（ri2）x#常数，即V2yi与V2线性无关.根据定理 2,2,得方程（2 2）的通解为y=Cier1x+C2er2x2（2 2）当p4q=0时，r1,r2是两个相等的实根. .r ri=匕=-。，这时只能得到方程（2

6、 2）的一个特解yi= =e e”, ,还需求出另一个解y2,且也。常数，设k=u（x）,即yiyiy2=erixu(x)y2=eriX(uriu),y2=eriX(u2riuri2u). .将y2,y2,y2代入方程（2 2）, ,得er1x(u2r1ur12u)p(ur1u)quL0er1xu(2r1p)u(r12priq)u=02由于e=0,所以u+(2r+p)u+(r+pr+q)u=0因为r1是特征方程（3 3）的二重根，所以2r1pr1q=0,2rlp=0从而有u”=0因为我们只需一个不为常数的解，不妨取u=x, ,可得到方程（2 2）的另个解rixy2=xe那么，方程（2 2）的通

7、解为y=C1eriXC2xer1xy=GC2x)er1x. .-4q0时，特征方程（3 3）有一对共轲复根r1=i：,r2=-i：(匚1:0)yi=e(ix,y2=e(*)x利用欧拉公式eix=cosx+isinx把y,y2改写为y=e(ccix=ecxei*=e(cosPx+isinBx)y2=e(oe+Bx=6厘一口=ecx(cosx-isinPx)y1,V2之间成共轲关系，取y= =1(y172)二excosx, ,2整理，得-1y2=.(y172)e-sinx方程（2 2）的解具有叠加性，所以y1, ,y2还是方程（2 2）的解，并且exsin:x-一._、一,一.er=tanx#常数

8、所以方程(2)(2)的通解为excos-xy=e；x(C1cosxC2sinx)综上所述，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下（1 1）写出方程（2 2）的特征方程2rprq=0（2 2）求特征方程的两个根ri,2根据ri,2的不同情形，按下表写出方程（2 2）的通解. .，、一2一一特征力程r+pr+q=0的两个根r1,r2方程y+py+qy=0的通解两个不相等的实根r1丰r2y=C1er1x+C2er2x两个相等的实根r1=r2y=(C+C2x)er1x一对共轲复根r1i2iPy=ex(C1cosPx+C2sinPx)例 1 1 求方程y+2y+5y=0的通解.解：所给方程的特征方程为r

9、22r5=0r1-12i,r2-1-2iy2yi,2-例 2 2 求方程工1+29+5=0满足初始条件St=4,Sn=2dt2出 ii的特解.解所给方程的特征方程为2r2r1=0r1=r2=-1通解为S=（C1-C2t）e将初始条件S=4代入相Ci=4，于是t03S=（4+C2t）e,对其求导得SG-4-C2t）eJ将初始条件Sq=-2代入上式，得t士：C2=2所求特解为S-（42t）e例 3 3 求方程y+2y3y=0的通解.解所给方程的特征方程为r2+2r3=0其根为r1-3,r2=1所以原方程的通解为y=C1exC2ex二、二阶常系数非齐次方程的解法1 1 .解的结构定理 3 3 设yw

10、是方程（1 1）的一个特解，Y是式（1 1）所对应的齐次方程式（2 2）的通解，则y=Y+y”是方程式（1 1）的通解. .证明把y=Y+y中代入方程（1 1）的左端：(Yy)p(Yy)q(Yy)= =(Y-pYqY)(y：+py-qy)= =0f(x)=f(x)y=Y+y中使方程(1)(1)的两端恒等，所以y=Y+y*是方程(1)(1)的解.定理 4 4 设二阶非齐次线性方程(1)(1)的右端f(x)是几个函数之和，如ypyqy=fi(x)f2(x)而y；与y2分别是方程y+py+qy=f1(x)与ypyqy=fz(x)的特解，那么y：+y2就是方程(4)(4)的特解，非齐次线性方程(1)(

11、1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2 2 . .f(x)=exPm(x)型的解法f(x)=exPm(x)，其中K为常数，Pm(x)是关于x的一个m次多项式.方程(1)(1)的右端f(x)是多项式Pm(x)与指数函数ex乘积的导数仍为同一类型函数，因此方程(1)(1)的特解可能为y=Q(x)e%，其中Q(x)是某个多项式函数.把y=Q(x)e*y=，Q(x)+Q(x)e然y=2Q(x)2Q(x)Q(x)ex代入方程(1)(1)并消去e及得Q(x)(21p)Q(x)(，2p-q)Q(x)=Pm(x)以下分三种不同的情形，分别讨论函数Q(x)的确定方法：2(1)(1)右九不是万程式(2)(2)的

12、特征万程r+pr+q=0的根，即铲+p九+q=0,要使式(5)(5)的两端恒等，可令Q(x)为另一个m次多项式Qm(X)：Qm(x)=b0biXb2X2bmXm代入(5)(5)式，并比较两端关于X同次哥的系数，就得到关于未知数b0,b1,，bm的m+1个方程.联立解方程组可以确定出bi(i=0,1，m).从而得到所求方程的特解为y=Qm(X)e.2(2)(2)右九是特征万程r+pr+q=0的单根，即九2+p九+q=0,2九+p#0，要使式(5)(5)成立，则 Q(X)必须要是m次多项式函数，于是令Q(X)=XQm(X)用同样的方法来确定Qm(X)的系数bj(i=0,1，m). .一,、一2一一

13、一.一2一(3)(3)若九是特征万程r+pr+q=0的重根，即九+p九+q=0,2/.p=0. .要使(5)(5)式成立，则 Q(X)必须是一个m次多项式，可令Q(X)-X2Qm(X)用同样的方法来确定Qm(x)的系数.综上所述，若方程式(1)(1)中的f(x)=Pm(x)e匕则式(1)(1)的特解为y=xkQm(x)eX其中Qm(x)是与Pm(x)同次多项式*按儿不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0,10,1 或 2.2.2x例 4 4 求万程y+2y=3e的一个特解.解f(x)是pm(x)e光型，且Pm(x)=3，九=2对应齐次方程的特征方程为r22r=0,特征根

14、根为r1=0,r2-2.九二-2 2 是特征方程的单根，令y=xboe”,代入原方程解得3bo-23故所求特解为y:=-3xeNx.2例 5 5 求方程y*-2y=(x-1)ex的通解.解先求对应齐次方程y-2y+y=0的通解.特征方程为r2-2r1=0,r1=r2=1齐次方程的通解为Y=(GC2x)ex.再求所给方程的特解=1,Pm(x)=x-1由于九=1是特征方程的二重根，所以y=x2(axb)ex把它代入所给方程，并约去ex得6ax2b=x-1比较系数彳导1.1a=-b=-62工曰2x1x于正y=x(-)e621c1av所给方程的通解为y=yy=(C1,C2x-1x2,1x3)ex263

15、.3.f(x)=Acos5x+Bsinx型的解法f(x)=Acoscox+Bsineox,其中A、B、8 8 均为常数.此时,方程式(1)(1)成为ypyq=AcosxBsinx(7)(7)这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式(7)(7)的特解 y y* *也应属同一类型，可以证明式(7)(7)的特解形式为y=xk(acosxbsinx)其中a,b为待定常数.k为一个整数.当士切i不是特征方程r2+pr+q=0的根，k取 0 0；2当i不/寸征万程r+pr+q=0的根，k取I；例 6 6 求方程y+2y-3y=4sinx的一个特解.2解o=1,i=i不是特征方程为r+2r-3=0的根，k=0. .因此原方程的特解形式为y=acosxbsinx于是y-asinxbcosxy=-acosx-bsinx将y*,y:y代入原方程，得-4a+2b=0、一2a-4b=424斛得a=-,b=5524.原万程的特解为：ycosx-sinx55例7求方程y-2y3y=ex+sinx的通解.解先求对应的齐次方程的通解Y.对应的齐次方程的特征方程为-2r-3=0r1-1,r2=3Y=ge/C2e3x再求非齐次方程的一个特解y-.由于f(x)=5cos2xe：根据定理 4,4,分别求出方程对应的右端项为fi(x)=e