复变函数 洛朗展式

1、 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数第四章第四章 级级 数数4.3 洛朗级数洛朗级数 学习要点学习要点熟练掌握函数的熟练掌握函数的Laurent级数展开式级数展开式掌握掌握Laurent级数展开定理级数展开定理 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 本节将讨论在以本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数数和计算留数的基础。数和计算留数的基础。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数一、一、

2、 引入引入回顾：回顾：0000( )( )|f zzf zzzzRzz在在 解解析析在在 的的某某一一个个圆圆域域内内展展开开成成的的幂幂级级数数。思考：思考：0102( )|( )f zzRzzRf z若若在在 点点不不解解析析，但但在在内内解解析析，那那么么，能能否否用用级级数数表表示示呢呢？ 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数21( )0,1(1):01f zzzzzz 在在都都不不解解析析，但但在在圆圆环环域域内内处处处处解解析析。201nnzz 221,0,111( )()(1)1zzf zzzzz当当时时例：例：22111,nzzzzz| 1z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程

3、大学 复变函数复变函数100100100()()()()()nnnnnnnczzczzczzcc zzczz 形形如如的级数称为的级数称为洛朗级数洛朗级数0(0, 1, 2,)nzcn 其其中中 及及都都是是复复常常数数负幂项部分负幂项部分正幂项正幂项( (包括常数项包括常数项) )部分部分二、二、 洛朗洛朗(Laurent)级数（含有负幂项的级数）级数（含有负幂项的级数）定义定义 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数收敛域：收敛域：01Laurent()nnnczz 对对于于级级数数的的负负幂幂项项部部分分01zz 令令011()nnnnnnczzc 1nnncRR 设设收收敛敛半

4、半径径为为 ，收收敛敛域域：0101()nnnczzRzz 收收敛敛域域为为；01011RzzRzzR 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数00022()L ure|a|ntnnnczzzzRR 正正幂幂项项收收对对于于级级数数的的，设设其其收收敛敛半半为为敛敛域域径径，；121020()nnnRRRzzRczz 当当且且仅仅当当时时，两两个个级级数数有有公公共共收收敛敛区区域域，称称收收敛敛。z0R1R2z0R2R112RR 无无 公公 共共 收收 敛敛 域域12RR 有有公公共共收收敛敛域域 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数注：注： 120(1)()nnnRRczz

5、 当当时时，称称处处处处发发散散。(2) 在圆环域的边界在圆环域的边界 z z0 =R1, z z0=R2上上,0()nnnczz 可可能能有有些些点点收收敛敛，有有些些点点发发散散. .，0102(3)().nnnczzRzzR 级级数数在在内内的的和和函函数数是是解解析析的的，而而且且可可以以逐逐项项求求积积和和逐逐项项求求导导 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1020( ):,( )()(*)nnnf zD RzzRf zczz 设设在在内内解解析析 则则1001( ):(0, 1, 2,)2().nncf zcdz nizzcDz 其其中中是是 内内绕绕 的的任任何何一一

6、条条简简单单闭闭曲曲线线102102(*)( ):( ):f zD RzzRLaurentf zD RzzRLaurent称称为为在在内内的的展展开开式式, , 展展式式右右边边的的幂幂级级数数称称为为在在内内的的级级数数。三、三、 洛朗级数展开定理洛朗级数展开定理定理定理证明证明 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数zz0R1DC2C1211( )( )21( )2CCff zdizfdiz I1I2证明证明:由复连通域上的由复连通域上的Cauchy积分公式：积分公式：R212( ),f zDC C如如图图，在在的的解解析析环环域域 内内作作圆圆 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变

7、函数复变函数20010001( )()()2()nnnnCnnfdzzczziz zz0C2C1211( )2CfIdiz 22100001( )1( )22()()nnCnCffIzzzzzddii 0000011()111zzzzzzzz 因因为为00001()nnzzzz 001zzz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数0000011()111zzzzzzzzz 121( )2CfIdiz 00001()nnzzzzz 121( )2CfIdiz 100001()()2nnCnzzfdzizz 001zzz zz0C2C1 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数01(

8、)nnnczz 100002()1( )2()nnnCzzzzfIdiz 101011( )()2()Cnnnfdzziz 1200010( )()()()nnnnnnnnnf zIIczzczzczz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数一个在一个在某一圆环域内解析某一圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。 1020( ):( )()(6)nnnf zD RzzRf zazz 可可表表示示为为设设在在内内解解析析，Dz0R1R2c0cDzc 设设 为为 内内任任何何一

9、一条条绕绕的的简简单单闭闭曲曲线线，展开式的唯一性展开式的唯一性分析：分析： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数c沿沿 的的正正向向取取积积分分：Dz0R1R2c1100( )1()()2nppnccnpfdadzzia ,.Laurent由由此此可可知知 在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数展展开开成成级级数数就就是是级级数数0( )()nnnfaz 101( )2()ppcfadiz 解解得得： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数( )0(1)0,(),( )!nnnncfzcf zcn 当当时时 系系数数 形形式式上上与与高高阶阶导导数数公公式式相相同同但但因

10、因为为在在 内内不不是是处处处处解解析析的的. .注：注：(2) 遇到遇到f (z)在奇点在奇点z0的邻域内解析，需要的邻域内解析，需要 把把 f (z)展成级数，那么就展开成展成级数，那么就展开成Laurent 级数。级数。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数0z将将下下列列函函数数在在 展展开开成成洛洛朗朗级级数数。四、函数的四、函数的Laurent级数展开式级数展开式由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，级数，主要用间接法。主要用间接法。例例113sin1); 2);3)zzzeezz解答解答 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数210si

11、n1( 1)(21)!nnnzzzzn 0z 3524113!5!3!5!zzzzzz例例1 解解2333011(1)!2!znnnezzzzzznzn 3211112!3!4!nzzzzzn0z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2113)12!tnetttn 在在复复平平面面上上，121111,12!zntezzzn z令令(0)z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数xyo1 221)( ziixyo1 2 ziii 2)(xyo1 210) zi（01( )(1)(2)( )01;( )12;() 20f zzziziiziiizzLaurent 将将在在以以下下

12、圆圆环环域域内内展展开开成成点点的的级级数数。例例2解答解答 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数11( )12f zzz111( )1212f zzz 故故( )0112ziz2101371(1)2482nnnzzz 221(1)(1)224nzzzzz无无奇奇点点解解: 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数111111( )1122112f zzzzzz 212zz 又又1( ) 121iizz 221101111(1)(1)22412nnnnnzzzzzzz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2() 21iiizz 111111( )121211f zzz

13、zzzz 1221nnnz 2223411112411137zzzzzzzzz 注意首项注意首项 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1( )1,2(1)(2)f zzzzzLaurent将将在在以以点点的的去去心心邻邻域域内内展展开开成成级级数数。211(1)(1)1zzz 1)10 |1| 1zz在在的的( (最最大大) )去去心心邻邻域域例例3解解01( )(1)1nnf zzz xo12 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1111( )1221(2)f zzzzz021( 1) (2)211(2)(2)2nnnzzzzz 2)20 |2| 1zz在在的的（最最大大

14、）去去心心邻邻域域 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 Laurent级数先求级数先求 f(z) 的奇点，然后以的奇点，然后以 z0为为 中心奇点为分隔点，找出中心奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所到无穷远点的所 有使有使 f(z) 解析的环域，在环域上展成级数。解析的环域，在环域上展成级数。 小结小结1. Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点： Taylor级数先展开求收敛半径级数先展开求收敛半径R, 找出唯一的收敛圆域，展开成级数。找出唯一的收敛圆域，展开成级数。2. 同同一一个个函函数数有有不不同同的的洛洛朗朗展展式式，这这是是因因为为在在不不

15、同同的的区区域域上上的的展展式式，这这与与唯唯一一性性并并不不矛矛盾盾。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数10200401.( ):() ,1( )d( )2()nnnCf zHRzzRczzCHzf zzizz 设设在在圆圆环环域域内内的的洛洛朗朗展展开开式式为为为为 内内绕绕 的的任任一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线，那那么么(3)4031)()3!)0AcCfzBcD练习：练习：B 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数练习：练习：12.( )1().f zziz zi 将将函函数数在在区区域域内内展展开开为为洛洛朗朗级级数数233.( )32().zf zzz

16、 求求函函数数在在下下列列要要求求下下的的级级数数泰泰勒勒或或者者洛洛朗朗级级数数 展展开开11 2) 12, 3)11zzz ) )，解答解答20()nnnizi 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数12( )21f zzz101(2)2nnnz 11z ) )2) 12z12( )21f zzz110022nnnnnzz3)11z 102121( )1111(1)nnf zzzzz 2解：解： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1( )zf ze 1( )1sinf zz -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,) 都是它的都是它的奇点奇点1( )1f zz

17、0000( ),0,( ).f zzzzzzf z 若若在在 处处不不解解析析 但但在在 的的某某个个去去心心邻邻域域内内解解析析 则则称称 为为的的孤孤立立奇奇点点五、五、 孤立奇点孤立奇点例如例如-z=0为孤立奇点为孤立奇点-z=1为孤立奇点为孤立奇点 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数xyo1lim0,0,( )nznf z 但但因因为为所所以以在在不不论论多多么么小小的的去去心心邻邻域域内内总总有有的的奇奇点点存存在在，101sinzz 故故不不是是的的孤孤立立奇奇点点。这说明奇点这说明奇点未必是孤立的。未必是孤立的。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数以下将以

18、下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。1、 孤立奇点的分类与性质孤立奇点的分类与性质z0是是f (z)的一个孤立奇点，在的一个孤立奇点，在z0的去心邻域内，的去心邻域内，若若f (z)的洛朗级数的洛朗级数000(1)( )();nnnf zczzzz 没没有有负负可可幂幂次次项项，称称去去奇奇点点为为 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数000( )lim( )1zzzf zf zc为为的的可可去去奇奇点点定定理理 ：0sinlim1zzz ，242sin1( 1)

19、3!5!(21)!nnzzzzzn 例例0z 是是函函数数的的可可去去奇奇点点，0( )0 |-|f zz zR在在内内解解析析0000( ),( )0 |zf zRf zzz为为的的可可去去奇奇点点存存在在某某一一正正数数使使得得推推在在论论：内内有有界界 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数00(2)( )() (0,1);nnmnmf zczzcmzzm 只只有有有有限限多多幂幂次次项项，称称为为个个负负阶阶极极点点10111!2!znnnezzzzznzn 0z 是是函函数数的的一一阶阶极极点点例例333201111(1)nnnzzzzzzz 0z 是是函函数数的的三三阶阶极

20、极点点 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数0( ) (1)zf zm m 若若 为为的的性性质质：阶阶极极点点0lim( )zzf z 0001( )( )( )()()0.mf zg zg zzzzzg z 这这里里在在内内是是解解析析函函数数且且00lim( ),mmmzzzzf zcc) )是是不不为为零零的的复复数数3111( ),( )1zzef zef zzzzz 如如 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数0( ) (1)zf zm m 若若 为为的的推推论论：阶阶极极点点01.( )zmf z是是的的 阶阶零零点点00( )( )( )( ),( )P zz

21、f zQ zzP z Q zmn 设设 为为函函数数的的孤孤立立奇奇点点，且且点点 分分别别是是的的 和和 阶阶零零定定理理：点点，则则，0,( )nmzf znm 当当时时 点点 为为函函数数的的阶阶极极点点; ;0,( )nmzf zmn当当时时 点点 为为函函数数的的阶阶零零点点; ;0,( )nmzf z 当当时时 点点 为为函函数数的的可可去去奇奇点点. . 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数01( )( )()mf zg zzz “”若若z0为为f (z)的的m 阶极点阶极点 00( ),()0g zzg z 在在 解解析析 且且00011()()( )()( )( )

22、mmzzzzh zzzf zg z于于是是 00( ),()0 .h zzh z 在在 解解析析 且且01.( )zmf z由由零零点点定定义义知知 是是的的 阶阶零零点点证明证明 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数01,( )zmf z“”若若 是是的的 阶阶零零点点 则则01()( )( )mzzzf z 00( ),()0 .zzz 在在 解解析析 且且000111( )( )()( )()mmzzf zzzzzzz 当当时时， 00( ),()0 .zzz 在在解解析析 且且0( ).zf zm所所以以， 是是的的 阶阶极极点点 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函

23、数0( )()( )mQ zzzz 0( )()( ),nP zzzz 000()( )( )( )( )()( )()( )( )mm nnzzzP zzf zzzQ zzzzz 000()( )0( )()zzzzz 其其中中在在 处处解解析析且且0,( )nmzf znm 故故当当时时 点点 为为函函数数的的阶阶极极点点; ;证明：证明：由题意知，由题意知，0,( )nmzf zmn当当时时 点点 为为函函数数的的阶阶零零点点; ;0,( )nmzf z 当当时时 点点 为为函函数数的的可可去去奇奇点点. . 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数03: ( )zf z定定理理若

24、若 为为的的本本性性奇奇点点lim( )nf z不不存存在在，也也不不为为10lim0zzez 如如上上例例：不不存存在在，是是函函数数的的本本性性奇奇点点. .1121112!znezzzn例例如如0z 是是函函数数的的本本性性奇奇点点00(3)( )()nnnf zczzzz 无无穷穷多多个个负负有有幂幂次次项项，称称为为本本性性奇奇点点。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数2( )(1)(1)zzf zze 求求的的奇奇点点，如如果果是是极极点点指指出出它它的的阶阶。1( )0zmemZf zzz 对对讨讨论论函函数数在在处处的的性性质质. .( )(0)1nzzf zne

25、求求的的极极点点。例例11?,sin.z函函数数有有哪哪些些奇奇点点 如如果果是是极极点点指指出出它它的的阶阶数数例例2例例3例例4解答解答 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数0:0mz解解：为为解解析析点点；2111:( )2!(1)!mmzzmf zzzm 1111112!(1)!mmzzzmm 01zm为为阶阶极极点点。1:0mz 为为可可去去奇奇点点；1( )0zmemZf zzz 对对讨讨论论函函数数在在处处的的性性质质. .例例1 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数1?,sin.z函函数数有有哪哪些些奇奇点点 如如果果是是极极点点指指出出它它的的阶阶数数例例

26、2解解 函数函数1/sin z的奇点显然是使的奇点显然是使sin z=0的点的点.这些奇点是这些奇点是z=k (k=0, 1, 2,).由于由于(sin z)|z=kp = cos z|z=kp = ( 1) k 0,所以所以z=k 是是sin z的一阶零点的一阶零点,也就是也就是1/sin z的一阶极点的一阶极点. 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数解解显然，显然，z= i 是是(1+z2)的一阶零点的一阶零点101( 1)(2)(21)zzeezLnikki (21)(21)(1)cos (21)sin (21)0zzz ikz ikeekik 而而2( )(1)(1)zzf

27、zze 求求的的奇奇点点，如如果果是是极极点点指指出出它它的的阶阶。例例3(21)0, 1, 2,kzkik故故奇奇点点为为： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数(21)(0, 1, 2,)1kzzikke 所所以以是是的的一一阶阶零零点点；( );(21)(1, 2,)( ).kzif zzikkf z 综综上上: : 为为的的二二阶阶极极点点为为的的一一级级极极点点 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数 111( )12!nmf zzzzm 01zn 为为阶阶极极点点. .21(0)zzkiek 为为的的一一阶阶零零点点2( )(0).zkif zk 为为的的一一阶阶

28、极极点点( )(0)1nzzf zne 求求的的极极点点。例例4解解 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数练练习习：考考察察下下列列函函数数的的孤孤立立奇奇点点，奇奇点点类类型型，如如果果是是极极点点，指指出出它它的的阶阶数数。)1(1)()1(2 zezzfzzzf)1ln()()2( 11)()5(23 zzzzfzzzfsin1)()6( 2211)()3( zzzf3sin)()4(zzzf 22432(7)( )(1)(1)zzf zzz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数(7)1zzi 为为其其三三阶阶极极点点，为为其其一一阶阶极极点点(1)0z 是是三三阶阶

29、极极点点(2)0z 是是可可去去奇奇点点(5)11zz 是是二二阶阶极极点点，是是一一阶阶极极点点(6)0z 是是三三阶阶极极点点(3)0zzi 是是一一阶阶极极点点，是是二二阶阶极极点点(4)0z 是是二二阶阶极极点点答：答： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数( )| |( )f zRzf z 设设函函数数在在区区域域内内解解析析，那那么么无无穷穷远远点点称称为为的的孤孤立立奇奇点点. .在这个区域内，在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式：有洛朗级数展式：( ),nnnf zz 令令 ，按照，按照R0或或R=0，我们得到在，我们得到在1zw 10 |0 |wwR 或或内内解解析

30、析的的函函数数2. 解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质1( )()wfw 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数0( )() ( )()zfmwzmw 如如果果是是的的可可去去奇奇点点、 阶阶 极极点点或或本本性性奇奇点点，那那么么分分别别说说是是的的可可去去奇奇点点、阶阶 极极点点或或本本性性奇奇点点1)1,2,3,0,( );nnzf z 如如果果当当时时那那么么是是的的可可去去奇奇点点2)()0,( );nnzf z 如如果果只只有有有有限限个个 至至少少一一个个 整整数数 ，使使得得那那么么是是的的极极点点3)00,( );nnzf z 如如果果有有无无穷穷多多个

31、个整整数数，使使得得那那么么是是的的本本性性奇奇点点 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数定理定理9.1 设函数设函数f(z)在区域在区域 内解析，内解析，那么那么 是是f(z)的可去奇点、极点或本性奇点的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是：的必要与充分条件是：|Rz z 存在着极限存在着极限 、无穷极限或不存在有限、无穷极限或不存在有限或无穷的极限或无穷的极限 。lim( )zf zlim( )zf z系系9.1 设函数设函数f(z)在区域在区域 内解析，那内解析，那么么 是是f(z)的可去奇点的必要与充分条件是的可去奇点的必要与充分条件是存在着某一个正数存在着某一个正数

32、，使得，使得f(z)在在 内有界。内有界。|Rz z 0()R 00|zz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数整函数：整函数：如果如果f(z)在有限复平面在有限复平面C上解析，上解析， 那么它就称为一个整函数。那么它就称为一个整函数。2)当当f(z)是是n(0)次多项式时，无穷远点是它次多项式时，无穷远点是它 的的n阶极点；阶极点；六、整函数与亚纯函数的概念六、整函数与亚纯函数的概念显然无穷远点是整函数的孤立奇点。显然无穷远点是整函数的孤立奇点。1) 当当f(z)恒等于一个常数时，无穷远点是它恒等于一个常数时，无穷远点是它 的可去奇点；的可去奇点；3)在其它情况下，无穷远点是在其它情况下，无穷远点是f(z)的本性奇点，的本性奇点， 这时称这时称f(z)为一个为一个超越整函数超越整函数。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数代数基本定理：代数基本定理：,sin ,coszezz例例如如都都是是超超越越整整函函数数，无无穷穷远远点点是是它它们们的的本本性性奇奇点点( 1)n 任任何何次次代代数数方方程程至至少少有有一一个个根根 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数复变函数证明：设证明：设110( ).(0)nnnnnP zzz 我们要证明整函数我们要证明整函数P(z)至少有一个零点。至少有一个零点。反证之，假