用“融通归一法”掌握知识提升能力

1、“融通归一复习法融通归一复习法”石家庄市第石家庄市第4040中学中学梁建辉梁建辉E-E-mail:mail:20132013年年4 4月月掌握知识、提升能力掌握知识、提升能力v通过复习巩固学习过的知识；通过复习巩固学习过的知识；v通过复习使知识形成网络；通过复习使知识形成网络；v通过复习使能力得到提升；通过复习使能力得到提升；v通过复习掌握一定的解题策略。通过复习掌握一定的解题策略。我们期待复习到达的效果我们期待复习到达的效果简而言之是：掌握知识、形成简而言之是：掌握知识、形成网络、提升能力、拥有策略。网络、提升能力、拥有策略。 结果是：结果是： 我们总感觉期待与事实不一我们总感觉期待与事实不

2、一v差生还是掌握不住最基本的知识；差生还是掌握不住最基本的知识；v中下生对基础知识掌握得还是不牢；中下生对基础知识掌握得还是不牢；v中等生对稍加变化的题就不会；中等生对稍加变化的题就不会；v上等生题一活就不行；上等生题一活就不行；v好学生没解难题策略，常需要很长时间找思好学生没解难题策略，常需要很长时间找思路。路。复习后的现实复习后的现实感觉：感觉： 越接近考试越觉得问题多，总越接近考试越觉得问题多，总觉得到处都是漏洞，那儿都该抓。觉得到处都是漏洞，那儿都该抓。渴渴盼盼:提升中上等生的能力提升中上等生的能力找到一条有效复习法找到一条有效复习法最好实现：最好实现：融会贯通，举一反三！融会贯通，举

3、一反三！ 这里的这里的“融会贯通、举一反三融会贯通、举一反三”是我从狭义上的理解。是我从狭义上的理解。 指对知识的各种用法指对知识的各种用法熟悉熟悉、对知识之间的关系非常熟悉，从对知识之间的关系非常熟悉，从而能灵活运用。而能灵活运用。 通过做一道或几道题后，对通过做一道或几道题后，对同类题能予以解决。同类题能予以解决。什么是融会贯通？什么是融会贯通？什么是举一反三？什么是举一反三？“融通归一融通归一复习法复习法”问题解决问题解决掌握知识、提升能力掌握知识、提升能力“融通归一法融通归一法”名词解释名词解释“联想融通法联想融通法”“归一法归一法” ” 合合 称称怎么怎么来的？来的？ “ “联想融通

4、法联想融通法”是指对知识间是指对知识间关系关系进行沟通形成一体，进行沟通形成一体，或对或对同一知识同一知识的各种的各种不同不同用法进行归纳总结，使学生对该用法进行归纳总结，使学生对该知识各种用法了若指掌，进而达到融会贯通的复习法知识各种用法了若指掌，进而达到融会贯通的复习法。“归一法归一法”是是多题归一、多解归一多题归一、多解归一、一题多解的统称。、一题多解的统称。 “联想融通法联想融通法” 用用“联想融通法联想融通法”能帮学生实现融会贯能帮学生实现融会贯通吗？通吗？ 用用“联想融通法联想融通法”干什么：干什么： 1、沟通知识间、沟通知识间关系关系，形成网络；，形成网络； 2、归纳、归纳同一知

5、识同一知识的各种的各种不同不同用法，使学生熟悉用法，使学生熟悉该知识各种用法该知识各种用法。牵强附会，揉在一起！牵强附会，揉在一起！A A 找出知识间的关系找出知识间的关系例例1 1：公式记忆：公式记忆牵强附会，揉在一起！牵强附会，揉在一起！A A 找出知识间的关系找出知识间的关系例例1 1：公式记忆：公式记忆牵强附会，揉在一起！牵强附会，揉在一起！A A 找出知识间的关系找出知识间的关系例例1 1：公式记忆：公式记忆牵强附会，揉在一起！牵强附会，揉在一起！例例2 2：代数相生：代数相生牵强附会，揉在一起！牵强附会，揉在一起！例例3 3：定理合一：定理合一牵强附会，揉在一起！牵强附会，揉在一起

6、！例例3 3：定理合一：定理合一 两边分别平行的两个角的相两边分别平行的两个角的相等或互补。等或互补。“联想融通法联想融通法”能起什么用？能起什么用？ 1 1、把知识形成网络、把知识形成网络2 2、有助于学生实现融会贯通、有助于学生实现融会贯通 。 最主要的知识不再孤立最主要的知识不再孤立了！书读薄了！有信心了！了！书读薄了！有信心了！联想融通法联想融通法你中有我你中有我,我中有你我中有你;前后照应前后照应八方联系八方联系掌握知识掌握知识形成网络形成网络提升能力提升能力B 同一知识不同背景下的应用同一知识不同背景下的应用例例1：两角相等：两角相等 用用“联想融通法联想融通法”能帮学生实现融会贯

7、通吗？能帮学生实现融会贯通吗？即：两角度数相等、重合即：两角度数相等、重合联想融通法例联想融通法例1两角等两角等2、同、同(等等)角的余角或补角相等；角的余角或补角相等； 3、平行线被第三条直线所截得的同、平行线被第三条直线所截得的同位角相等、内错角相等；位角相等、内错角相等；4、角平线分得的两角相等；、角平线分得的两角相等；5、全等三角形的对应角相等；、全等三角形的对应角相等；1、对顶角相等；、对顶角相等；联想融通法例联想融通法例1两角等两角等6、等腰三角形的两底角相等；、等腰三角形的两底角相等；7、两等角加、减同角（或另两等角）、两等角加、减同角（或另两等角）所得的和、差相等；所得的和、差

8、相等；8、轴对称得等角；、轴对称得等角；9、平移出等角、平移出等角联想融通法例联想融通法例1两角等两角等10、旋转角相等；、旋转角相等；11、旋转中对应点与旋转中心所成的、旋转中对应点与旋转中心所成的等腰三角形的底角都相等；等腰三角形的底角都相等；12、平行四边形、平行四边形类类的对角相等；的对角相等；13、菱形、菱形类类的对角线分的对角相等；的对角线分的对角相等；联想融通法例联想融通法例1两角等两角等14、等腰梯形同一底上两底角相等；、等腰梯形同一底上两底角相等；15、相似三角形的对应角相等；、相似三角形的对应角相等；16、三角函数值相等的锐角相等；、三角函数值相等的锐角相等；17、同、同(

9、等等)弧所对圆周弧所对圆周(心心)角相等；角相等；联想融通法例联想融通法例1两角等两角等AD=DE,问：与问：与BCE相等的角有几个？相等的角有几个？联想融通法例联想融通法例1两角等两角等求证：求证：AECFEB联想融通法例联想融通法例2最值最值初中的最值有多少？初中的最值有多少？联想融通法例联想融通法例2最值最值1、两点之间线段最短；、两点之间线段最短； 2、垂线段最短；垂线段最短； 点点E E为线段为线段ABAB中点中点, ,点点P P是线段是线段ACAC上的动点上的动点, ,在在ABCABC绕点绕点B B按逆时针按逆时针方向旋转过程中方向旋转过程中, ,点点P P的的对应点是点对应点是点

10、P P1 1, ,求线段求线段EPEP1的最小值的最小值 联想融通法例联想融通法例2最值最值 点点E E为线段为线段ABAB中点中点, ,点点P P是线段是线段ACAC上的动点上的动点, ,在在ABCABC绕点绕点B B按逆时按逆时针方向旋转过程中针方向旋转过程中, ,点点P P的对应点是的对应点是点点P P1 1, ,求线段求线段EPEP1的最小值的最小值 联想融通法例联想融通法例2最值最值1、两点之间线段最短；、两点之间线段最短； 2、垂线段最短；、垂线段最短；3、不等式最大、不等式最大(小小)解解 4、二次整式最值；、二次整式最值；5、三角形三边关系（线段和三角形三边关系（线段和最小差最

11、大）；最小差最大）；联想融通法例联想融通法例2最值最值最值：最值：OM+AMOAAMABON+AOANACAN联想融通法例联想融通法例2最值最值1、两点之间线段最短；、两点之间线段最短； 2、垂线段最短；、垂线段最短；3、不等式最大、不等式最大(小小)解解 4、二次整式最值；、二次整式最值；5、三角形三边关系（线段和、三角形三边关系（线段和最小差最大）；最小差最大）；6、勾股、对称类最短路径；勾股、对称类最短路径；。xx最小值求222联想融通法例联想融通法例2最值最值最值：最值：“小小相加凑一边时路径最短。小小相加凑一边时路径最短。” 联想融通法例联想融通法例2最值最值最值：最值：“求容器外一

12、点到其内一点的最小距离，求容器外一点到其内一点的最小距离，先用轴对称作图，再由勾股定理求值。先用轴对称作图，再由勾股定理求值。” 联想融通法例联想融通法例2最值最值最值：最值：联想融通法例联想融通法例2最值最值最值：最值：联想融通法例联想融通法例2最值最值7、一次函数最优方案；、一次函数最优方案； 8、圆中最长弦是直径；、圆中最长弦是直径；9、圆的最近、圆的最近(远远)距离；距离；10、二次函数的最值。、二次函数的最值。11、平方和最小问题；、平方和最小问题；1212、其它最值问题（如含桥类最、其它最值问题（如含桥类最短路线问题、折叠矩形中的最短短路线问题、折叠矩形中的最短线段问题等）线段问题

13、等）联想融通法例联想融通法例2最值最值最值：最值：。xx的最小值求代数式22)12(94。xxx的最小值求代数式106422联想融通法例联想融通法例2-最值最值最值：最值：借助平行四借助平行四边形与线段边形与线段最短解决过最短解决过桥问题桥问题联想融通法例联想融通法例3垂直垂直垂直的联想之一：由垂直想到的垂直的联想之一：由垂直想到的垂直的联想之二：重直的判定法垂直的联想之二：重直的判定法垂直的联想之三：垂直的的用法垂直的联想之三：垂直的的用法垂直：垂直：联想融通法例联想融通法例3垂直垂直垂直的联想之一：由垂直想到的垂直的联想之一：由垂直想到的两直线交角等于两直线交角等于9090度度, ,垂直公

14、理垂直公理, ,垂线段最垂线段最短短, ,点到直线的距离点到直线的距离, ,平行线间距离处处相等平行线间距离处处相等垂直平行线中一条也垂直于另一条，邻补角垂直平行线中一条也垂直于另一条，邻补角的平分线相互垂直，平行线所成同旁内角平分的平分线相互垂直，平行线所成同旁内角平分线相互垂直，垂直于同一直线的两直线平行，线相互垂直，垂直于同一直线的两直线平行，中垂线，中垂线，三线合一，三线合一， 三角形中有两角互三角形中有两角互余，余， 三角形三角比为三角形三角比为m:n:k,m:n:k,且且m+n=km+n=k， 多边形的高，多边形的高，等腰三角形两腰上高相等，等腰三角形两腰上高相等， 面积公式，面积

15、公式， 勾股定理及其逆，勾股定理及其逆， 勾股数勾股数, ,垂直的联想之一：由垂直想到的垂直的联想之一：由垂直想到的特殊特殊RtRt三边比三边比1:1: 1:1: 、1: :2,1: :2,利用面积等利用面积等建立方程或等式，建立方程或等式，(21)(21)矩形矩形,(22),(22)直角三角斜边上直角三角斜边上中线等于斜一半及其逆中线等于斜一半及其逆,(23),(23)菱形对角线及面积菱形对角线及面积, , 正方形角对角线正方形角对角线, (24), (24)直角梯形直角梯形,(25),(25)见对角线垂见对角线垂直的梯形直的梯形, ,用平移用平移,(26),(26)中点四边形中菱形矩形的中

16、点四边形中菱形矩形的判定判定,(27),(27)过直角顶点的直线类题过直角顶点的直线类题, (28)HL, (28)HL判全判全等等,(29),(29)全等一直角全等一直角证垂直证垂直,(30)角平分线性质得角平分线性质得全等与垂直全等与垂直,(31)两高相交出相似，两高相交出相似，(32)(32)垂直出相垂直出相似似,(33),(33)射影定理射影定理, ,及其逆用及其逆用,(34),(34)垂径定型垂径定型,(35),(35)直径所对圆周角等于直径所对圆周角等于9090度及其逆度及其逆,(36)45,(36)45度圆周角度圆周角所对弦长等于半径的所对弦长等于半径的 倍倍, (37), (3

17、7)相交两直角及两相交两直角及两交点四边共圆交点四边共圆, (38), (38)切线，（切线，（3939）三角函数）三角函数232联想融通法联想融通法3垂直垂直垂直的联想之二：垂直的判定法垂直的联想之二：垂直的判定法定义定义: :两直线交角等于两直线交角等于9090度度, ,出现点到直线出现点到直线, ,或直线间距离字眼或直线间距离字眼, , 三角形三边满足三角形三边满足勾股定理勾股定理( (含特殊含特殊RtRt三边比三边比) )三角形两内角互余三角形两内角互余三角形三角比为三角形三角比为m:n:k,m:n:k,且且m+n=km+n=k同旁内角的平分线互垂直同旁内角的平分线互垂直邻补角的平分线

18、邻补角的平分线联想融通法例联想融通法例3-垂直垂直垂直的联想之二：垂直的判定法垂直的联想之二：垂直的判定法多边形的高，多边形的高， 等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一菱形菱形( (或正方形或正方形) )对角线对角线判定四边形为判定四边形为矩形矩形( (或正方形或直角梯形或正方形或直角梯形) )出现了角平分线出现了角平分线, , 出现了轴对称出现了轴对称与一直角三角形全等或相似与一直角三角形全等或相似三角形一边上三角形一边上中线等于该边长的一半中线等于该边长的一半三角形一边上高是被该高分成两线段的比三角形一边上高是被该高分成两线段的比例中项（即射影定理之逆用）例中项（即射影定理之逆用）联想融通

19、法例联想融通法例3垂直垂直垂直的联想之二：垂直的判定法垂直的联想之二：垂直的判定法出现直径所对圆出现直径所对圆周角周角出现出现切线切线垂直于一组平行线中的一条垂直于一组平行线中的一条三角函数余弦值、正切值与对应边比值三角函数余弦值、正切值与对应边比值正好相等正好相等“联想融通法联想融通法”能起什么用？能起什么用？ 1 1、把知识形成网络、把知识形成网络2 2、把知识分类、把知识分类3 3、有了类就能触类旁通、有了类就能触类旁通4 4、最终达融会贯通、最终达融会贯通 。最主要的学生有兴趣了！最主要的学生有兴趣了！联想融通法联想融通法设想一下设想一下:每个单元复习完毕后都给出每个单元复习完毕后都给

20、出一两个关键词一两个关键词“联想融通联想融通”一下，会是一下，会是什么效果？什么效果？ 数，数， 式，乘法公式，分解因式，平方根，方程，式，乘法公式，分解因式，平方根，方程， 解，整体代入，函数，二次函数，最值，解，整体代入，函数，二次函数，最值，平行、垂直，中点，等线段、角平分线，三平行、垂直，中点，等线段、角平分线，三角形，四边形，全等，相似，切线、角形，四边形，全等，相似，切线、只要你认为需要，就让学生总结一下只要你认为需要，就让学生总结一下联想融通法联想融通法你中有我你中有我,我中有你我中有你;前后照应前后照应八方联系八方联系掌握知识掌握知识形成网络形成网络提升能力提升能力实现实现:融

21、会贯通融会贯通“归一法归一法” 用用“归一法归一法”能帮学生实现举一反三吗？能帮学生实现举一反三吗？用用“归一法归一法”实现举一反三实现举一反三多题归一法多题归一法多题归一，抓住通法，举一反三。多题归一，抓住通法，举一反三。一个故事一个故事一个我自己的关于举一反三的故事一个我自己的关于举一反三的故事 （河北（河北20032003，2626题，题，1212分之解决问题）如图五边形分之解决问题）如图五边形ABCDEABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成图的多年开垦荒地，现已变成图的ABCMNEABCMNE形状，但承包土形

22、状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图地与开垦荒地的分界小路（图1-6-41-6-4中折线中折线CDECDE）还保）还保留着，张大爷想过留着，张大爷想过E E点修一条直路，直路修好后，要保点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积）（不计分界小路与直路的占地面积）为什么为什么觉得得觉得得高分？高分？一个我的故事一个我的故事 一个我的故事一个我的故事 我一定得出个想解答此类题的诀窍我一定得出个想解答此

23、类题的诀窍+ + ？按理说应该按理说应该80%以上以上得满分吧？得满分吧？说明复习效果低说明复习效果低一个我的故事一个我的故事 遇改变形状但不改变面积题目，把原图一分为二（遇改变形状但不改变面积题目，把原图一分为二（必必有一三角形有一三角形），再过三角形顶点作分割线的平行线，），再过三角形顶点作分割线的平行线，利用平行把其中三角形进行等积转换。利用平行把其中三角形进行等积转换。F用多题归一用多题归一法实现法实现“举举一反三一反三”一道数学中考题带给我的思考一道数学中考题带给我的思考 遇遇两相似图形两相似图形并放一起所成的面积问题，注并放一起所成的面积问题，注意利用平行，意利用平行，找同底等高三

24、角形找同底等高三角形进行转化进行转化 用归一法实现用归一法实现“举一反三举一反三”2.用用“多解归一法多解归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”1.用用“多题归一法多题归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”一、用一、用“多多题题归一法归一法”助助学生实现学生实现“举一反三举一反三”一、用一、用“多多题题归一法归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”1“一一” 见中点见中点“9”变变“8”造全等造全等例例1 （1）例例1 （2）C C是线段是线段ABAB的中点，线段的中点，线段ABAB的一端点的一端点B B与中点与中点C C处处有一个三角形有一个三角形BCDBCD，则

25、过另一端点，则过另一端点A A作作BDBD的平行线，的平行线，延长延长DCDC与该平行线相交，得一与该平行线相交，得一“8”8”型全等三角形。型全等三角形。一、用一、用“多多题题归一法归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”2一、用一、用“多多题题归一法归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”3练习练习1-1 已知在直角梯形已知在直角梯形ABCD中中,ADBC, M是是AB的中点的中点, D=900,AD+DC+CB=17,如果如果CM=6.5,求这相梯形的面积求这相梯形的面积.一、用一、用“多多题题归一法归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”4练习练习1-2练习练习

26、1-3小故事小故事“一一” 见中点见中点“9”变变“8”造全等造全等回顾一回顾一多解归一多解归一 得思路得思路多题归一多题归一可有效地帮可有效地帮学生实现学生实现“举一反三举一反三”多题归一法多题归一法例例2共端点等线段用法共端点等线段用法例例2当题目中出现当题目中出现两条具有公共端点两条具有公共端点的线段的线段时，考虑把时，考虑把其中一条线段连同它所在三其中一条线段连同它所在三角形一起旋转到与另一条线段重合的位角形一起旋转到与另一条线段重合的位置置，实现已知与问题的沟通。，实现已知与问题的沟通。多题归一法多题归一法练习练习共端点等线段用法共端点等线段用法2PAPCPB练习练习2-1多题归一法

27、多题归一法例例2共端点等线段用法共端点等线段用法2PAPCPB2PAPCPB当题目中出现当题目中出现两条具有公共端点的线段两条具有公共端点的线段时，考虑把其中一条线段连同它所在三时，考虑把其中一条线段连同它所在三角形一起旋转到与另一条线段重合的位角形一起旋转到与另一条线段重合的位置，置，实现已知与问题的沟通。实现已知与问题的沟通。多题归一法多题归一法例例2共端点等线段用法共端点等线段用法二、用二、用“多多解解归一法归一法”助助学生实现学生实现“举一反三举一反三”二、用二、用“多多解解归一法归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”1例例3：如图，在：如图，在ABC中，延长中，延长BC到到D，使，使BC=CD，取，取AB的中点的中点F，连结连结FD交交AC于点于点E，求，求AE:AC的的值。值。二、用二、用“多多解解归一法归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”2二、用二、用“多多解解归一法归一法”助学生实现助学生实现“举一反三举一反三”3二、用二、用“多多解解归一法