高中数学选修1-1双曲线

1、双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习双曲线图象双曲线图象拉链画双曲线拉链画双曲线|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；双曲线定义双

2、曲线定义思考：思考：（1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹F2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3

3、.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上22, yx定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.

4、b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab变式变式2答案答案1.a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上轴上;2.焦点为焦点为(0,-6),(0,6),过点过点(2,5)3.a=4,过点过点(1, )4103例例2 2: :如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围. .2

5、2121xymm解解: :22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由2m 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸点爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例3 3. .

6、已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca

7、 2 22 22 2答答: :再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（或A、C）两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .PBA Cxyo几何画板演示第几何画板演示第2 2题的轨迹题的轨迹练习第练习第1 1题详细答案题详细答案本课小结本课小结2.2.课本课本62P习题习题 2.32.3 A A 组第组第 5 5 题题 如图如图, ,圆圆O的半径为定长的

8、半径为定长r, ,A是是圆圆 O 外一定点外一定点, ,P 是圆上任意一点是圆上任意一点, ,线段线段 AP 的垂直平分线的垂直平分线 l 和直线和直线 OP相交于点相交于点 Q Q,当点当点 P 在圆在圆 O 上运动时上运动时,点点 Q Q 的轨迹是什么的轨迹是什么? ?为什么为什么? ? 3 sinsinsin,5BCA解解: 在在ABC中中, ,| |BC|=10|=10，33106 1055ACABBC 由由正正弦弦定定理理得得故顶点故顶点A的轨迹是的轨迹是以以B、C为焦点的双曲线的左支为焦点的双曲线的左支又因又因c=5，a=3，则，则b=41 (3)916xyx 2 22 2则顶点则

9、顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为双曲线的几何性质 2、对称性、对称性 双曲线双曲线 的几何性质的几何性质1、范围、范围22222211,xyxaabxaxa 得或关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称的轴和原点都是对称的.。x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，心心.双曲线的对称中心叫做双曲线的双曲线的对称中心叫做双曲线的中心中心.xyo(-a,0)(a,0)(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)Ry 0000yybbxyxybab2222xxxyaa由-0得 或 aba表示的平面区域内byxabyxa) 0, 0( 12222babyax3

10、、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo1B2B1A2A)0 ,()0 ,(21aAaA、顶点是如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长2A1A2B1B（2）1A2A1B2Bxyoxaby xaby a4、渐近线、渐近线MNP22221byxaxyab(1)两条直线叫做双曲线的渐近线(2)实轴和虚轴等长的双曲实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线线叫做等轴双曲线.22bxxaabPM=a22ya2x222axxab=a5、离心率、离心率e反映了双曲线开口大小反映了双曲线开口大小e越大越大 双曲线开口越大双曲线开口越大e越小越小 双曲线开口越小双曲线开口越小cea1A2A1B2Bxyobyxa byxa(1)ca焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,记作e.（3）离心率范围：）离心率范围：e1abtanba 21baxyo22221(0,0)yxabab双曲线的几何性质-aab-b（1）范围:,ya ya xR（2）对称性:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称