共面向量定理教案设计江苏泰州中学

1、课 题：共面向量定理江苏省泰州中学宋健教学目标：知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件，并能灵活运用；情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理 性思维的力量。教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理教学难点：禾U用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学过程：一。问题情景1、关于空间向量线性运算的理解问题：如图(1), MN可以由哪些向量相加得到？图(2)中呢?平面向量加法的三角形法那么可以推广到空间向量,只要图形封闭，其中的一个

2、向量即可以用其它向量线性表示。从平面到空间，类比是常用的推理方法。二、建构数学师生共同活动如图：在长方体中，由相等向量的定义可知a二AB,b二AD,p二AC,而ABACAD在同一平面内，此时我们称 a、bp是共面向量。1共面向量的定义一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量(coplanar vector)；类比1:共面向量与共线向量的定义在形式上有何相同之处？都是将向量问题转化为直线与直线或直线与平面之间的位置关系来研究探究1： (1)我们已经知道空间中任意两个向量一定可以共面，那么空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明.结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如：对于四面

3、体 ABCD , AB、AC、AD这三个向量就不是 共面向量.(2)空间三个向量p ,a,b具备怎样的条件时才是共面向量呢？2共面向量的判定联想：在平面向量中，向量b与非零向量a共线的充要条件是b =M.a ,类比到空间向量，探究得到共面向量定理如果两个向量a,b不共线，那么向量 p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x, y)，使得p = xa这就是说，向量 p可以由不共线的两个向量分析定理类比2:空间共线向量定理和平面共线定理是相同的的某个定理相联系呢？空间向量中的共面定理与平面向量根本定理不仅在形式上是相同的，那么,空间共面向量定理是否和平面向量,而且在本质上也是一致的这是因为任

4、意两个空间向量a,b都可以平移到同一个平面，当a,b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p可以平移到这个平面，所以就能用a,b线性表示三、数学运用问题：如图，两堵矩形墙壁 ABCD和ADEF所在平面垂直于地面， 有两只蚂蚁分别从 D、E两点沿对角线1BD,AE向上爬，当它们都爬到对角线的-处时，它们惊奇的发现它们距离3地面CDE的高度一样，你能告诉它们这是为什么吗？分析：即要证MN/平面CDE，只要证明向量 MN可以用平面和DE线性表示证明：因为 M在BD上，且BM= 1BD3所以 MB = 1 DB = 1 DA 1 AB333CDE内的两个不共线的向量 CDE同理AN1

5、i11二一AD DE33又 CD 二 BA - -AB所以 MN =MB BA AN =2 CD 1 DE33又CD与DE不共线根据共面向量定理，可知 MN , CD, DE共面。由于MN不在平面 CDE中，所以 MN/平面 CDE.思考：你能用综合法来证明吗？试比拟这两种方法的差异。8"*探究：对于空间任意一点 0,试问满足向量关系 0P二xOA yOB 其中x+y=1 的三点P、A、B是否共线？类比3:设空间任意一点0和不共线的三点A、B、C，假设点P满足向量关系0P 二 xOA yOB zOC 其中 x+y+z=1试问：P、A、B、C四点是否共面？分析：要判断 P、A、B、C四

6、点是否共面，可考察三个共起点的向量AP, AB, AC是否共面。解：由x+y+z=1不妨设xm 0,可得x=1-y-z,那么IBji""TfcOP 二 xOA yOB zOC = 1 一讨一 zOA yOB zOC二 OA yOB _ OA zOC _ OA所以 OP OA= yAB zAC,即卩 AP =yAB zAC由A,B,C三点不共线，可知 AB与AC不共线，所以 AP, AB, AC共面且具有公共起点 A.从而P,A,B,C四点共面。思考：为什么要不妨设 x m 0?反过来成立吗？设空间任意一点 O和不共线的三点 A、B、C,假设P、A、B、C四点共面，且点 P满足向量关系OP二xOA yOB zOC，那么x+y+z=1 一定成立吗？如果将x+y+z=1整体代入，由x y zOP = xOA yOB zOC出发