第八模块立体几何

1、第八模块立体几何§8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图7基础自测1. 下列不正确的命题的序号是 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案解析根据棱柱、棱锥的定义判断.2. 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是答案60°解析设母线为I,底面半径为r,则1=2r.-=-,-母线与高的夹角为30°.I 2圆锥的顶角为60°.cm3. 如

2、果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm，则此几何体的表面积是V1_|iA!X!OiE视图冈答案(20+4.2)解析观察三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥组合而成的，结合数据可知其表面积为5X22+4X1X22X2=（20+42）cm2.4. （2008宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为.答案43解析T正六棱柱的底面周长为3,1二正六棱柱的底面边长为-.2又正六棱柱的高为3，二正六棱柱的体对角线长为，（一3）21=2.正六棱柱的外接球半径为1.V球=435. 已知

3、正三角形ABC的边长为a,那么ABC的直观图厶A'B'C'的面积为.答案6a216解析该三角形的实际图形和直观图分别如图、所示由、可知，A'B'=AB=a,0'C'=1OC_3a2 4在图中作C'D'丄A'B'于D贝UC'D'=二O'C'6a.2 81 xax丄日=兰日2.2 816典例剖析题型一几何体的结构、几何体的定义"JJ下列结论不正确的是（填序号）. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆

4、锥 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案解析错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥. 错误.如下图，若厶ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.1 错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形底面边长. 正确.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于题型几何体的直观图（14分）已知ABC的直观图A'B'C'是边长为解建立如图所示的xOy坐标系，ABC的顶点a的正三角形,C在y轴上，求原

5、三角形ABC的面积.AB边在x轴上，0CABC的高.把y轴绕原点顺时针旋转B'点，AB=A'B'.已知A'B'=A'C'=a，45°得y'轴，则点C变为点C',在厶OA'C'中,A'C'由正弦定理得°C一sinOA'C'sin45所以0C'=sin120aa,sin452所以原三角形ABC的高OC=._6a，所以Saabc=xax6a=a2221题型三几何体的三视图>咧3一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积解由三视图易知，

6、该正三且AA'=BB'=CC'=4cm,23cm.正三角形ABC的边长为|AB|=23=4.sin60该三棱柱的表面积为且0C=20C',A、B点即为A'、12分14分S=3x4x4+2x1x4?in60°=48+83(cm).2棱柱的形状如图所示:正三角形ABC和正三角形A体积为V=S底|AA'|=1x42sin60°x4=16.3(cm3).2B'C'的高为故这个三棱柱的表面积为（48+8.3）cm2,体积为16.3cni.题型四多面体与球.>-!棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球

7、球心的一个截面如图所示,求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解如图所示，ABE为题中的三角形,由已知得AB=2,BE=2x2BF=-BE=213,AF=.AB23343a:.ABE的面积为1 i8s二丄xBEXAF=x.3x=2 2,3:所求的三角形的面积为2.知能迁移1. 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是（填序号）.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案解析因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底

8、面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故正确,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等.2. 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于.答案2,2a2解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上（或与x轴平行）的线段，其长度保持不变；在y轴上（或与y轴平行）的线段，其长度变为原来的一半，且/x'O'y'=45°（或135°）,所以，若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为S'=丄2可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S'之间的关系是S'=S，22442本题中

9、直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S=2j?a2.1243. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V;（2）求该几何体的侧面积S.解（1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高V0=4,0点是AC与BD的交点.:该几何体的体积1V=fX8X6X4=64.3（2）如图所示，侧面VAB中，VE丄AB,_则VE=.VO2OE2=,4232=51 1:SaVAB=XABXVE=X8X5=20

10、2 2侧面VBC中，VF丄BC，则VF=,VO2OF2=4242=4、2.:Savbc=-XBCXVF=1X6X42=12.222:该几何体的侧面积S=2(Swab+Swbc)=40+24.2.4. (2007全国U文，15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案2+42解析因正棱柱的体对角线长为球的直径，设棱柱的高为h,则12+12+h2=4R2,=.2./S表=4.2+2.一、填空题1. 利用斜二测画法可以得到：三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图是正方形，菱形的直观图是菱形，以上

11、正确结论的序号是答案解析因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则正确.对于，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确.2. 如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是长方体；圆锥；三棱锥；圆柱.答案解析由三视图的画法可知甲为圆柱，乙为三棱锥，丙为圆锥3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是. 1E方博側擁三楼舍在四機蚯答案解析在各自的三视图中正方体的三个视图都相同；圆锥有两个视图相同；三棱台的三个视图都不同；正四棱锥有两个视图相同.4. 用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下:根据三视图回答此立体模型的体积为答案5解析根据

12、三视图，想象直观图，知其体积为5.5. 棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为答案2解析由题知球0半径为3，球心0到直线EF的距离为1，由垂径定理可知直线EF被球0截得的线段长22d=24I"6. （2008湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为答案8、2-321解析截面面积为，则该小圆的半径为1,设球的半径为R,则R2=12+12=2,.R=.2，V=4R3=82.3 37. 用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要个小立方

13、块.最多只能用_个小立方块.傭視图答案914解析如图所示（图形不惟一），此时需要最少的立方块，块数为9.如图所示，此时需要最多的立方块，块数为14.图（D图8. 如图所示，E、F分别是正方体的面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFD在该正方体的面上的正投影可能是_（把可能的图的序号都填上）AS答案解析由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图；其在面ABBA与面DCC1D1上的正投影是图；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是，故错误.、解答题9. 正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高解如图

14、所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E和E，连接OQ、EE、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形2占1=4cm，AB=16cm，/O1E1=2cm，OE=8cm，OiBi=22cm,0B=82cm,/BiB2=OiO2+(OB-O1B1)2=361cm2,EiE2=OiO2+(OE-OiEi)2=325cm2,/BiB=19cm,EiE=513cm.答这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为5.13cm.10. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台

15、的高、母线长和两底面半径.解圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为xcm,3xcm.延长AA1交0。1的延长线于S,在RtSOA中，/ASO=45则/SAO=45°，-SO=AO=3x，001=2x，1又S轴截面=(6x+2x)2x=392，.x=7.2故圆台的高OO1=14(cm)，母线长l=,2OQ=14.2(cm)，两底面半径分别为7cm,21cm.11. 正四棱锥的高为.3，侧棱长为.7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少?解如图所示，正棱锥S-ABCD中高OS=,3，侧棱SA=SB=SC=SD=,7，在RtSOA中，OA=.SA2OS2=2，/AC=4./AB

16、=BC=CD=DA=22.作OE丄AB于E，_KUE为AB中点.连接SE，则SE即为斜高，则SO丄OE.在RtSOE中，tOE=1BC=2，SO=3，2SE=.5，即侧面上的斜高为.5.12. 女口图所示的几何体中，四边形AABB是边长为3的正方形，CC1=2，CC1/AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指岀截去的几何体的特征,在立体图中画出截面.解这个几何体不是棱柱；在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E,使AE=2;在BB1上取F使BF=2;连接GE，EF，CF，则过GEF的截面将几何体分成两部分，其

17、中一部分是棱柱ABCEFCi，其棱长为2;截去的部分是一个四棱锥CiEA1B1F.§8.2空间几何体的表面积与体积自主学习匕基础自测1. （2008山东）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是答案12解析该几何体为一个球与一个圆柱的组合体S=412+122+213=12.一12. 如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为.4解析T四棱锥PBB1C1C的底面积为16,高PB1=1,116VPBBCC=x16X1=.PBB1C1C333. 如图所示，一个空间几何体的正视图、左

18、视图是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为答案1解析由三视图可以知道，该几何体由底面重合的两个相同的圆锥组合而成，母线I长为1,底面圆的半径r为丄，由圆锥2侧面积公式S=-cl=rl，可得该几何体的表面积为2xx-x仁.224.已知正方体外接球的体积为32,那么正方体的棱长等于3答案H3解析设正方体的边长为a,其外接球的直径为该正方体的体对角线/V=4(=生，解得r=2./a=2r=4=口.33.3.33a,即2r=.：3a,r=_a25.(2008福建，15)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是答案9解析三棱锥

19、的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直设其外接球的半径为R,则有(2R)2=(,3)2+(.3)2+(.3)2=9,所以外接球的表面积为S=4R2=9.6.三棱锥SABC中，面SAB，SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2,则三棱锥SABC的表面积是答案3+,3解析设侧棱长为a，则,2a=2，a=./2，侧面积为3X丄xa2=3,底面积为-2x22=3,24表面积为3+.典例剖析题型一侧面展开图问题ULJB卜-J如图所示，长方体ABCD-A1B1GD1中，AB=a，BC=b，BB!=c，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到&

20、amp;的最短线路的长.解将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示叩三个图形甲、乙、丙中ACi的长分别为:,(ab)2c2=.a2b2c22ab,a2(bc)2=.a2b2c22bc,(ac)2b2=a2b2c22ac,/a>b>c>0,/ab>ac>bc>0.故最短线路的长为需2b2c22bc.题型二旋转体的表面积及其体积卜如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积（其中/BAC=30°）及其体积.解如图所示，过C作COi±AB于Oi,在半圆中可得/BCA=90°

21、,/BAC=30°,AB=2R,AC=J3R,BC=R,8产鱼R2，2-S球=4R,S圆锥AOi侧=X-3RX,3R=322S圆锥BOi侧=x-3RXR=322S几何体表=S球+s圆锥AO+S圆锥BO口r2+Tr2=J222二旋转所得到的几何体的表面积为11一32431又V球=R,V圆锥AOi=1AO133COi2=-R2AO-4COi2=-BOi4R2-V几何体=V球-（V圆锥AOi+V圆锥BOi）如图所示例3题型二多面体的表面积及其体积长方体ABCDA'B'C'D'中，用截面截下一个棱锥CA'DD求棱锥CA'DD'的体积n与

22、剩余部分的体积之比.解已知长方体可以看成直四棱柱ADD'A'BCC'B'.设它的底面ADD'A'面积为S,高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥CA'DD'的底面面积为ts高是h2''因此，棱锥CA'DD'的体积Vca'dd'=xSh=-Sh.326余下的体积是Sh-1sh=5Sh66所以棱锥CA'DD'的体积与剩余部分的体积之比为1:5.题型四组合体的表面积及其体积（14分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,ZDAB=60°,E为AB的中点，

23、将ADE与厶BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体解由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.二折叠后得到一个正四面体.方法一作AF丄平面DEC，垂足为F,F即为DEC的中心.取EC的中点G,连接DG、AG,过球心0作0H丄平面AEC.则垂足HAEC的中心.外接球半径可利用OHAGFA求得.积:AG=,AF=1（=¥,在厶AFG和厶AHO中，根据三角形相似可知,<3?3AH=二.二OA=AG?AH=三.10分3AFJ643外接球体积为4xOA3=4乞二-6.14分33438方法二如图所示，把正四面体放在正方体中.显然

24、，正四面体的外接球就是正方体的外接球.6分T正四面体的棱长为1,二正方体的棱长为，二外接球直径2R=3,10分22R=A，二体积为443血3=左4812分该三棱锥外接球的体积为14分*知迁移“1.如图所示，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，底面为直角三角形，/ACB=90°AC=6,BC=CG=.2.P是BCi上一动点，则CP+PAi的最小值是答案52解析将厶BCCi沿BCi线折到面AiCiB上，如图所示.连接AiC即为CP+PAi的最小值，过点C作CD丄CiD于D，BCCi为等腰直角三角形，/CD=i，CiD=i，AiD=AiCi+CiD=7.二AiC=.AjD2CD2=.49i=

25、5.2.2.如图所示，扇形的中心角为90。，其所在圆的半径为R,弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周,所得旋转体的体积Vi和V之比为答案1:1解析RtAOB绕OA旋转一周形成的几何体为圆锥，其体积vdR3,扇形绕OA旋转一周形成的几何体为半球，其体积3V=?32/V2=V-Vi=23R3-1/.Vi:V2=1:1.3.如图所示，三棱锥ABCD一条侧棱AD=8cm,底面一边的体积.解取BC中点M，连接AM、DM,取AD的中点N，连接MN/AC=AB=CD=BD,/BC丄AM,BC±DM,又tAMnDM=M,/BC丄平面ADM,BC=18,AC=AB=DB=DC=17.

26、/AM=DM=413,/NM丄AD，二MN=8.3.1二Saadm=MNAD2=1838=323.2VA-BCD=VB-ADM+VCADM=1XSaADMx(BM+CM)=1X323X1833BC=18cm,其余四条棱的棱长都是17cm,求三棱锥ABCD=192,3(cm5)4.如图所示，已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a,侧棱长为.2a.(1) 求它的外接球的体积；(2) 求它的内切球的表面积.解（1）设外接球的半径为R，球心为0,_则OA=OC=OS，所以OSAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径.-AB=BC=a，AC=.i2a./SA=SC=AC=2a，二SAC为正三角形.由

27、正弦定理得2R=_AC.sinASCsin60.2a2.、.6因此，R=_?a,3（2）设内切球半径为r，作SF丄BC于F,连接EF，r3=L227作SE丄底面ABCD于E，2S棱锥全=4Sasbc+S底=（丫7+1）22则有sf=.,SB2bf2a亠.4又se=,sf2ef2a)22a，2h=a2x_la=326a3.61)a2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为1:2:3,对角线长为2.14，则这个长方体的体积是.3V棱锥-r=S棱锥全S球=4r2=4活页作业一、填空题1. （2009东海高级中学第四次月考）答案332. 长方体的过一个顶点的三条棱长的比是答案48解析设长方体的棱

28、长为a,2a,3a，则a2+(2a)2+(3a)2=(214)2,即卩14a'=4x14,a=2,二长方体的体积为ax2ax3a=6a3=48.3. 已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心0在AB上,SO丄底面ABC,AC=.2r，则球的体积与三棱锥体积的比值是答案4解析/SO丄底面ABC,SO为三棱锥的高线，/SO=r，又t0在AB上,AB=2r,AC=.2r，/ACB=90-BC=.化r,11i4/Vs-ABC=Xx.2rx2rxr=r3.又丁球的体积V=f,3 2334 r3Vsabc=3=41r334. (2007辽宁文，15)若一个底面边长为亠，侧棱长为6的

29、正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积2为答案4.3解析由题可知：正六棱柱的最长的体对角线PN为球的直径，如图:又易知：MN=2x兰=.6,2MP=.6,二PN=.MN2MP2=2.3,R球=.:3，二V球=4R3=4.335. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是.答案24解析设正四棱柱底面边长为a,则S底=a2,/V=S底h=4a2=16,.a=2.又正四棱柱内接于球，设球的半径为R,则(2R)2=22+22+42=24,二R=6.球的表面积为4R2=24.1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积6. 一个正三棱锥的

30、四个顶点都在半径为是.答案'-414解析过S作SO丄平面ABC于0,由已知得0为球心，连接OB、0。，_则O为正三角形ABC的中心，且OB=OS=1,易求底边长为.3.Vs-abc=1XX(.3)*仁工.3447.（2008四川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为等于，则该正四棱柱的体积3答案2解析设正四棱柱底面边长为X,如图所示，连接AiCi，则/CAiCi为AiC与平面AiBiCiDi所成的角，又AiCi=.、2x./cos/CAiCi=3，又cos/CAiCi=AlCl，二3=_2x./.x=1.3C3J6二CCi=A-1C2A-1C2=62=2

31、./V=Sh=2.8.(2008上海春招)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1,其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=答案1+二6解析该凸多面体由一个正方体及一个正四棱锥组成，T正方体的边长为1，V正方体=1=1，t正四棱锥的棱长全为1，正四棱锥的底面积为1X仁1,又丁正四棱锥的高为1（上2）2=_3,122所以此凸多面体的体积VR+1X1X二=1+二.326二、解答题9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm,高是3cm,2AAAA（1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积解（1）设Oi、O分别为正三棱台ABCAiBiCi的上、下底面正三角形的中心，如图所示,

32、3则OiO=3，过Oi作OiDi丄BiCi，OD丄BC,_KUDiD为三棱台的斜高；23过Di作DiE丄AD于E,_KUDiE=OiO=t,2因OiDi=3X3=仝，OD=3X6=3,626贝UDE=OD-OiDi=、3-仝=二22在RtDiDE中,3.DiD=D1E2ED41设C、C'分别为上、下底的周长，h'为斜高,s侧=1(C+C)h'=1(3X3+3X6)X3=272(cm2),222S表=S侧+S上+S下=27-3+3X32+_2X62=93(cm2).2444故三棱台斜高为.3cm,侧面积为cm2，表面积为"2cm2.2410.如图所示，正ABC的

33、边长为4,D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.(1)ZMNP等于多少度？(2)擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少?解(1)由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，MNP为正三角形，故/MNP=ZDAF=60°(2)擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台,其侧面积为S侧=Se-ADF侧-Se-MNP侧=3XJ3x22-3X亘X12=%3.44411.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2,1E是棱CC1上的点，且CE=_cc”4(1) 求三棱锥CBED

34、的体积;(2) 求证：A1C丄平面BDE.11(1)解VCE=1CC1=丄，42_1二VCBDE=VEBCD=SBCD3-CE1111=XX1X1X=.32212(2)证明连接AC、B1C./AB=BC，二BD丄AC.V A1A丄底面ABCD,/BD丄A1A.V A1AnAC=A，/BD丄平面A1AC./BD丄ACvtan/BB1C=BCB1Btan/CBE=CE=1,BBQ=/CBE.CB2VZBB1C+ZBCB1=90°,:丄CBE+ZBCB1=90°，二BE丄BCtBE丄AiBi,A1B1QBiC=Bi,/BE丄平面AiBiC,.BE丄AiC./BDnBE=B,BE平

35、面BDE,BD平面BDE,/AiC丄平面BDE.12.三棱锥SABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时V-abc最大，并求最大值解方法一如图所示，0设SC=a，其余棱长均为1，取AB的中点H，连接HS、HC，贝UAB丄HC，AB丄HS，/AB丄平面SHC.在面SHC中，过S作SO丄HC,贝USO丄平面ABC.在厶SAB中,SA=AB=BS=1,设/SHO=，贝USO=SHsin=_2sin2sh=_2,21二Vs-ABC=SAABCSO3=1xx12x3sin3 4211=1sin<丄.88当且仅当sin=1,即=90°时，三棱锥的体积最大a=.2SH=.2x3=6

36、,VmaF1.228a为6时，三棱锥的体积最大为1.28方法二取SC的中点D，可通过Vs-ABC=!SaABDSC,转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配3方法解决.§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系自主学习匕基础自测厂给出下列四个命题: 垂直于同一直线的两条直线互相平行; 垂直于同一平面的两个平面互相平行; 若直线h、12与同一平面所成的角相等，贝Uh,l2互相平行； 若直线ll、12是异面直线，则与11、12都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是.答案4解析如图所示，在正方体ABCDAiBiCiDi中，A4丄AB,AD丄AB，但AiA与AD相交,故错

37、；平面AiABBi丄平面ABCD，平面AiADDi丄平面ABCD，而平面AiABBi与AiADDi相交，故错；直线AiB和直线BCi与平面ABCD所成角都是45°，但AiB与BCi相交，故错；直线AiA与直线BC异面，AB、AC均与AiA、BC相交，但AC与AB相交，故错.2. 对于平面和直线I，内至少有一条直线与直线l(用“垂直”，“平行”或“异面”填空)答案垂直3. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.答案7解析如图所示，三个平面、两两相交，交线分别是a、b、c且a/b/c.观察图形，可得把空间分成7部分.4. (2007广东理，i2)如果一个凸多

38、面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=f(n)=(答案用数字或n的解析式表示)答案叫2U8n(n-2)2解析n棱锥有n+1个顶点，故可确定Cn1=吃1)条直线.四棱锥中每一条侧棱都和底面上两棱成异面直线，故f(4)=4X2=8n棱锥中每一条侧棱都和底面上n-2条棱成异面直线，故f(n)=n(n-2).5. 如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为答案60°解析将三角形折成三棱锥，如图所

39、示，HG与IJ为一对异面直线，过D分别作HG与IJ的平行线,因GH/DF，IJ/AD，所以/ADF为所求，因此HG与IJ所成角为60°.典例剖析题型一平面的基本性质如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.(1)求AH:HD;(2)求证：EH、FG、BD三线共点.(1)解/些=匹=2，二EF/AC.EBFB/EF/平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGHQ平面ACD=GH，/EF/GH.而EF/AC，/AC/GH.AH=竺=3,即AH:HD=3：1.HDG

40、D(2)证明/EF/GH,且EFAcGH=1AC4EF工GH，二四边形EFGH为梯形.令EHnFG=P，_则PEEH，而EH平面ABD，PFG，FG平面BCD，平面ABDn平面BCD=BD，/PEBD./EH、FG、BD三线共点.题型二空间中两条直线的位置关系>.012如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问:(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解(1)不是异面直线.理由如下：/M、N分别是A1B1、B1C1的中点./MN/A1C1,又.A1AD1D，而D1DCC，.A1AJLJLdL:.A1C

41、1/AC，得到MN/AC，/A、M、N、C在同一个平面内，CC，.四边形A1ACC1为平仃四边形故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线，证明如下：假设DiB与CCi在同一个平面DiCG内，则B平面CC1D1,C平面CCiDi.BC平面CCiDi,这与正方体ABCDAiBiCiDi中BC丄面CCiDi相矛盾.假设不成立，故DiB与CCi是异面直线.1题型三异面直线所成的角(i6分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，/DAB=60对角线AC与BD交于点0，PO丄平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°(i)求四棱锥的体积;(2)若E是PB的中点，求异面直线D

42、E与PA所成角的余弦值.解(i)在四棱锥PABCD中，/P0丄平面ABCD，/PB0是PB与平面ABCD所成的角，即/PBO=60°，2分在RtP0B中，/B0=ABsin30°=i，H又PO丄OB，二PO=BOtan60°=,3,T底面菱形的面积S=2X22四棱锥PABCD的体积iVpABCD=-X2.3X.3=2.3(2)取AB的中点F，连接EF，DF，/E为PB中点，EF/PA，/DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)在RtAOB中，10分AO=ABcos30°=.3=OP，在RtPOA中，PA=6，.EF=_®.212分在正三角形

43、ABD和正三角形PDB中，DF=DE=.3，由余弦定理得222DE2EF2DF2cosZDEF=2DE?EF_(3)2(今)2(3,_,2=-.:，63、24232所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为丄.414分16分CD、DA上的点，且EH与FG相交于点0.1. 如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、求证：B、D、O三点共线.证明/EEAB,HAD,/EE平面ABD,HE平面ABD./EH平面ABD./EHnFG=O，二OE平面ABD.同理可证OE平面BCD,0E平面ABDn平面BCD，即OBD,所以B、D、0三点共线.2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CD的中点，连

44、接AE并延长与BC的延长线交于点F,连接BE并延长交AD的延长线于点G,连接FG.求证：直线FG平面ABCD且直线FG/直线A1B1证明由已知得E是CD的中点，在正方体中，由于A平面ABCD,E平面ABCD,所以AE平面ABCD.又AEnBC=F，从而F平面ABCD.同理G平面ABCD,所以FG平面ABCD.1因为ECAB，故在RtFBA中，CF=BC,同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG,所以四边形CFGD是平行四边形，所以FG/CD.又CD/AB,AB/A1B1,所以直线FG/直线A1B1.3. 如图所示，等腰直角三角形ABC中，/A=90°BC=.、2,

45、DA丄AC,DA丄AB，若DA=1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解取AC的中点F,连接EF,BF,在厶ACD中，E、F分别是EF/CD,在RtEAB中，AB=AC=1,ZBEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.AE=AD=1,BEu-5,222在RtEAF中,111AF=AC=丄,AE=±,EF=BF=,222在RtBAF中，AB=1,AF=Z,2在等腰三角形EBF中,cos/FEB=1EF2BE异面直线BE与CD所成角的余弦值为丄0.10一、填空题1. 若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是.答案平行、相交或异面解析a

46、，c都与直线b异面，并不能确定直线a,c的关系.2. 给岀下列命题： 若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交； 若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面； 一定存在平面和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是.答案解析错，c可以与a、b均相交；错，因为a与c可能相交；对，可以将两异面直线a与b平移到空间内任意一点处，确定一个平面，该平面可以与a、b同时平行，并且这样的平面有无数多个.3. 已知a，b是异面直线，直线c/直线a,则c与b的位置关系 一定是异面直线一定是相交直线不可能是平行直线不可能是相交直线答案解析a

47、,b是异面直线，直线c/直线a.因而cb,否则，若c/b，_则a/b与已知矛盾，因而cb.4. 若P是两条异面直线I、m外的任意一点，则说法错误的有（填序号）. 过点P有且仅有一条直线与I、m都平行 过点P有且仅有一条直线与I、m都垂直 过点P有且仅有一条直线与I、m都相交 过点P有且仅有一条直线与I、m都异面答案解析对于，若过点P有直线n与I,m都平行，则I/m,这与I,m异面矛盾；对于，过点P与I、m都垂直的直线，即过P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线；对于，过点P与I、m都相交的直线有一条或不存在；对于，过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.5. （2008辽宁文）在正方体ABCD

48、A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA、CG的中点，则在空间中与三条直线AD、EF、CD都相交的直线有条.答案无数解析如图所示，在平面ADD1A1内延长DE与D1A1的延长线相交于一点H，则DH为所求直线，在平面DCC1D1内延长D1F与DC的延长线相交于点G,则D1G为满足条件的直线.取EF的中点0,则A1C一定经过0,这样就找到了满足条件的三条直线.若取DC的中点K，OE的中点M，A1H的中点N，贝UK、M、N三点共线.2.下面证明这个结论：以Di为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为则K（0，1，2），E（2，0，1），O（1，1，1），N（3，0，0）/M是0E的中点

49、，二M311.2'2't|KN|=,321222=.14，91彳14IKM|=1=一442|MN|=9 sin/EFG=，/EFG=30°. EF与CD所成的角为30°.8. 已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；1=上，442/IKN|=|KM|+|mn|.K、M、N三点共线，即直线KN满足条件.这已找到了四条满足题意的直线，同理还可以找到更多与三条直线A1D1、DC、EF相交的直线.6. 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为解析连接D1

50、C，AC，易证A1B/D1C,./AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角.设AB=1，贝UAA1=2，AD1=D1C=.5，AC=2，-cos/AD1C=异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为4.57. 如图所示，在三棱锥CABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4,EF丄AB，_则EF与CD所成的角是答案30°解析取CB中点G,连接EG、FG，EG/AB，FG/CD.EF与CD所成的角为/EFG.又vEF±AB，EF±EG.1在RtEFG中，EG=AB=12，1FG=CD=2，2一条直线及其外一点.同一条直线；（写岀所有正确结论的编号）则在上面的结论