思维特训三　最短路径的探究

1、思维特训(三)最短路径的探究方法点津 ·有关实际问题中的最短路径问题，通常进行构建与转化，再根据“两点之间，线段最短”进行分析与求解典题精练 ·类型一有关平面内的最短路径问题关于平面内的最短路径问题，我们有下面几个相应的结论：(1)在连接两点的所有线中，线段最短(两点之间，线段最短)；(2)关于线段和最短的问题，往往把几条线段转化成一条线段，利用“两点之间，线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找出相关点关于直线的对称点实现化“折”为“直”1已知：如图3TX1，ABC为等边三角形，高AH10 cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PDPB的最小值为_

2、 cm.图3TX12如图3TX2所示，四边形ABCD是正方形，AB6，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的值最小，则这个最小值为_ 图3TX23如图3TX3所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC400米，BD200米，CD800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，在何处饮水所走总路程最短？最短路程是多少？ 图3TX34如图3TX4所示，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC160 m，BC120 m，为了方便灌溉，现有两种修筑水渠的方案甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B；乙方案：过点C作AB的垂线，垂足

3、为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A，B进行修筑(1)请判断ABC的形状(要求写出推理过程)；(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明 图3TX4类型二几何体上的最短路径问题解决立体图形中任意两点间的最短路程问题，应充分运用转化思想，将立体图形转化为平面图形，或将曲面转化为平面，从而把问题转化为平面内“两点之间，线段最短”的距离问题，构造出直角三角形后，运用勾股定理即可求解5如图3TX5，一只蚂蚁从正方体的底面点A处沿着表面爬行到上底面的点B处，它爬行的最短路线是(注：点P是SR的中点)() 图3TX5AAPB BAQB CARB DASB6如

4、图3TX6，有一个圆柱形大玻璃杯，它的底面直径为16 cm，高为18 cm，一只小虫从底部点A处沿表面爬到与点A相对的上底面的点B处，则小虫所爬的最短路径长约是(取3)() 图3TX6A20 cm B30 cm C40 cm D50 cm7如图3TX7，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_ cm.图3TX78.2019·唐河县期末如图3TX8是一个棱长为3 cm的正方体，把所有的面均分成3×3 个小正方形，其边长都为1 cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面点A沿表面爬

5、行至侧面的点B，最少要用_秒钟图3TX89如图3TX9是一个长方体，它的长、宽、高分别为5 cm，3 cm，4 cm.在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B处的食物已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8 cm/s，则蚂蚁能否在11 s内获取到食物？ 图3TX910.如图3TX10，长方体的底面是边长为1 cm的正方形，高为3 cm.(1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算细线最短需要多少；(2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，请计算所用细线最短长度的平方值 图3TX1011如图3TX11是成都动物园大鸟笼(百鸟苑)，苑内一条参观道围绕中间直径为

6、20 m，高为10 m的立柱形成架空参观廊桥，视野开阔，可与鸟类近距离接触，同时也节约了占地面积已修成的这条参观道绕立柱一周，最高离地面10 m，总长70 m，每米造价约为1万元若请你来当参观道的设计师，依然绕圆柱一周，最高离地面10 m，每米的造价不变，你能设计出一种最省钱的方案吗？请求出最低造价是多少万元(结果取整数)图3TX11详解详析1102.63导学号：34972332解：如图，作点A关于直线CD的对称点A，连接AB交CD于点M，则在点M处饮水所走总路程最短，最短路程为AB的长过点A作AHBD交其延长线于点H，在RtAHB中，因为AHCD800米，BHBDDHBDACBDAC2004

7、00600(米)，由勾股定理，得AB2AH2BH2800260021000000，故AB1000(米)，所以最短路程为1000米4导学号：34972333解：(1)ABC是直角三角形理由如下：因为AC2BC21602120240000，AB2201940000，所以AC2BC2AB2，所以ABC是直角三角形(2)甲方案所修的水渠较短理由如下：因为ABC是直角三角形，所以ABC的面积为AB·CHAC·BC，所以CH96(m)因为ACBC160120280(m)，CHAHBHCHAB96200296(m)，所以ACBCCHAHBH，所以甲方案所修的水渠较短5A解析 要求正方体中

8、两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用“两点之间，线段最短”解答故选A.6导学号：34972334B解析 圆柱的侧面展开图如图，根据“两点之间，线段最短”就可以得知AB最短由题意，得AC3×16÷224(cm)，在RtABC中，由勾股定理，得AB30 cm. 解决此类问题，一般方法是先根据题意把立体图形展开成平面图形，再确定两点之间的最短路径本题将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键713解析 这个长方体的侧面展开图如图所示，连接PQ，则PP12 cm，QP5 cm，由勾股定理得PQ2169，所以PQ13 cm，所以蚂蚁爬行的最短路径长为13

9、cm.8导学号：349723352.5解析 因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行比较，再从各个路线中确定最短的路线(1)展开前面和右面，由勾股定理得AB229；(2)展开底面和右面，由勾股定理得AB225.所以AB225时路径最短，最短路径长为5 cm，用时最少为5÷22.5(秒)9导学号：34972336解：长方体两个面的展开图如图所示，图：A1B1232(45)290；图：A2B2242(35)280；图：A3B3252(34)274.因此，最短路径为A3B3.因为0.8×118.8(cm)，8.8277.44>74，所以蚂蚁能在11 s内获取到食物10导学号：34972338解析 (1)把长方体的侧面沿AB边剪开，再利用勾股定理进行解答即可；(2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，所用细线的最短长度就是两条直角边长分别是8和3的直角三角形的斜边长，再利用勾股定理解决问题解：(1)如图，将长方体的侧面展开，连接AB，根据“两点之间，线段最短”，得AB2423225，故AB5(cm)即细线最短需要5 cm.(2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，所用细线的最短长度就是两条直角边长分别是8和3的直角三角形的斜边长，根据勾股定理可知所用细线最短长度的平方823273. 本题考查的是平面展开最短路线问题